錐形束CT解析算法進展的研究

1、錐形束CT解析算法進展的研究· 摘要  近年來錐形束CT解析法重構有了突破性進展，螺旋CT的非移變?yōu)V波反投影（FBP）算法首先由Katsevich提出，并得到不斷完善。隨后，這一重構系統(tǒng)被推廣至普適軌道，同時，在此基礎上又衍生出反投影濾波（BPF）的新思路。本文提出了錐形束CT爭析算法發(fā)展中的關鍵問題，并作了深入剖析，對比了FBP與BPF算法的優(yōu)缺點，指出了未來研究發(fā)展的要點。        關鍵詞  錐形束CT；解析算法；濾波反投影算法；反投影濾波算法；Katsevich類算法  &

2、#160;     錐形束CT的解析算法一直是三維體積CT領域的重要課題。錐形束重構屬于弱病態(tài)問題1，數(shù)值計算方面的困難重重。理論上的公式雖然嚴格完備，卻難以應用于實際設備，所以當前的CT設備仍采用2.5維的Z軸堆疊的空間重構。        真正意義下的三維體積重構研究在近年有了突破性進展。2002年Katsevich提出了基于螺旋軌道的移不變?yōu)V波反投影（FBP）算法24，錐形束重構研究由此進入新階段。Katsevich類的重構系統(tǒng)從數(shù)值仿真到系統(tǒng)實現(xiàn)的研究工作廣泛展開，文獻5基于實際探測器幾何形態(tài)詳細

3、地討論了Katsevich法重構系統(tǒng)的實現(xiàn)。隨后，為改進重構精度Katsevich提出了3PI算法6。同樣是源于Katsevich類算法，Pan小組引入Hilbert變換（HT）提出重構的新思路，即反投影濾波（FBP）算法7，8。相比FBP算法，BPF在橫向截斷投影數(shù)據(jù)情形下仍能獲取更好的重構效果，因而在感興趣區(qū)域重構方面有著廣闊的應用前景。另一方面，螺旋軌道情形下的重構公式與一些定理也被推廣到普適軌道的通用系統(tǒng)911。新軌道的開拓與基于新軌道重構算法實現(xiàn)也是當下重要的研究內(nèi)容12，13。        本文提出了錐形束CT解析算法發(fā)

4、展中的若干關鍵問題，地比了FBP與BPF算法的優(yōu)缺點，指出了未來發(fā)展的研究要點。        1  Katsevich類FBP算法        1.1  錐形束重構公式的困難  在Katsevich之前，錐形束FBP重構算法的主要困難是：錐形束變換和三維Radon變換不對等14，而通過等價關系變換過程15中，存在一個非一一映射的變換，從而變換后的重構公式表達為濾波反投影的形式時，濾波的過程是移變的。其中錐形束變換（或稱Xray變換）表達為：

5、     P為錐形束投影算子，為實軸上某區(qū)間，S2為三維實空間中單位球。        2002年，Katsevich首先在螺旋軌道的情形下給出了非移變的FBP重構算法公式。這一公式的建立是基于螺旋軌道特性，并在濾波方向上有了很大的改進。        1.2  Katsevich螺旋CT非移變FBP算法          螺旋CT FBP初始公式 

6、; 設螺旋軌道C：=R3：x=Rcos，y=Rsin，z=（h/2），Katsevich的公式利用了螺旋軌道一個重要性質：對于軌道內(nèi)的任一重構點x-，必然存在唯一的連接軌道上兩源點的線段。該線段稱為PIline記為LPI（x-），其對應的軌道曲線為CPI（x-）。給定重構點（x-），對CPI（x-）上各源點（，x-）的投影數(shù)據(jù)g（，）做濾波得到gF后，就可以再通過反投影重構出該點的密度f（x-），即：     關鍵問題就是對于每個源點（，x-）如何濾波得到相應的gF。Fatsevich最先提出的濾波算法2包含了兩個方向上的濾波，記（，x-）指向x-的單位

7、矢量為x（，x-），則：     其中ek（，x-）=1，2表示與濾波有關的兩方方向，e1（，x-）與（，x-）處的切線方向及x（，x-）兩個矢量方向垂直，e2（，x-）與CPI（x-）相切，且與x（，x-）共面。其重構的最終結果是這兩部分反投影的均值。          改進的螺旋CT FBP算法  隨后Katsevich濾波方向選擇上做了改進，僅采用一個方向濾波，從而有效地減少了計算量3（圖1）。對于給定點x-和某源點（0，x-），（*，x-）和（0+*）/2，x-確定的

8、平面過點x-，該平面記為Kplane，法線方向記為u（0，*），這一濾波方向由u（0，*）矢量決定的。改進的濾波法就是用e（，x-）:=（，x-）×u（，x-）替代（3）中的ek（，x-），即：     若采用平板探測器，那么（4）中的表達式cos（，x-）+sine（，x-）指出了濾波就是沿Kplane和投影面的交線。在實際算法實現(xiàn)時，先將投影所得的矩陣上的數(shù)據(jù)沿濾波方向重排為行向量，再對各個行向量作濾波。特別地，（4）式體現(xiàn)了這一濾波具有Hilbert變換的形態(tài)。        &

9、#160; 普適軌道的FBP算法  為改進精確的重構效果，Katsevich又提出了3PI算法，拓展了掃描角度，但是這一拓展使得上述情形中的u（0，*）并不唯一了，必須引入權因子處理多個i（0，*），0iM的積分。類同于3PI算法中的權因子的思路，Katsevich提出了普適軌道的濾波反投影的重構公式，所謂的PIline演化為Mline，CPI（x-）上的反投影積分對應為CMline（x-）。其中（，x，e）相應的權因子，m對應于k（，x）的不連續(xù)點，而cm（，x）是不連續(xù)點處的階躍值。然而（5）還不是萬能公式，在應用于具體的軌道時，仍需處理諸如“如何確定Kplane”、“如何設置權

10、因子”等問題。2 基于HT的BPF算法 2.1 BPF算法 改進后的Katsevich算法啟發(fā)了新算法的產(chǎn)生?？紤]交換（5）中兩個積分的順序，即先做反投影，再做濾波，Pan小組指出了這樣的變換是成立的，并由此提出了反投影濾波（BPF）的新思路（圖2）。（x-）由gb（x-）做Hilbert變換得到，其中K（x-，x-）為Hilbert變換核，e（x-）為關于x-的PIline的方向；gb（x-）是投影g（x-，）的加權反投影積分，即： 這說明BPF算法中的Hilbert變換對應的濾波是沿PIline方向的，重構是在PIline上實現(xiàn)的。那么，若僅需重構物體的某局部，可以只計算與該區(qū)域相交的各條

11、PIline線段上的各點的密度即可。 2.2 BPF算法與FBP算法的性能比較 若投影數(shù)據(jù)集完備，這兩種算法是一致的，不過實際系統(tǒng)中的投影數(shù)據(jù)集在橫向與縱向常常是截斷的，兩種算法在處理縱向截斷數(shù)據(jù)方面都具有良好的魯棒性，但在橫向截斷時存在差異。 FBP算法的濾波沿Kplane與投影面的交線，也就是說某個點x-的重構涉及Kplane上所有的其他點。若探測器在橫向較為狹窄，就會導致橫向數(shù)據(jù)截斷，在重構中形成偽影。另一方面，BPF法的公式中蘊含了優(yōu)越的局部特性（圖2），gb（x-）僅與CPI（x-）上各源點的x-點處投影的結果有關，Hilbert變換沿LPI（x-）方向，也是僅依賴于x-。這一局部特

12、性使得BPF在橫向及縱向截斷投影數(shù)據(jù)情形下人都能獲取更好的重構效果，在感興趣區(qū)域（ROI）重構方面有著廣闊的應用前景。 3 進一步研究要點 BPF算法的提出與完善給ROI方向的研究開拓了廣闊的領域，其發(fā)展必定同時關注最小數(shù)據(jù)集重構與高分辨率的冗余掃描重構。前者有助于最大可能降低放射線源劑量及減小探測器的面積。 另一方面，探求與ROI相匹配的重構軌道也是今后研究的要點之一。比如在臟器官的CT掃描中，若采用更靈活的源點軌道，使其幾何特征與臟器官在體內(nèi)不同的位置與形態(tài)相匹配，有希望提高重構系統(tǒng)的性能。 4 結論 近年來錐形束CT解析法重構有了突破性進展，Katsevich提出了螺旋軌道CT的非移變?yōu)V

13、波反投影（FBP）公式及其改進形式。隨后，這一重構系統(tǒng)推廣至普適軌道。在此基礎上Pan變換了反投影與濾波的積分順序，基于Hilbert變換建立了反投影濾波（BPF）算法。兩者在濾波方式上存在著較大的不同，F(xiàn)BP算法相對完善，數(shù)值計算精度較高，而BPF所具有的局部特性使其在ROI領域中有著曠闊的應用前景。基于錐形束CT的ROI研究將成為今后該領域的研究要點，包括最小數(shù)據(jù)集重構、冗余數(shù)據(jù)處理、自適應軌道等方面內(nèi)容。參考文獻 1 Adel Faridani.Introduction to the mathematics of computed tomography.Inverse Problems，

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