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1、拉格朗日中值定理 在高考題中的妙用拉格朗日中值定理在高考題中 的妙用LT一.拉格朗日中值定理1 拉格朗日中值定理:若 函數(shù)f滿足如下條件:(i) 續(xù);(ii)則在f在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);ab內(nèi)至少存在一點,使得f幾何意義:在滿足定理條件的曲線上f在閉區(qū)間a,b上連y f (x)至少存在一一 點p(,f(),該曲線在該點處的切線平行于曲線兩 端的連線ab (如圖) 二求割線斜率大小幾何意義的利用由拉格朗日中值幾何意義可知:曲線上兩點 的割線斜率,可以轉(zhuǎn)化為曲線上切線的斜率即連 續(xù)函數(shù)上任意兩點的連線總與某條切線平行下面通過下題具體分析 例1: (2011年福建省質(zhì)檢理19題)已知函數(shù) 2a2
2、f(x) xaln x.x(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(D)設(shè)a 1,g(x) f'(x),冋是否存在實數(shù)k,使得函數(shù)g(x) 上任意不同兩點連線的斜率都不小于k ?若存在,求k的取值范圍;若不存在,說明理由.解(I)略(H)當(dāng)a 1時,g(x) 1 4 ,假設(shè)存在 x x實數(shù)k,使得的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不小于k,即對任意X2 X1 0,都有g(shù)(Xk,即求X2 X1任意兩點割線斜率的大小,由中值定理知存在x(X,X2),有g(shù)'(x)卄k,轉(zhuǎn)為求切線斜率的大小即g'(x)X3 _L k在(o,)上恒成立.(以下同參考答案)入入評析:該題若用初等方法解決,構(gòu)
3、造函數(shù)同是本 題的難點和突破口.將四四k,轉(zhuǎn)化為X2 xg(x,) kx2 g(xi) x,轉(zhuǎn)而考查函數(shù) h(x) g(x) kx , 學(xué)生不是很 容易想到, 但若利用拉格朗日中值定理,則只 需求二次導(dǎo)函數(shù)在所給區(qū)間的最小值即可,學(xué)生 易接受.利用拉格朗日中值定理證最值(1)證b a證f'與的大小關(guān)系例2: (2009年遼寧卷理21題)已知函數(shù) f(x) =- ax +(a-l)lnx,a > 1(I)討論函數(shù)加的單調(diào)性;(II)證明:右 a<5,則對任意 x(,x2 e(0,+oo) ,x2 9 有 /(比)-/(?。┒↖ )略;(II )要證 /(石)一/仕2)>
4、; 成立,即證f(C=S+號 >-1+ 4 1 9不7則 A = (a-l)2-4(a-l)=(a-l)(a-5)» 由于<a<5 9所以AvO從而g(§)>0在/?恒成立也即g _ag + a_ >_g .(斗,吃)9xpx2 e(0,+oo) 9 故歹 >0則 S 二茫+a二1 >_,即/£)十a(chǎn) +呼>_1 ,也即 /(兀)一/仗2):.g召一勺評注:這道題(II)小題用初等方法做考慮 函數(shù)g(x)=/(g.為什么考慮函數(shù)如=4)+,很多考生 一下子不易想到而且沖)的放縮也不易想到.(2)、證明型或出U成立(其
5、中/(o)=o)XX即證心(0)»或/( Wx-0兀-0例3: (2007年高考全國卷I第20題) 設(shè)函數(shù)W.(I)證明:的導(dǎo)數(shù) /'(小2;(II)證明:若對所有都有 f(x)>ax 9 貝!的取值范圍是(一8,2 (I)略.(II)證明:(i)當(dāng)“。時,對任意的 a 9都有.0處(ii)當(dāng)5時,問題即轉(zhuǎn)化為心牛對所有5恒成立.令g(x)=£=A±2(2),由拉格朗日中值定理知心)內(nèi)xx-0至少存在一點纟(從而卯),使得門滬牡嚴(yán),即G(x) = f (§)=涉+產(chǎn) 9 由于/"(§) = e一八(?>0) 9 是
6、增函數(shù),讓一。得 取值范圍是(-沖x-0 故八0在(0,x)上G虻/'小宀/'(0)=2 , 所以。的評注:用的是初等數(shù)學(xué)的方法即令能)卄)" 再分必2和“>2兩種情況討論.其中,心2又要去解 方程小H但這有兩個缺點:首先,為什么。的取 值范圍要以2為分界展開其次,方程沖円求解較 為麻煩但用拉格朗日中值定理求解就可以避開 討論,省去麻煩.sinx2 + cosx例4: (2008年全國卷II22題)設(shè)函數(shù)/(I)求川)的單調(diào)區(qū)間;(II)如果對任何淪都有 f(x)<ax 9求。的取值范圍.證明(I )略;(II)證明:當(dāng)“。時,顯然對任何“都有 當(dāng)小時,由
7、拉格朗日中值定理,知存在0, X,使得''f x 0 得, 最大值f 值 f x max 值是fmax2k1xmax 3 1 所以,成立,應(yīng)有faxmax2k , 2k 1.所以在 2k 1 , 2k 2 上,f' x 的f' 2k 2£在 2k , 2k 1 上, f' x 的最大3 .從而函數(shù)f'x在2k , 2k 2上的最大 3k N知,當(dāng)x 0時,f'x的最大值為的最大值f' max 為了使f' a恒所以a的取值范圍是右maxmax.由(I)知f'x竺注4,從而2 cosx2sin x 2 cos
8、x cosx 122 cosxf x 2.令 f x0 彳得,x 2k 1 , 2k 2; 令評注:這道題的參考答案的解法是令g x ax f x,再去證明函數(shù)g x的最小值g x min 0 .這與 上述的思路是一樣的但首先參考答案的解法中 有個參數(shù)a,要對參數(shù)a進(jìn)行分類討論;其次為了判 斷g x的單調(diào)性,還要求g' x 0和g' x 0的解,這個求 解涉及到反余弦arccosaa ,較為復(fù)雜.而用拉格朗日中 值定理就可以避開麻煩,省去討論再次體現(xiàn)了 高觀點解題的優(yōu)越性三利用拉格朗日中值定理證不等式 近幾年的數(shù)學(xué)高考中,出現(xiàn)了不少含有拉格朗日 中值定理的試題.常以不等式恒成立
9、問題為基本切入點,具有一定的深度,既符合高考命題“能 力立意”的宗旨,又突出了數(shù)學(xué)的學(xué)科特點,較 好地甄別了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.下面以近幾年全國各地的數(shù)學(xué)高考試題為例,說明拉格朗日中值 定理的不同形式在高考中不等式的應(yīng)用, 更好地 體會用“高觀點”解題的優(yōu)勢.(1)用于證明f b f a與b a的大小關(guān)系例5: (2006年四川卷理第22題)同已知函數(shù)f x x2 - alnx(x 0), f x的導(dǎo)函數(shù)是f' x,對彳壬x1意兩個不相等的正xx2,證明:(U)當(dāng)a 4時,f ' X1 f' X2 X1 X2 .證明:由 f x x2 2 alnx 得,f'(x)
10、2x 二-,令 g x f' xx7x x 7則由拉格朗日中值定理得:|gx! gx2| g' (X! X2)下面只要證明:當(dāng)a 4時,任意0,都有g(shù)' 1, 則有g(shù)' x 2 $斗1,即證a 4時,a x2上恒成立.這等X XX價于證明X2 -的最小值大于4 由X2 4 X2 2 - 34,當(dāng) XXXX7且僅當(dāng)X 32時取到最小值,又a 4 33 4,故a 4時,2 4 a i恒成立.所以由拉格朗日定理得:'g X1 g X2 g' (X1 X2) g' |xi x 風(fēng) x?.評注:這道題用初等數(shù)學(xué)的方法證明較為冗長, 而且技巧性較強(qiáng).
11、因而思路較為突兀,大多數(shù)考 生往往難以想到相比之下,用拉格朗日中值定理證明,思路較為自然、流暢.體現(xiàn)了高觀點解 題的優(yōu)越性,說明了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要性.(2)證明g a , g孚,g b二者大小的關(guān)系f x的最例6: (2004年四川卷第22題) 已知函數(shù)f x ln(1 x) x,g x xlnx.(I)求函數(shù) 大值;a bg a g b 2g 2-(b a)ln 2 .(H)設(shè) 0 a b 2a,證明:證明(I)略;(n)證明:依題意,有g(shù)'x Inx 1 ,由拉格朗日中值定理得,存在 a,專, a bagb gg石In- ?山 In b?2 a 2評注:對于不等式中含有b b廠,
12、b,使得g a4a b aIn ?b a In2a 2InIng a ,g b ,gb的形式,我們往往可以把g專ga和gb g專,分別對g乎g a和gb g專兩次運用拉格朗日中值定理.例7: (2006年四川卷理第22題)已知函數(shù)f X X2 2 a In x(x 0), f x的導(dǎo)函數(shù)是f x,對任1x7,證明:(I)當(dāng)a 0時,意兩個不相等的正數(shù)X,X2f X f X2 X1 X22 2證明:(I)不妨設(shè)X1 X2,即證由拉格朗日中值定理知,f X2fXX22XiX2存在xX2X1,-2X1 X22, X22,則f X2fX1X22d2 af (x) 2x X7 X,X2 X1f X1 X
13、22 , 2c 4 a Ak X 232 .當(dāng)X Xf X1 f一個單調(diào)遞減函數(shù),故f'f x成立,Xx2xx2f X2f -2 f -22 20時,ff' 2從而 因此命題獲證.?3又2x 0 所以f(x)是4四:利用拉格朗日定理證明根的存在又對于(0,1)內(nèi)所有f(x) x 1 0在(0,1)內(nèi)有唯一的實g(x) f(x) x 1 ,又因為 0 f(x) 1,貝V g(0) f(0) 1 0,g f(1) 0 ,得證明方程根的存在性,所給根的范圍就是區(qū) 間a,b把所給方程設(shè)為函數(shù)f(x)就可用拉格朗日中 值定理證明方程根的存在性,一般用反證法 例1 設(shè)f(x)在0,1可導(dǎo),且0 f(x) 1, 的點有f '(x) 1證明方程 根 分析:要證明方程有唯一的實根,分兩步證明,先 證
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