高等數(shù)學(xué)——三重積分的計算

1、編輯ppt三重積分的概念三重積分的概念三重積分的計算三重積分的計算 (1)(1)利用直角坐標(biāo)計算三重積分利用直角坐標(biāo)計算三重積分 (2)(2)利用柱面坐標(biāo)計算三重積分利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 (3)(3)利用球面坐標(biāo)計算三重積分利用球面坐標(biāo)計算三重積分編輯ppt12ni:,.,nvvvvi將閉區(qū)域 任意分成 個小閉區(qū)域表示第 個小區(qū)域 也表示其體積.1( ,),( ,)(1,2, )( ,).iiiiiiiiniiiiivfv infv 在上任取一點作乘積作和01lim( ,)niiiiifv 存在( 是n個小區(qū)域直徑的最大值).01( , , ),( , , ).: ( , , )lim(

2、,).niiiiif x y zf x y z dvf x y z dvfv 稱此極限為在 上的三重積分 記為即:( , , ).Deff x y z設(shè)是有界閉區(qū)域 上的有界函數(shù)編輯ppt:注(2)( , , )( , , );zf x y zf x y z dv若在 上連續(xù) 存在(1),;dvdxdydz在直角坐標(biāo)系下(3)?dv=.-積分區(qū)域 的體積編輯ppt方法：三重積分方法：三重積分 三次積分三次積分 利用直角坐標(biāo)計算三重積利用直角坐標(biāo)計算三重積 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 利用球面坐標(biāo)計算三重積分利用球面坐標(biāo)計算三重積分編輯ppt “穿線法” “先一后二法”（依

3、次計算一個單積分及一個二重積分） “截面法” “先二后一法”（依次計算一個二重積分及一個單積分）編輯pptxyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過過點點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz編輯ppt函函數(shù)數(shù)，則則的的只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計

4、計算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得編輯ppt dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于兩點情形于兩點情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于Sz 類似的類似的, ,若平行于若平行于y y軸的直線與軸的直線與的邊界至多交于的邊界至多交于兩點兩點, ,可將可將投影在投影在xozxoz面上面上; ;若平行于若平行于x x軸的直線與軸的直線與的邊界至多

5、交于的邊界至多交于兩點兩點, ,可將可將投影在投影在yozyoz面上面上. .編輯ppt例例 1 1 化化三三重重積積分分 dxdydzzyxfI),(為為三三次次積積分分，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域 為為由由曲曲面面 222yxz 及及22xz 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域.解解由由 22222xzyxz, 122 yx編輯ppt故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI編輯ppt2. 0,0,021.vIxdxdydzvxyzxyz例 求其中 由及圍成編輯ppt, 1:222zyx計算計算222222ln(1)d1zxy

6、zvxyz編輯ppt截面法的一般步驟：截面法的一般步驟：(1) 把積分區(qū)域把積分區(qū)域 向某軸向某軸（例如（例如z 軸）投影，得投軸）投影，得投影區(qū)間影區(qū)間,21cc；(2) 對對,21ccz 用過用過z軸且平行軸且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 計算二重積分計算二重積分 zDdxdyzyxf),( 其結(jié)果為其結(jié)果為z的函數(shù)的函數(shù))(zF；(4)最后計算單積分最后計算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值.z編輯ppt例例 4 4 計計算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成

7、的的閉閉區(qū)區(qū)域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111編輯ppt zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111編輯ppt例例 5 5 計算三重積分計算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccd

8、xdydzzxyzozD解解編輯ppt)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式編輯ppt123( , , ),.( )( )( )?x y z axb cyd ezff x fy fz dv 設(shè)則編輯ppt三重積分的定義和計算三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素dxdydzdv （計算時將三重積分化為三次積分）（計算時將三重積分化為三次積分）小結(jié)小結(jié)編輯ppt作業(yè)：作業(yè)：93(106)1.(2)(3); 2; 5; 8.第頁 ：

9、編輯ppt,0 r,20 . z的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)就就叫叫點點個個數(shù)數(shù)，則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為面面上上的的投投影影在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點點，并并設(shè)設(shè)點點設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr編輯ppt .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo編輯ppt dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf

10、 drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 編輯pptcossinxyzz(cos ,sin , ).fzd d dz 柱面坐標(biāo)系下的體積元素：柱面坐標(biāo)系下的體積元素：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：dvd d dz 轉(zhuǎn)換公式轉(zhuǎn)換公式：( , , )f x y z dv編輯ppt例例1 1 計算計算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為編輯ppt

11、 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區(qū)區(qū)域域xoy .20, 3043:22 rrzr，編輯ppt三重積分有以下情形之一三重積分有以下情形之一, ,則適用于利則適用于利用柱面坐標(biāo)來計算用柱面坐標(biāo)來計算: :(1)積分區(qū)域是圓柱體或其一部分;(2)積分區(qū)域在xoy面的投影域是一個圓域或其一部分;22(3).xy被積函數(shù)含有關(guān)于的函數(shù)編輯ppt22. 4.vIzdxdydzvzxyz例求其中 由與圍成編輯ppt作業(yè)：作業(yè)：93(106)9.第頁 ：編輯ppt的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點就叫做點，個數(shù)個數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在

12、點點為為的角，這里的角，這里段段逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點與點點點為原為原來確定，其中來確定，其中，三個有次序的數(shù)三個有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點，則點為空間內(nèi)一點，則點設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(編輯ppt,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面編輯ppt .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與

13、直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸軸上上的的投投影影為為在在點點，面面上上的的投投影影為為在在設(shè)設(shè)點點AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則編輯ppt dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，編輯ppt球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：sincossinsincosxryrzr球面坐標(biāo)系下的體積元素球面坐標(biāo)系下的體積元素：2sindvrdrd d 轉(zhuǎn)換公式轉(zhuǎn)換公式：( , , )f x y z dv2( sincos , si