靜電場的基本規(guī)律大學(xué)物理重點(diǎn)章節(jié).docx

1、第9章 靜電場的基本規(guī)律本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解電荷的量子化和電荷守恒定律；掌握庫侖定律的內(nèi)容。2 .理解靜電場的概念，掌握電場強(qiáng)度和電位的概念、電場強(qiáng)度和電位疊加原理、二者的計(jì)算方法以及它們之間的聯(lián)系。3 .掌握高斯定理和靜電場的環(huán)路定理的內(nèi)容，會用高斯定理計(jì)算電場強(qiáng)度本章教學(xué)內(nèi)容1.電荷的量子化和電荷守恒定律；庫侖定律；電場強(qiáng)度及其計(jì)算。2.電場線;電場強(qiáng)度通量;高斯定理及其應(yīng)用。3 .電場力做功的特點(diǎn)；靜電場的環(huán)路定理；電勢和電勢差；電勢疊加原理及電勢的計(jì)算。4 .等勢面；電場強(qiáng)度和電勢的關(guān)系；利用電勢求電場強(qiáng)度的分布的計(jì)算方 法。本章教學(xué)重點(diǎn)1 .庫侖定律；靜電場；電場強(qiáng)度及其計(jì)算。2

2、.高斯定理的內(nèi)容及其應(yīng)用。3 .電場力做功的特點(diǎn)；電勢和電勢差的概念；電勢的計(jì)算方法。4 .等勢面的概念；電場強(qiáng)度和電勢的關(guān)系。本章教學(xué)難點(diǎn)1 .電場強(qiáng)度及其計(jì)算。2 .高斯定理及其應(yīng)用。3 .電勢的計(jì)算。4 .電場強(qiáng)度和電勢的關(guān)系。本章學(xué)習(xí)方法建議1 .正確理解靜電場、電場強(qiáng)度、電勢和電勢差的概念。2 .掌握庫侖定律的矢量表達(dá)式，明確“點(diǎn)電荷”的概念和庫侖定律的適用 條件。3 .明確電場強(qiáng)度是矢量，而電勢是標(biāo)量，前者服從矢量疊加原理，后者服 從標(biāo)量疊加原理；注意理解掌握電場強(qiáng)度和電勢間的關(guān)系。4 .結(jié)合實(shí)例，透徹分析、理解高斯定理的物理意義，明確應(yīng)用高斯定理求 解場強(qiáng)的條件。參考資料程守洙普

3、通物理學(xué)（第五版）、張三慧大學(xué)物理基礎(chǔ)學(xué)及馬文蔚物理學(xué)教程等教材。§ 9.1 電荷 電場一、電荷電荷量帶電體：處于帶電狀態(tài)的物體稱為帶電體。自然界的電荷彳正電荷：與絲綢摩擦過負(fù)電荷：與毛皮摩擦過的玻璃棒上相同的電荷（解釋摩擦帶電的原 的橡膠棒上相同的電荷因）電力：帶電體之間的相互作用力；同種電荷相排斥，異種電荷相吸引。電荷（電荷量）：表示物體所帶電荷的多寡程度的物理量。二、電荷的量子化原子結(jié)構(gòu):質(zhì)子（正電） 原子核原子茁子（不帶電）核外電子（負(fù)電）原子核外的電子數(shù)目等于原子核內(nèi)的質(zhì)子數(shù)目，原子呈電中性；若原子 或分子由于外來原因失去（或得到）電子，就成為帶正電（或帶負(fù)電）的離子。自然

4、界中電子或質(zhì)子所帶電荷是最小的： 電子：e =-1.6 xio w C 質(zhì)子：e=1.6xiO 的 C電荷的量子化：所有帶電體或其它粒子所帶電量都是電子或質(zhì)子所帶 電量的整數(shù)倍，是以不連續(xù)的量值出現(xiàn)的。說明：由于電子的電荷量很小，所以在對宏觀帶電體的電現(xiàn)象進(jìn)行研究時，可以不考慮電荷的量子性。（舉例說明）三、電荷守恒定律如圖9-1為感應(yīng)起電現(xiàn)象：當(dāng)帶正電的玻璃棒A移近B端時，B,C因感 應(yīng)而帶電，B端帶負(fù)電，C端帶正電。這時將B,C 兩部分分開，再撤走A,則B,C兩部分帶等量的§ 9.2 庫侖定律異號電荷，這既是所謂的“感應(yīng)起電”現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)表明：在感應(yīng)起電過程中所得到的兩部分電荷是相同

5、的。（再舉一些表明 電荷守恒的例子）電荷守恒定律：電荷只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或者從物體的一部 分轉(zhuǎn)移到另一部分，或者說，在一個與外界沒有電荷交換的孤立系統(tǒng)內(nèi)，無論發(fā)生怎樣的物理過程，該系統(tǒng)電荷的代數(shù)和保持不變。四、電場“超距作用”觀點(diǎn)：一個帶電體所受到的電力是由另一個帶電體直接給予的。這種作用既不需要中間物質(zhì)進(jìn)行傳遞，也不需要時間，而是從一個帶電體立即到達(dá) 另一個帶電體。電荷 屋 電場“場”作用觀點(diǎn)：兩個電荷之間相互作用是由電場傳遞的，需要時間。場是一種物質(zhì)，具有能量、動量和質(zhì)量。電場力：當(dāng)物體帶電時，就在它的周圍激發(fā)電場，處在電場中的電荷將受到 力的作用，這種力叫做電場力。電荷 &

6、#187; 電場 . 電荷靜電場：相對于觀察者靜止的電荷所激發(fā)的電場。靜電場的主要對外表現(xiàn)：1 .引入電場中的任何帶電體都將受到電場所作用的力2 .電場能使引入電場中的導(dǎo)體或電介質(zhì)分別產(chǎn)生靜電感應(yīng)現(xiàn)象或極化現(xiàn)象3 .當(dāng)帶電體在電場中移動時，電場所作用的力將對帶電體做功，這表示電場具有能量。一、點(diǎn)電荷之間的作用力點(diǎn)電荷（理想模型）：當(dāng)帶電體的線度（形狀、大小）d « r （帶電體之間 的距離）時，就可以把帶電體視為點(diǎn)電荷。真空中的庫侖定律：真空中的兩個點(diǎn)電荷 q1和q2之間的相互作用力大小與兩電荷的電荷量的乘積成正比與兩電荷之間的距離的平方成反比；方向沿其連線方向，同號相排斥，異號相吸

7、引，這種相互作用力稱為庫侖力或靜電力。矢量式：F qqL'E qqr,團(tuán)12 KJ_2. 1221 K1 2. 21萼4口 2一戶乳%在國際單位制中，k=-1 = 9X） 10 9 （Nm? -C 28.85 10-12 （C2. bH 11 ） , so 稱4 o為真空的介電常數(shù)，是表征真空特性的物理量。其中，F(xiàn)12為qi對q 2的作用力，ri2為由qi指向q2方向的矢徑。F12的方向：當(dāng)qi與q2同號時，表現(xiàn)為斥力，方向沿口 2方向；當(dāng)qi與q2異號時，表現(xiàn)為引力，方向沿52的反方向。因此，F(xiàn)12 =- F21注意：庫侖定律的使用條件：（1）點(diǎn)電荷（2）必須是靜止的點(diǎn)電荷。二、疊加

8、原理實(shí)驗(yàn)表明：庫侖力滿足疊加原理。疊加原理的內(nèi)容：對多個點(diǎn)電荷的系統(tǒng)，其中任一點(diǎn)電荷所受的靜電力等于 其它點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時作用于該電荷上的靜電力的矢量和。如圖所示：有n個點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，另有點(diǎn)電荷q受到這n個點(diǎn)電荷的作用，根據(jù)疊加原理，則點(diǎn)電荷q所受的庫侖力為F =F +F2 + - +Fi + 一 +Fn其中后為第i個點(diǎn)電荷對q的作用力。三、電介質(zhì)中的庫侖定律無限大均勻電介質(zhì)中的庫侖定律:1 qi q 2r3其中&為電介質(zhì)的相對介電常數(shù)，描述了電介質(zhì)的性質(zhì)，無量綱。稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)，0）為真空中的介電常數(shù)。§ 9.3電場強(qiáng)度場的疊加原理一、電場強(qiáng)度把試探電荷qo放入電

9、場的某點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):（1）在給定電場中的同一點(diǎn)，分別放入電荷不同的試探電荷qo,結(jié)果發(fā)現(xiàn)qo所受電場力的大小隨qo電荷的增減而增減，但 It匕值不變。qo（2）對于電場中不同的點(diǎn)，比值Ir般情況下并不相同。qoa*- F電場強(qiáng)度： E=（1）qo在數(shù)值和方向上等于處在該點(diǎn)的單位正電荷所受到的庫侖力的大小和方向。在SI中，場強(qiáng)單位：N C k勻強(qiáng)電場：電場中各點(diǎn)場強(qiáng)的大小和方向都相同。電場力：F qE試探電荷qo應(yīng)滿足下列條件:1 .必須是幾何線度足夠小的點(diǎn)電荷，以便能用它來確定電場中每一點(diǎn)的性質(zhì)。2.電量必須充分小,其引入電場后對原電荷及電場的分布的影響可以忽略。二、點(diǎn)電荷的電場如圖所示：設(shè)真

10、空中有一點(diǎn)電荷 qo其周圍空間內(nèi)的電場分布計(jì)算如 下：在距q為r處的P點(diǎn)（場點(diǎn)）放 一試探電荷qo ，則qo所受的電場力F= I-中大r r = qq o- ro4 o r3 4 o l根據(jù)電場強(qiáng)度的定義可得P點(diǎn)的場強(qiáng)為E=L-q-ro4 o其中ro為從q指向場點(diǎn)方向上的單位矢量。若q >0, E沿方向E的方向<若q<0, E沿ro反方向如果點(diǎn)電荷q放置在無限大的均勻電介質(zhì)中，電介質(zhì)的介電常數(shù)為s,則空間各點(diǎn)的場強(qiáng)為a*E = -1- -qr ro(3 )4 r三、場強(qiáng)疊加原理在點(diǎn)電荷系qi，q2，qn的電場中，試探電荷qo所受的電場力等于各個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時對qo的作用力F

11、i , F2 , , , Fn的矢量和，amubiammbimoF 干 1 +Fz+一 +Fi - + Fn由場強(qiáng)的定義，可得，4*MSB4*MBl-FFlF2FnE =+ 一q oqoq oq o即 E 毛 1 +E2 + +En(4)(4)式表明：電場中任一點(diǎn)處的總場強(qiáng)等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時在該 點(diǎn)所產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和，即場強(qiáng)疊加原理。利用疊加原理，原則上可以計(jì)算任何帶電體系所產(chǎn)生的電場的場強(qiáng)分布。點(diǎn)電荷系的場強(qiáng)公式：設(shè)點(diǎn)電荷系qi, q2, , qn處于真空中，各點(diǎn)電荷到場點(diǎn)P的矢徑分別為712，,，各點(diǎn)電荷在P點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)分別為，1 qi -2 roi ,7TS4 0 n_1q2 -F

12、 r027T84 0 F21 qn -2 ron7T840 Fn由場強(qiáng)疊加原理，P點(diǎn)的總場強(qiáng)為,-1 -0 Mi -E =£ 3i r n2若點(diǎn)電荷系處在無限大的均勻電介質(zhì)中，則,(5) q rE= 1 z 2rroi4 iT n四、連續(xù)分布電荷的場強(qiáng)雖然電荷是量子化的，但從宏觀來說，一般帶電體可以忽略電荷的量子性,視其電荷分布為連續(xù)分布。任意帶電體可連續(xù)分割為無數(shù)電荷為dq的微小帶電體的集合，則dq （視為點(diǎn)電荷）在場點(diǎn)p處的場強(qiáng)為dE=%。(7)=jEdE=由場強(qiáng)疊加原理，帶電體在P處的總場強(qiáng)為(8)在實(shí)際問題中，帶電體按其形狀特點(diǎn)，其電荷分布可簡化為體分布、面分布 和線分布。1

13、 .電荷分布為體分布的帶電體在空間激發(fā)的場強(qiáng)對于電荷的體分布，可取dq = PdV ,其中P為電荷的體密度，dV為物理小體元，帶電體在P點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)為- P - 匚(9)= f-d¥。.廣w4 rV 02.電荷分布為面分布的帶電體在空間激發(fā)的場強(qiáng)對于電荷的面分布，可取dq=udS,其中。為電荷的面密度，dS為小面元，帶電體在P點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)為_匚Ed£f = J 7s 2。（10）4"rS 03.電荷分布為線分布的帶電體在空間激發(fā)的 場強(qiáng)對于電荷的線分布，可取dqdl ,其中“為電荷的線密度，山為小線元，帶電體在點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)為- ndl .E = JdE（11）注意

14、：在具體計(jì)算中，應(yīng)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫出dE在各坐標(biāo)軸方向上的分量式，分別積分計(jì)算E的各分量，選合成矢量Eo五、電場求解問題例題1一對等量異號點(diǎn)電荷+q和-q，相距為1，求其連線的延長線和中垂線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系（1）其連線的延長線上任一點(diǎn)的場強(qiáng)：在延長線上任取一點(diǎn)P , +q和-q產(chǎn)生的場強(qiáng)方向相反，大小分別為E + -9,E_ =94兀刖（X - 1）24兀即（x + 1）222則P點(diǎn)的合場強(qiáng)的大小為，+-E_= q - q = 2qxl4兀&o （ x-十）2 40 （ x+十）2 解o（ X21 工安224在 x ? 1/2 處， E = 2ql 7 產(chǎn)ox?

15、（2）其連線的中垂線上任一點(diǎn)的場強(qiáng):在中垂線上任取一點(diǎn)P , E與flE大小相等，方向關(guān)于 x軸對稱，因此兩矢量在y軸方向上的投影互相抵消，在 x軸方向上的投影大小相等，方向相同，并且沿x軸的負(fù)方向。則P點(diǎn)處的合場強(qiáng)的大小為,e qiE =2E 倉os 0 一3(2節(jié)4 通 y2 +1 !、 4JqE + =F4兀(y 2 +4)41其中，cos e -r2( y2 +12)24在y7l/2 處,E=qi4tgo -電偶極子：若兩電荷間的距離遠(yuǎn)小于它們到場點(diǎn)的距離，這樣的電荷 系統(tǒng)稱為電偶極子。電偶極矩矢量（p ） ： p ql其中T的大小為兩電荷之間的距離，1的方向由負(fù)電荷指向正電荷。京描述

16、了電偶極子本身的特性?；诖耍厦娴慕Y(jié)果可記為,在延長線上，二P4% x3在中垂線上,Anz 4 o y 3例題2真空中一均勻帶電直線，常為 L,帶電荷為Q,求直線外一點(diǎn)Pe處的場強(qiáng)。P點(diǎn)到直線的距離為a，到直線兩端點(diǎn)的連線與直線的夾角分別為1和解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，此為電荷連續(xù)分布問題。在直線上距原點(diǎn)。為y處，取電荷元dqdy（n "=Q/L）,其在P點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng)大小為,dq "dydE=4 o r 2 4 o 1dE的分量dEx, dEy分別為dExdE sirP , dE y = dE cos®如圖所示，由幾何關(guān)系可知,y =_a cotQ , dy

17、=a esc2 QdQ , r = a 0sin v代入得，dE x =sin ® 0a4 0n,dE y=cos 地 0a4 on q i兩式積分得，Ex = jdEx = f sinGtiS =COS 01 COS 02 )n 8071S4 o a 140aP點(diǎn)處的總場強(qiáng)大小為，E =V/Ex 2+Ey2若均勻帶電直線是無限長的，即q =o,場=兀,則nE y = 0 , E= Ex = 2% a六、電場的圖示法一電場線電荷之間的相互作用是通過電場來傳遞的。為了形象地描述場強(qiáng)的大小和方 向，引入電場線。電場線：在電場中做一些有方向的曲線，讓曲線上每點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)的 場強(qiáng)方向一

18、致，這樣的曲線叫做電場線。為了使電場線不僅能表示場強(qiáng)的方向，還可以表示場強(qiáng)的大小，引入了電場 線密度的概念。電場線密度：通過與該點(diǎn)電場方向垂直的單位面積上的電場線條數(shù)。在作電場線時,ANV Es使電場中任一點(diǎn)的電場線密度與該點(diǎn)的場強(qiáng)大小成正比，即AN=kEs這樣，場強(qiáng)的大小就可以用電場線的疏密程度反映出來。幾種簡單電場的電場線圖:兩個等值異號點(diǎn)電荷兩個等值同號點(diǎn)電荷靜電場的電場線的兩條最重要的性質(zhì)：（1）電場線起始于正電荷（或來自于無窮遠(yuǎn)），終止于負(fù)電荷（或伸向無窮 遠(yuǎn)）。在沒有電荷的空間里，電場線既不會相交也不會中斷。（2）電場線不構(gòu)成閉合曲線（或者說電場線上各點(diǎn)的電位沿電場線方向不 斷減小

19、）。(4)§9.4 高斯定理一、電通量為了進(jìn)一步研究電場的性質(zhì)，我們利用電場線來引入電通量的概念。電通量：穿過電場中某曲面的電場線條數(shù)。用力e表示。1.電場對開曲面的電通量如下圖(a) (b)所示，設(shè)電場為勻強(qiáng)電場，根據(jù)電場線密度的定義，穿過垂 直于電場(a )(b)方向的平面S的電通量為6e =ES(1)若平面S與E不垂直，平面S的法向矢量；與E的方向成8角，如圖(b)所示,則穿過S面的電通量 e = ES c o0s(2)如果是非勻強(qiáng)電場，并且S面也不是平面，而是一個任意曲面，如圖(c) 所示。先求出S面上任一面元dS的電通量d,即de = EdScos 8式中e為面元dS的法向

20、矢量n與該處場強(qiáng)E之間的夾角。則通過整個曲面S的電通量小一為e = Jd蟲=JE cos dSB 欣,(3)ss式中dS =ndS ,常叫做面元矢量。2.電場對封閉曲面的電通量對于電場中的封閉曲面，規(guī)定曲面上面元的法向?yàn)橛蓛?nèi)指向曲面外。則其電通量為«Bia*e =£pJE dS = c:E cosdSSs注意：在電場線穿入曲面處，e >90 =；電通量dGe為負(fù);在電場線穿出曲面處，8 <90 ；電通量d60為正。二、高斯定理高斯定理是靜電場理論中描述電場性質(zhì)的基本定理。高斯定理的內(nèi)容：在電場中，通過一任意閉合曲面S的電通量，等于該曲面 所包圍的電荷的代數(shù)和q除

21、以與閉合曲面外的電荷無關(guān)。工q內(nèi)高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為，eE龜S = <£l,S* 0式中q內(nèi)是閉合曲面所包圍的電荷的代數(shù)和。對高斯定理的簡單討論：1 .點(diǎn)電荷的電場在點(diǎn)電荷q的電場中，以q為中心，以任意 長度r為半徑，作一球面，如圖所示。點(diǎn)電荷q的電場具有球?qū)ΨQ性，在球面上各點(diǎn)寶的大小都是一勺，方向沿矢徑方向，處處 4叫”與球面正交。由(4)式可求得通過球面的電通量 為,-11 QqGe ?pj E dS = <p EdS=+dS ss4 o r so若曲面為任意形狀，如圖示的S1 ,我們總可以選擇適當(dāng)?shù)陌霃阶饕磺蛎妫瑢⑶姘鼑?，由?電場線連續(xù)通過，因而通過兩曲 面S

22、1和S2的電通量必定相等，都等于9。當(dāng)點(diǎn)電荷位于曲面之外時，如圖所示，可以看出，進(jìn)入和穿出曲面的電場線條數(shù)相等。由于進(jìn)入電通量為負(fù)穿出為正，所以總電通量為零。2 任意帶電體系的靜電場當(dāng)閉合曲面內(nèi)包圍多個點(diǎn)電荷時，由于場強(qiáng)滿足疊加原理，所以，E =Ei +E2 + +En在電場中任取一閉合曲面S,通過S面的電通量為_ _ _ _ - ze = 4 Ei -dsE-ds * + q Ends=。 e 'Vrcn='sss80式中的z qi僅指被包圍在s面內(nèi)的那部分電荷的代數(shù)和。上式表明：若干點(diǎn)電荷存在時的電通量等于每一點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)通過該閉合曲面電通量的代數(shù)和。高斯定理的意義：（

23、1）指明了靜電場中電場對任意閉合曲面的電通量與曲面內(nèi)的電荷之間的量值關(guān)系。（2）揭示了電場與場源之間的聯(lián)系，說明靜電場是有源場。三、高斯定理的應(yīng)用例1求均勻帶正電球面內(nèi)外的場強(qiáng)分布。設(shè)球面 半徑為R,帶電荷為q,如圖所示。解：首先給學(xué)生分析解題思路。作與球殼同心且半徑為r的球形高斯面，則通過其 上為7.1 E cos如s = E 7.1 ds 由 4 年 2由高斯定理得,2 q內(nèi) - q內(nèi)兀=£718E4 r o ,E 4or2當(dāng)rR時，q內(nèi)=q ,則E =0(r <R)結(jié)果表明：均勻帶電球面內(nèi)部無場強(qiáng)，球面外部的場強(qiáng)與球面上電荷全部集中在球心時產(chǎn)生的電場相同O例2求均勻帶電球

24、體內(nèi)外的電場分布。設(shè)球體的半徑為R,所帶電荷為q,如圖所示。解：以O(shè)為中心，以r為半徑作球形高斯面,如圖所示，通過高斯面上的電通量為,由高斯定理得例3求均勻無限長帶電直細(xì)棒的電場中的場強(qiáng)分布。設(shè)棒上線電荷密度為，如圖所示。解：分析：以棒為軸線，作半徑為r圓心在細(xì) 棒上的圓環(huán)，在環(huán)面兩側(cè)對稱地取電荷元和dq'。由于對稱，它們在環(huán)上任一點(diǎn) P激發(fā)的場強(qiáng)dEII沿環(huán)的徑向方向OP。由于整個帶電細(xì)棒可看成由一對對與O對稱的電荷元組成, 故整個帶電直細(xì)棒在圓環(huán)上各點(diǎn)的電場均沿徑向且大小相等。取以棒為軸，以r為底面半徑，1為高作圓柱形高斯面，則通過圓柱形高斯 面的電通量為o E cosQds =

25、E cosfifls + o E cosfids 4- -> E cosOds 側(cè)面上底下底由上面的分析可知，對于上下地面來說，8=n/2,所以，上式可化為b | E cos Qds = jj Eds =2EE 側(cè)面利用高斯定理，可得，ni - n2rlE=T,E=-為2""or o例4求均勻帶電的無限大平面的場強(qiáng)分布。設(shè)電荷面密度為如圖所示。解：電場分布關(guān)于帶電平面對稱，場強(qiáng)方向垂直于平面（分析） 。+ fl C d= E cos as 側(cè)面aS0作如圖所示的圓柱形高斯面，且兩底面到帶電面的距離相等。利用高斯定理 可得3J E cos% = JJ E cos%s +

26、 J J E cosdsSiS2對于側(cè)面來說，e =兀/2,所以上式可化為<JSESi ES2 2ES +=£o- O -所以E=nog2 o式中no為背離帶電平面的單位矢量。§ 9.5電場力的功電勢一、電場力的功1.在點(diǎn)電荷Q的電場中，電場力對試探電荷q所作的功。設(shè)q從電場中的a點(diǎn)沿任意路徑移動到b點(diǎn)，電場力對q所作的元功為Qi d A q E d ¥ cqofcs d 1_L_Qq 0dl-2 cos vdl471a or=-1-dr 4 o r式中 dlco& =dr .當(dāng)q從電場中的a點(diǎn)沿任意路徑移動到b點(diǎn)時，Ab - - Qq rb dr

27、Qq ' 1ab= 1 dA = q | E dl =|=718'7USa4 0e 4 o%2.在任意點(diǎn)電荷系的電場中，電場力對試探電荷b-Aib= Jq(Ei+ E2+En)dIa b_-b _-b -=jqELdl + JqE2，dl + + JqEn，dl aaa=A+ A+ + A = y qQi (一 - -L)12n713 r r i 4 0 加 ib(2)結(jié)論：試驗(yàn)電荷在任何靜電場中移動時，7A-y+ dr1/也電場力對q所作的總功為1、 (1 )a fb)q所作的功(推廣)77ii靜電場力所做的功只與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有 關(guān)，而與路徑無關(guān)，說明靜電場力是保守力

28、。3.靜電場的環(huán)路定理如圖所示：試探電荷q從電場中的a點(diǎn)經(jīng)路經(jīng)Li到b點(diǎn)，再從b點(diǎn)經(jīng)L2回到a點(diǎn)，在這一閉合路徑中電場力所作的功為q 先 dt =q 七 Ed a / EdiLLiL2r - - -i=q 代 Ed-川 EdiLL2 J由于電場力做功與路徑無關(guān)，所以 MBsMMJ ab E-dl = JabE dl,LL2BJ - - 0（）彳 E dl =3L靜電場的環(huán)路定理：（1）揭示了靜電場的能量的性質(zhì)；（2）表明靜電力 是保守力。二、電勢能（電位能）由于電場力是保守力，在描述靜電場的性質(zhì)時: 引入電勢能的概念。由勢能的定義，我們可知，靜電力的功=靜電勢能增量的負(fù)值。設(shè)Wa , Wb分別

29、為試探電荷q在起點(diǎn)a和終點(diǎn)b的電勢能，則， bwaWir 餐）=q E cos Si（4）a對于電勢能，通常規(guī)定電荷q在無窮遠(yuǎn)處的靜電勢能為零，即令W = 0,則電荷q在電場中a點(diǎn)的靜電勢能為Wa =AacC =q | E cos6dl（5 ）"a注意：（1）電勢能有正有負(fù)（2）電勢能是屬于一定系統(tǒng)的。三、電勢、電勢差由（5）式可知，比值”與q無關(guān)，只決定于電場的性質(zhì)以及場中給定點(diǎn)a q 的位置。W電勢：a ,是表征靜電場中給定點(diǎn)電場性質(zhì)的物理量。u a表示a點(diǎn)的電勢，則(6)Wq 00U a =-L = I E cosSdlq a電場中某點(diǎn)的電勢在量值上等于放在該點(diǎn)處的單位正電荷的

30、電勢能，也等于單位正電荷從該點(diǎn)經(jīng)過任意路徑到無窮遠(yuǎn)處電場力所作的功。單位：伏特（V）注意：電勢是標(biāo)量，可正可負(fù)。電勢差（電壓）：在靜電場中，任意兩點(diǎn)a和b的電勢之差。U =u -uab a b由（6）式可知，0000bab= f E cosQdl - | E cos出I = E cosQdl（7）aba由（7）式可知：在靜電場中兩點(diǎn)間的電位差，在數(shù)值上等于把單位正電荷從a點(diǎn)移到b點(diǎn)時，電場力所作的功。(8)因此，當(dāng)任一電荷q在電場中從a點(diǎn)移到b點(diǎn)時，電場力所作的功為Aab - qU a5" q(LHa U b )注意：在實(shí)際應(yīng)用中，用到的往往是兩點(diǎn)間的電勢差，而不是某一點(diǎn)的 電勢，因

31、此電勢為零的點(diǎn)是可以任意選取的。四、電勢求解問題1 .點(diǎn)電荷電場中電勢的分布設(shè)有點(diǎn)電荷q在無限大均勻電介質(zhì)中產(chǎn)生電場， 電場中任一點(diǎn)P的電勢（以無窮遠(yuǎn)處為電勢能的零點(diǎn)）為U p = （ E cos®dl = f -2dr = -（9）1 T 4啊 式中r為P點(diǎn)到Q的距離，8為電介質(zhì)的介電常數(shù)。由（9）式可知，若Q帶正電，各點(diǎn)電勢也是正的，離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)，電勢越 低，無窮遠(yuǎn)處電勢為零，是電勢的最小值；若 Q帶負(fù)電，各點(diǎn)電勢是負(fù)的，離 點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)，電勢越高，無窮遠(yuǎn)處電勢為零，是電勢的最大值。若Q在真空中，則電場中任一點(diǎn)P的電勢為，GOUp = JpE coQ dl=(10)兀右4 。2 ,

32、點(diǎn)電荷系的電場中各點(diǎn)的電勢在點(diǎn)電荷系Ql, Q2 , ,， Qn的電場中，根據(jù)場強(qiáng)疊加原理，可推知電場中任一點(diǎn)P處的電勢為,UP=ZUi=£ -0r_,(真空中)il 4° innUp=Z Ui=Z Qi ,(無限大均勻電介質(zhì)中) ni T 4 必 n(11)(12)電勢疊加原理：n個點(diǎn)電荷在某點(diǎn)產(chǎn)生的電勢，等于各個點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時, 在該點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。3.電荷連續(xù)分布的帶電體的電場中各點(diǎn)的電勢對于連續(xù)分布的帶電體，電場中任一點(diǎn) P處的電勢為,Up= 巴，（真空中） to r4 °Up二二"1 （無限大均勻電介質(zhì)中）產(chǎn)r例題1求距偶極子相當(dāng)遠(yuǎn)處一

33、點(diǎn)的電勢。解：如圖所示，設(shè)偶極子中點(diǎn) O與場點(diǎn)P的距離為r（r ? 1 ） , OP與1的夾角為3根據(jù)電勢疊加原理，則P電勢為，(13)(14)TT _TT +tt _ q q q12 一 口)U P -U 1P 2 一 一 一7rg tie r tec r r4 o ri 4 。24 o i 2因?yàn)?r ? 1,所以，r2 門祀 lcos3 rri 22其中 r 2 = x2 +y2 , cos0 =TT 1 pxU p =3-40（X2 + y2） 2例題2求均勻帶電圓環(huán)軸線上距環(huán)心為X處P點(diǎn)的電勢。設(shè)圓環(huán)半徑為R ,帶電荷為q。解：如圖所示，在環(huán)線上取一線元dl,帶電 荷為，qdq =ndl = 2nR則dq在軸線上P點(diǎn)的電勢為，dqn dldU =f47r8 rx 2+ R £2整個帶電圓環(huán)在P點(diǎn)的電勢為，與rndl樣冗RqU = f dU= J r- =r =10 7Tg (+ jng ( +