CAD的建模技術(shù)

1、第3章 CAD的建模技術(shù)在傳統(tǒng)的機(jī)械設(shè)計(jì)與加工中，技術(shù)人員通過二維工程圖紙交換信息。使用計(jì)算機(jī)以后，所有工程信息，如圖形、尺寸、符號(hào)等，都是以數(shù)字開式存取和交換的。計(jì)算機(jī)圖形的生成與手工在圖板上繪圖不同，必須先建立圖形的數(shù)學(xué)模型和存儲(chǔ)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過有關(guān)運(yùn)算，才能把圖形儲(chǔ)存在計(jì)算中或顯示在計(jì)算機(jī)屏幕上。正是由于將工程信息數(shù)字化，才使得計(jì)算機(jī)輔助工程的各個(gè)環(huán)節(jié)(設(shè)計(jì)、分析計(jì)算、工藝規(guī)劃、數(shù)控加工、生產(chǎn)管理，即CAD/CAE/CAPP/CAM等)使用同一個(gè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)模型，共享信息，從而實(shí)現(xiàn)CAD/CAPP/CAM/系統(tǒng)的集成。而且，用計(jì)算機(jī)除了能繪制二維工程圖外，還能生成三維圖形(圖3-1和圖3-2分

2、別是汽車車身三維曲面模型和發(fā)動(dòng)機(jī)配氣搖臂三維實(shí)體模型)、生成真實(shí)感圖形和動(dòng)態(tài)圖形，能夠?qū)υO(shè)計(jì)的零部件進(jìn)行物性(面積、體積、慣性矩、強(qiáng)度、剛度、振動(dòng)等)計(jì)算，能夠進(jìn)行顏色和紋理仿真以及切削與裝配過程的模擬。從而可縮短產(chǎn)品開發(fā)周期，提高產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和制造質(zhì)量。圖 3-1 汽車車身三維曲面模型圖 3-2 發(fā)動(dòng)機(jī)配氣搖臂三維實(shí)體模型人類現(xiàn)實(shí)世界是一個(gè)由眾多類型三維幾何形狀構(gòu)成的集合體，因此，在CAD/CAM系統(tǒng)中，三維幾何造型技術(shù)引起了人們的極大關(guān)注。70年代初期開始研究用計(jì)算機(jī)直接描述三維物體的有效方法。近10余年來，美、英、德、瑞士等國都以大學(xué)為基地，研制了體素拼合系統(tǒng)和曲面造型系統(tǒng)，其中有些已經(jīng)成

3、為商業(yè)性系統(tǒng)，并在生產(chǎn)中得到推廣和應(yīng)用，如機(jī)械類產(chǎn)品零部件的設(shè)計(jì)與制造系統(tǒng)；自動(dòng)裝配零件和排除故障的專家系統(tǒng)；建筑工程設(shè)計(jì)和施工系統(tǒng)；機(jī)構(gòu)干涉校驗(yàn)系統(tǒng)等。就整體而言，三維圖形處理數(shù)學(xué)方法和造型技術(shù)的發(fā)展歷史還比較短，在理論問題和實(shí)現(xiàn)方法上還有待研究。本章從工程角度出，主要介紹三維線框造型、曲面造型，實(shí)體造型等的原理與計(jì)算機(jī)表達(dá)，并簡要介紹新發(fā)展起來的特征造型的基本概念。3.1 線框造型線框造型是CAD/CAM技術(shù)發(fā)展過程中早應(yīng)用的三維模型，這種模型表示的是物體的棱邊。線框模型由物體上的點(diǎn)、直線和曲線組成，這種模型系統(tǒng)的開發(fā)始于60年代初期，當(dāng)時(shí)，主要是為自動(dòng)化設(shè)計(jì)繪圖。初期的線框僅僅二維的，點(diǎn)

4、、直線 、圓弧和某些二次曲線是線本模型的基本元素，用戶需要逐線地構(gòu)造模型。一些更高級(jí)的系統(tǒng)，其中最早的是麥道公司的CADD系統(tǒng)，允許用戶對(duì)模型提出問題，造型系統(tǒng)用基本的幾何性質(zhì)回答。這些線框模型并不是解析地表示實(shí)體，用戶有責(zé)任模型解釋褓一的性質(zhì)，同時(shí)把實(shí)體的性質(zhì)賦于模型，后來在地維線框模型的基礎(chǔ)上發(fā)展了三維線框模型，構(gòu)造在維線框模型，構(gòu)造三維線框模型的知一步是引入三維結(jié)構(gòu)，但仍限于二維同樣的點(diǎn)、直線和曲線，但模型有了深度，可以做三維的平移、旋轉(zhuǎn)、且能產(chǎn)生出立體感。這就減少了用戶在某些解釋方面的責(zé)任，但體積和其它物性自動(dòng)計(jì)算分析方而后功能仍然沒有。線框模型在算機(jī)內(nèi)部是以邊表和點(diǎn)表表達(dá)和存儲(chǔ)的，實(shí)

5、際物體是邊表和點(diǎn)表相應(yīng)的三維映象，計(jì)算機(jī)可以自動(dòng)實(shí)現(xiàn)視圖變換和空間尺寸協(xié)調(diào)。如圖3-3所示的立方體線框圖采用8個(gè)頂點(diǎn)和12條邊來表達(dá)。線框模型具數(shù)據(jù)結(jié)要簡單，對(duì)硬件要求不高易于掌握等特點(diǎn)。這種模型曾廣泛應(yīng)用一工廠或車間布局，管道敷設(shè)、運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的模擬干涉檢查。但線框模型存在著嚴(yán)重的缺陷，比如所五月示的圖形含義不確切，如圖3-4所示帶孔立方體的孔是盲孔還是通孔含義就不清楚，不能進(jìn)行物體幾何特生(休積、面積、重量、慣性矩等)計(jì)算，不便于消除隱藏線，不能滿足表特性的組合和存儲(chǔ)多坐標(biāo)數(shù)據(jù)控加工刀具軌跡的生成等方面的要求。3.2自由曲線自由曲線的生成成與參數(shù)方程所謂自由曲線通常指不能用曲線、圓弧和二次圓錐

6、曲線描述的任意形狀的曲線，自由曲線常的形方法有：逼近和插值等方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，自由曲線在機(jī)器人軌跡規(guī)劃、航空航天、汽車、船舶、模具等流線型表面設(shè)計(jì)方面得到了廣泛的應(yīng)用，特別是非均勻有理B樣條(NURBS)。不僅能把規(guī)則物體和自由形狀物體用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)學(xué)模型表達(dá)，而且能用樣條精確地表示而不只是逼近規(guī)則形狀的物體，從而為CAD/CAPP/CAM建立統(tǒng)一的幾何模型提供了基礎(chǔ)。曲線可以用隱函數(shù)、顯然數(shù)據(jù)可參數(shù)方程表示。曲線用隱函數(shù)表示不 ，作圖不方便；顯函數(shù)表示雖然簡直觀，但存在多值性和斜無窮大等問題。因此，隱函數(shù)、顯函只適合表達(dá)簡單、規(guī)則的曲線。復(fù)雜的曲線如自由曲線一般表示成參數(shù)曲線。空間參

7、數(shù)曲線可以看作是一個(gè)重點(diǎn)在0人間的軌跡，可以用位置矢量r(t)連續(xù)不斷各瞬間位置描述，如圖3-5所示。曲線的參數(shù)方程一般可寫為：r(t)=(x(t),y(t),z(t)的表達(dá)形式。工程中常見的直線、圓弧、螺旋線等規(guī)則曲線也可用上述參數(shù)形式表達(dá)。本節(jié)討論自由曲線的參數(shù)表達(dá)方法，并主要介紹Ferguson 曲線、Bezier 曲線、B樣條曲線和NURBS曲線等表達(dá)方法。曲線Ferguson曲線也叫 Hermite插直曲線。因?yàn)?Hermite插值系數(shù)多項(xiàng)式為 k次 (k?1)時(shí)，Hermite插值多項(xiàng)式為 (2k+1)次。顯然， Hermite插值多項(xiàng)式的最低為3次(或4階)。設(shè)三次代數(shù)多項(xiàng)式(3

8、-1)則三次Ferguson曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為：(3-2) 求M矩陣的過程如下：已知某段曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)為Q 和Q ，且Q 和Q 兩點(diǎn)處曲線的切矢量Q 和Q ，即將曲線P(t)表示為P(t)=Q (t),Q (t),Q '(t),Q '(t),如圖3-6所示。將 t=0 和t=1分別代入(3-2)式得：P(0)=0 0 0 1M=QP(1)=1 1 1 1M=Q 由(3-2)式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得：(3-3)將t=0和 t=1分別代入(3-3)式得：P(0)=0 0 1 0M=Q0P(1)=3 2 1 0M=Q1 上述幾個(gè)式子可以合寫成：0 0 0 1 Q01 1 1 1 Q

9、00 0 1 0Q03 2 1 0Q0M=由此可得：代入(3-2)式得Ferguson 曲線方程如下：（3-4）記為P(t)=H00(t)Q0+H01(t)Q1+H11(t)Q1式中，T、Mc、Q分別叫參數(shù)矩陣、代數(shù)矩陣和幾何矩陣。另外，F(xiàn)erguson 曲線方程又可以寫成：(3-6)式中H00(t)、H01(t)、H10(t)和H11(t)叫調(diào)配函數(shù)(或權(quán)函數(shù))。上面是生成一段簡單曲線的過程。如果要經(jīng)過許多點(diǎn)構(gòu)造一條由多段三次 Ferguson 曲線拼接而成的復(fù)雜曲線，只需保證后一段曲線的起點(diǎn)與前一段曲線的終點(diǎn)重合并且在重合點(diǎn)處的切矢量相同。 Ferguson曲線在早期的曲面設(shè)計(jì)中得到了應(yīng)用

10、。但它有許多缺點(diǎn)：一是設(shè)計(jì)條件與曲線如末兩點(diǎn)的切矢大小和方向有關(guān)，設(shè)計(jì)時(shí)不易控制；二是如果定義高次 Ferguson曲線，需要用到曲線始末兩點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)。為此人們?cè)贔erguson數(shù)學(xué)模型上作了一些改進(jìn)，得到另外形式的曲線。 Bezier曲線就是其中一種。曲線1. Bezier曲線方程 在上述 Ferguson曲線表達(dá)式推導(dǎo)過程中，在切矢量Q0和Q1上的適當(dāng)位置（由系數(shù)P確定）取兩點(diǎn)Q0e和Q1e，即用Q0e代表Q0,用Q1e代表Q1，如圖3-7所示，可以導(dǎo)出三次Bezier曲線方程。令：Q0e = Q0 + Q0/p 或 Q0 = p(Q0e - Q0)Q1e = Q1 + Q1/p 或 Q

11、1 = -p(Q1e Q1)點(diǎn)Q0 、Q0e 、Q1、Q1e不一定在曲線上但它都對(duì)曲線形狀有影響，是控制曲線形狀的制頂點(diǎn)，多邊形Q0Q0eQ1eQ1叫控制多邊形或特征多邊形。將上面兩式代入（3-4）式得：（3-7）整理后得：上式與（3-4）、（3-6）式的結(jié)構(gòu)相似，共中權(quán)函數(shù)為（3-8）用Q0，Q1，Q2，Q3，分別表示Q0，Q0e，Q1e，Q1，則有為了保證曲線的幾種不變性（權(quán)性、非負(fù)性），應(yīng)有下列關(guān)系成立：當(dāng)P取不同的值量，取矢量Q0、Q1長度不同（即控制點(diǎn)Q0e,Q1e位置不同）曲線形狀也不同，分如下幾種情況討論：（1）當(dāng)P0時(shí)，曲線退化為直線段。（2）當(dāng)P=03時(shí)，P越大，曲線越帶近控

12、制多邊形；（3）當(dāng)P>3時(shí)，曲線不再保凸，即曲線不再位于控制多邊形圍成的凸包內(nèi)，可能出現(xiàn)尖點(diǎn)或閉環(huán)（自相交），曲線特性變差；所以，當(dāng)取P=3時(shí)，曲線最貼近控制多邊形而不出現(xiàn)尖點(diǎn)和閉環(huán)。將P=3代入（3-8）式得權(quán)函數(shù)為：所以仿（3-5）式，記為：P(t)=TMBQ由四個(gè)控制點(diǎn)定義一條三次Bezier曲線，如圖3-8民示。伯恩期坦（Bernstein）定義了一種函數(shù)為基本曲線的次數(shù)，I為基函數(shù)的序的號(hào)。所以，對(duì)n次Bezier曲線，可以寫成如下通式：由上述通式很容易導(dǎo)出一、二次及高級(jí)Bezier曲線方程。2. Bernstain基函數(shù)的性質(zhì) 由排列組合和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算有關(guān)規(guī)律可以推導(dǎo)出Berns

13、tain基函數(shù)如下性質(zhì)： 3. Bezier曲線的主要性質(zhì) 由Bezier曲線方程和Bernstain基函數(shù)的性質(zhì)可以得出Bezier曲線的一些性質(zhì)：(1)端點(diǎn)的特性1）位置：曲線首尾端點(diǎn)分別經(jīng)過折線多邊形的首末點(diǎn)，即2)切矢： 由Bi,n(t)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，可以推出所以，起點(diǎn)切矢(2) 對(duì)稱性：由Bernstein基函數(shù)的對(duì)稱性可知，控制點(diǎn)的走向Q0Q1Q2Q3顛倒后，曲線形狀不變，但走向相反；(3)凸包性：如果平面控制多邊形是凸的(4)保凸必：如果平臺(tái)控制多邊形是凸的（即多邊形的任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線都在多邊形內(nèi)或其邊界上），(7)則Bezier曲線也是凸的；(5)幾何不變性：曲線的形狀不隨

14、坐標(biāo)系的變化而變化；(6)變差減少性：對(duì)平面Bezier曲線而言，面平內(nèi)任意一直線與Bezier曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于直線與控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。這說明曲線比控制多邊的波動(dòng)?。ǜ忭槪?。4. Bezier曲線的拼接 復(fù)雜Bezier曲線是通過多段簡單Bezier曲線拼接而成的。兩段曲線首末相連時(shí)，根據(jù)在連接點(diǎn)處的連續(xù)性條件不同，常分為幾種幾何連續(xù)（GC）情況：（1） GC0:零階幾何連續(xù)。第一段曲線末點(diǎn)與第二段曲線起點(diǎn)重合。設(shè)兩段曲線的起點(diǎn)和末點(diǎn)分別 對(duì)Bezier曲線而方，如果后一段曲線的第一個(gè)控制點(diǎn)與前一段曲線的最后一個(gè)控制點(diǎn)重合，那么兩段曲線是GC0連續(xù)的。 (2) GC1：一個(gè)階幾何連續(xù)

15、。同時(shí)滿足 對(duì)Bezier曲線而言，如果后一段曲線的第一個(gè)控制點(diǎn)與前一段曲線的最的一個(gè)控制點(diǎn)重合，并且后一段曲線的控制多邊形的第一條邊與前一段線曲的控制多邊形的最后一條邊在一條直線上，那么兩段是GC1連續(xù)的。(3)GC2：二階幾何連續(xù)。當(dāng)且曲線的主法矢 與 (曲線的主法矢與曲率詳見有關(guān)微分幾何教材)時(shí)，曲線是二階幾何連續(xù)。5. Bezier曲線的修改 以四次Bezier曲線為例，如圖3-9所示。圖中修改Q2點(diǎn)，修改前的曲線方程為：修改量Q2-Q2*-Q2，修改后曲線方程為：p*(t)=Q0B0,4(t)+Q1B1,4(t)+(Q2+Q2)B2,4(t)+Q3B3,4(t)+Q4B4,4(t)=

16、p(t)+Q2·B2,4(t)因?yàn)閠(0,1),Q2·B2,4(t)0。所以修改一個(gè)控制點(diǎn)后，貢線上任意點(diǎn)都要迭加分量Q2·B2,4(t)，在整個(gè)參數(shù)區(qū)域內(nèi)，P(t)曲線都會(huì)發(fā)生變化，所以曲線局部可操作性不好，修改曲線不方便。6. Bezier曲線控制頂點(diǎn)的反算 曲線控制頂點(diǎn)的反算是指由曲線的一系列點(diǎn)（稱之為型值點(diǎn)）反求出定義該曲線的一系列控制頂點(diǎn)的過程。由實(shí)物模型測量數(shù)據(jù)后，產(chǎn)品的計(jì)算機(jī)描述數(shù)據(jù)（如由汽車油泥模型測量數(shù)據(jù)求車身外形的計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)）就是曲線的反算過程。如果給定(n+1)個(gè)型值點(diǎn)P0,P1,P2,Pn,要求一點(diǎn)系列控制點(diǎn)，由這些控制點(diǎn)定義的一條Bezi

17、er曲線通過已知的型值點(diǎn)，這與平常給定控制點(diǎn)求型值點(diǎn)的過程恰好相反。為了確定特征多邊形的頂點(diǎn)Qi，可以取參數(shù)它們分別與型值點(diǎn)Pi(i=0,1,2n)對(duì)應(yīng)。于是，根據(jù)Bezier的方程和性質(zhì)，可列出如下方程組：上述方程組有Q0,Q1,Q2，Qn (n+1)個(gè)未知數(shù)，有n+1個(gè)方程，故可以得出唯一組解（Q0,Q1,Q2Qn）。應(yīng)注意的是，參數(shù)t的取法不一樣，得到的控制點(diǎn)列也不一樣，由于這些點(diǎn)都逼近Bezier曲線，但逼近的精度有所不同，即反求的解不唯一。Bezier曲線在自由曲線/由面設(shè)計(jì)上得到廣泛的應(yīng)用。但也存大一些不足。主要是存在著以下幾個(gè)問題：（1） 很復(fù)雜的Bezier曲線不分段時(shí)，如果控

18、制多邊的頂點(diǎn)數(shù)為（N+1），也就一義了曲線的次數(shù)為N，一般控制多邊的頂點(diǎn)數(shù)較多，因而曲線的次數(shù)很高，數(shù)學(xué)計(jì)算很復(fù)雜；采用分段Bezier曲線時(shí)，如果地注拼接達(dá)到GC2連續(xù)，連續(xù)條件的計(jì)算相當(dāng)繁瑣。(2) 權(quán)函數(shù)在開區(qū)間（0，1）內(nèi)均不為零，因此所定義的曲線在開區(qū)間的任何一點(diǎn)均要受所有頂點(diǎn)的影響，即改變其中任一個(gè)頂點(diǎn)的位置對(duì)整個(gè)曲線都有影響。因而，不便對(duì)曲線進(jìn)行局部修改。（3） 為曲線的次數(shù)N較大即控制多邊形邊數(shù)較多時(shí)，多邊形對(duì)曲線的控制減弱，即逼近曲線的程度減弱。為了克服上述問題，人們提出了B樣條函數(shù)替代Bernstein基底函數(shù)，從而出現(xiàn)了B樣條曲線。樣條曲線B樣條曲線保持了Bezier的直

19、觀性、凸包性等優(yōu)點(diǎn)外，還具有便于局部修改主便、對(duì)特征多邊形逼得更近、多項(xiàng)式次數(shù)低、分段曲線拼拉條件簡單等特點(diǎn)。1.B樣條曲線的數(shù)學(xué)模型 令樣條曲線基函數(shù)為：（3-10）式中，I是函數(shù)的序號(hào)，n是樣條的次數(shù)，j表示一個(gè)基函數(shù)是由哪幾項(xiàng)加起來的。（1）二階一次B樣條曲線將n=1代入（3-10）式得X0,1(t)=1-t,X1,1(t)=t兩個(gè)控制點(diǎn)定義一段B樣條曲線，如果給一系列控制點(diǎn)，則第I段B樣條曲線方程是為：顯然，此時(shí)曲線是直線段，就是特征多邊形的邊。移動(dòng)控制頂點(diǎn)Qi,只影響QiQi-1, QiQi+1二段如圖3-10所示。圖3-10 一次B樣條曲線（2）三階二次B樣條曲線將n=2代入上（3

20、-10）式得第i段曲線方程為可發(fā)現(xiàn)，PI段二次B樣條曲線由Qi-1，QI，Qi+1三個(gè)控制定義，Pi+1段曲線由QI，Qi+1，Qi+1三個(gè)控制點(diǎn)定義（即往后順移一個(gè)控制點(diǎn)）。曲線切矢的基函數(shù)為：曲線端點(diǎn)切矢為：基函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為：所以曲線端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為：圖3-11所示為Q0，Q1，Q2，Q3，四個(gè)控制點(diǎn)構(gòu)成的二次B-spline曲線。圖3-11 二次B樣條曲線（3）四階三次B樣條曲線 將n=3人入（3-10）式得2.三次B樣條曲線幾何性質(zhì)（1）端點(diǎn)特性1）位置： 將t=0代入（3-11）式，2）得2三次B 樣條曲線幾何性質(zhì)（1） 端點(diǎn)特性1） 位置：將t=0代入（3-11）式，得（3-12

21、）式中，QR1=(Qi-1-Qi)+(Qi+1-Qi)，即為圖3-12中所示的平行四邊形的對(duì)角線。將t=1代入（3-11）式，得（3-13）式中，QR2=(Qi-Qi+1)+(Qi+2-Qi+1)式（3-12）、（3-13）描述了三次B樣條曲線的型值點(diǎn)與控制點(diǎn)之間的關(guān)系，從這兩個(gè)式子可以看出，第I段三次B樣條曲線只與Qi-1QiQi+1Qi+2四個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，如圖3-12所示。曲線始點(diǎn)位于Qi-1QiQi+1的中線QiM1R 1/3Q處或平行四邊形Qi-1QiQi+1QR1對(duì)角線的1/6處。曲線終點(diǎn)位于QiQi+1Qi+2的中線Qi+M2的1/3處或平行四邊形QiQi+1Qi+2QR2對(duì)角線Q

22、R2的1/6處。2）一階切矢：將（3-11）式對(duì)t求導(dǎo)，得即曲線在端點(diǎn)處的切矢量分別平行于三角形Qi-1QiQi+1和QiQi+1Qi+2的底邊，約等于三角形底邊長的一半。6）二階切7）矢：將（3-11）式對(duì)t求二階導(dǎo)數(shù)，8）得到由于第Pi段曲線由（Qi-1,Qi,Qi+1,Qi+2）定義，第Pi+1段曲線由（Qi,Qi+1,Qi+2,Qi+3）定義（即往由順移一個(gè)控制點(diǎn)），所以后一個(gè)平行四邊形正好是下一段曲線的前一個(gè)增行四邊形，即 所以三次B樣條曲線自動(dòng)滿足GC2連續(xù)條件。對(duì)三次B樣條，N個(gè)控制點(diǎn)得到（N-2）個(gè)型值點(diǎn)或（N-3）段曲線。（2） 局部特性 每四個(gè)控制點(diǎn)定義一段三次B樣條曲線，

23、如圖3-13所示，對(duì)某一個(gè)控制點(diǎn)而言（如Q4），改變Q4，只對(duì)圖中四條實(shí)線情況表示的四段B樣條曲線有影響，一般地，K次B樣條基函數(shù)只在（K+1）個(gè)曲線區(qū)間非零，其余區(qū)域?yàn)榱悖锤淖円粋€(gè)控制點(diǎn)，只對(duì)（K+1）條段B樣條曲線有影響。這體現(xiàn)了B樣條曲線的局部可修改性質(zhì)。（3） 幾種特殊情況討論1） 四點(diǎn)共線 當(dāng)Qi-1,Qi,Qi+1,Qi+2四個(gè)頂點(diǎn)位于同2） 一直線上時(shí)，3） 上文所提到的平行四邊形都蛻化為一直線，4） P(t)也為一直線。因此可以在兩段曲線之間夾一段直線。5） 三重頂點(diǎn) 通過三重頂點(diǎn)，6） 可以構(gòu)成尖點(diǎn)7） 四重頂點(diǎn) 曲線退化為一點(diǎn)。 3. 三次B樣條曲線的反算 三次B樣條曲線

24、的型值點(diǎn)的個(gè)數(shù)比控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)少兩個(gè)，如果已知(n+1)個(gè)型值點(diǎn)Pi(I=0,1,n)，如何反算出（n+3）個(gè)控制點(diǎn)Qi(j=-1,0,n+1)？這就是三次B樣條曲線的反算問題。顯然，需補(bǔ)充2個(gè)幾何條件，才能求解。由前面（3-12）、（3-13）式得知，型值點(diǎn)與控制點(diǎn)存在著下列關(guān)系：補(bǔ)充條件的方法有如下兩種：（1）對(duì)開曲線： 設(shè)其兩端點(diǎn)曲率為0，可以設(shè)計(jì)成二重頂點(diǎn)，即Q-1=Q0,Qn+1=Qn或 6Q-1-6Q0=06Qn+1-6Qn=0將（n+3）個(gè)方程寫成矩陣的形式：對(duì)上述三對(duì)角矩陣，利用追趕法求解。（2）對(duì)閉曲線：曲線首尾封閉不是簡單封閉，控制點(diǎn)必須沿環(huán)向重疊一部分。即取Q-1=Qn,Q

25、n+1=Q0,則得到可以用迭代法求爭上述方程組。非均勻有理B樣條（NURBS）曲線近年來，隨著CAGD的發(fā)展，NURBS技術(shù)有了較快的發(fā)展和較廣泛的應(yīng)用，其主要原因在于：1）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的解析曲線（如圓錐曲線等）和自由曲線提供了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述，便于工程數(shù)據(jù)庫的管理和應(yīng)用； 2） 保留了B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)插入、修改、分割以及修改控制點(diǎn)等強(qiáng)有力的技術(shù)，而且還具有修改權(quán)因子來方便地修改曲線形狀的能力； 3）具有幾何變換不變性； 4）非有理B樣條曲線、有理及大量有理Bezier曲線等均為NURBS曲線的表示特例。因此NURBS曲線具有更強(qiáng)的表達(dá)功能。NURBS曲線的定義如下：給定n+1個(gè)控制點(diǎn)Pi(I=0,n

26、)及其權(quán)因子Wi(I=0,n)，則K階（K-1）次NURBS曲線的表達(dá)式為：上式中Pi也稱之為特征多邊形頂點(diǎn)位置矢量。Ni,k(u)是K階B樣條基函數(shù)，按照遞推方式可定義為：上式中ti為節(jié)點(diǎn)值，T=to,t1,tn+k,tn+k+1構(gòu)成了K階B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量，節(jié)點(diǎn)值必須是非減序列，即ti+1tI。當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸是均勻分布時(shí)，即ti+1-tI=常數(shù)，則B樣條基函數(shù)為均勻B樣條基函數(shù)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，通常取t0=t1=tK-1=0tn+1=tn+2=tn+k+1=1即取節(jié)點(diǎn)矢量T使U0，1且兩端按K重節(jié)點(diǎn)取值，這樣曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)就是控制多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)，且起、終點(diǎn)的切矢相切于控制多邊形的

27、第一條邊和最后一條邊。例如用NURBS曲線表達(dá)圓時(shí)，共特征多邊形頂點(diǎn)Pi(I=0,8)按圖3-14所示的矩形分布，每個(gè)控制點(diǎn)的權(quán)值為其節(jié)點(diǎn)矢量T=t0t1t2t10t11=0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4盡管NURBS表達(dá)有許多優(yōu)點(diǎn)，但由于其表達(dá)式較前述幾種自由曲線的表達(dá)更為復(fù)雜，因此其計(jì)算量較大，影響軟件的運(yùn)行速度，耗費(fèi)的存貯量較大。而且當(dāng)權(quán)因子為零和負(fù)值時(shí)容易引起計(jì)算的不穩(wěn)定，導(dǎo)致曲線發(fā)生畸變，因此在使用NURBS時(shí)應(yīng)有適當(dāng)?shù)南拗埔员ＷC算法的穩(wěn)定性。3.3 曲面造型概述曲面造型又叫表面造型。表面模型是通過在線框模型的基礎(chǔ)上添加了面的信息，利用表面模型，就可以對(duì)物體作剖面、消隱

28、、獲得NC加工所需的表面信息等。對(duì)一些復(fù)雜的物體表面，如汽車車身、飛機(jī)機(jī)身、模具型面告示呈流線型瞬息萬變由曲面。與自由曲線的定義相似，所謂自由曲面是指不能用基本立體要素（棱柱、棱錐、球、一般回轉(zhuǎn)體、有界平面等）描述的呈自然形狀的曲面，必須根據(jù)空間自由曲線和自由曲面的理論進(jìn)行計(jì)算。傳統(tǒng)的自由曲面設(shè)計(jì)一般采用放樣（Lofting）方法，即對(duì)曲面取不同的裁面，得到平面裁交線，用水平線(Water Line)、鉆直線(Station Line)組成的矩形網(wǎng)格對(duì)裁面線上的點(diǎn)進(jìn)行定位。由于這種方法中網(wǎng)絡(luò)線不可能無限度的密，對(duì)放樣曲線上的點(diǎn)的確定，有時(shí)由人的經(jīng)驗(yàn)而定，存在較大的誤差，且不適合計(jì)算機(jī)表達(dá)，故引

29、入了參數(shù)曲面的概念。仿照參數(shù)曲線的定義，參數(shù)曲面可看成是一條變曲線按某參數(shù)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡，即參數(shù)曲面可表示為，這里兩個(gè)u、是描述曲面的參數(shù)，故這種曲面叫雙參數(shù)曲面，一般表示為規(guī)則曲面的參數(shù)表達(dá)也具有這種雙參數(shù)形式。參數(shù)曲面的切矢、切平面、法矢是參數(shù)曲面加工和檢測中需用到的重要特征，知道曲面參數(shù)方程后，可以求出曲面的u向切矢和向切矢分別為：因此，曲面的切平面方程為：曲面的法矢為：切平面方程也可寫成： 與Ferguson曲線、Bezier曲線和B樣條曲線對(duì)應(yīng)，工程常用的自由曲面有Coons曲面、Bezier曲面和B樣條曲面。自由曲線的表達(dá)結(jié)構(gòu)可以理解為讞配函數(shù)對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行一次調(diào)配，是單參數(shù)函數(shù)。自

30、由曲面的構(gòu)造形式與自由曲線的構(gòu)造策略相似，它可以看成是自由曲線的“單參數(shù)”、“一次調(diào)配”和“雙參數(shù)”、“二次調(diào)配”的拓展，即先通過參數(shù)u將點(diǎn)調(diào)配成曲線，然后通過參數(shù)將曲線調(diào)配成曲面。因此，參數(shù)曲面方程可以寫成：（3-14）上式中，m是關(guān)于參數(shù)u的調(diào)配函數(shù)的次數(shù)，n是關(guān)于參數(shù)的調(diào)配函數(shù)的次數(shù)，m×n稱為曲面的次數(shù)，Xi(u)和Xj()分別是關(guān)于參數(shù)u和參數(shù)的調(diào)與函數(shù)（兩者的結(jié)構(gòu)相同），Qij是給定的已知幾何條件。如果式(3-14)Xi(u)、Xj()和Qij取與Ferguson曲線相似的基函數(shù)和幾何條件時(shí)，式（3-14）即為Coons曲面方程；如果式（3-14）即為Bezier曲面方程

31、；如果式（3-14）Xi(u)、Xi()和Qij取與B樣條曲線相似的基函數(shù)和幾何條件進(jìn)，式（3-14）即為B樣條曲面方程。下面分別介紹3×3次Coons曲面、Bezier曲面和B樣條曲面。 Coons曲面由前面分析，已知三次Ferguson曲線的基函數(shù)為X=u3,u2,u,1×MC，代入（3-14）式，得到雙三次Coons曲面的方程：（3-15）這里，幾何矩陣Qij是一個(gè)4×4的矩陣，它16它個(gè)元素中，四個(gè)是曲面的四個(gè)角點(diǎn)Q00、Q01、Q10、Q11，如圖3-15所示；四個(gè)是曲面四個(gè)角點(diǎn)處u向切矢（一個(gè)偏導(dǎo)）Qu00、Qu01、Qu10、Qu 11；四個(gè)是曲面四

32、個(gè)角點(diǎn)點(diǎn)向切矢（一階偏導(dǎo)）Q00、Q01、Q10、Q 11；四個(gè)是曲面四個(gè)角點(diǎn)處的扭矢（二階偏導(dǎo)）Qu00、Qu01、Qu10、Qu 11。同F(xiàn)erguson曲線一樣，設(shè)計(jì)Coons曲面時(shí)，需要用到切矢，而且不要用到扭矢，這不直觀，而且難于控制，因此Coons曲面的應(yīng)用受到限制。 Beizer曲面由前面分析，已知三次Beizer曲線的基函數(shù)為X=u3,u2,u,1×MB代入（3-14）式得雙三次Bezier曲面方程：（3-16）Qij,i,j=0,1,2,3,是由空間16間個(gè)控制點(diǎn)組在的幾何矩陣，即空間控制網(wǎng)格，如圖3-16所示?？刂凭W(wǎng)格（圖中實(shí)線）的四個(gè)角點(diǎn)與曲面（圖中虛線）的四個(gè)

33、角點(diǎn)重合，其余控制點(diǎn)都不在曲面上。 B樣條曲面由前面分析，已知三次B樣條曲線的基函數(shù)X=u3,u2,u,1×MS，代入（3-14）式得雙三次B樣條曲面方程：（3-17）幾何矩陣Qiji,j=0,1,2,3，是空間間16間個(gè)控制點(diǎn)，這些控制點(diǎn)逼近B樣條曲面，但都不經(jīng)過B樣條曲面，如圖3-17所示。 NURBS曲面 與NURBS曲線的定義類似，給定一張（m+1）×(n+1)的網(wǎng)格控制點(diǎn)Pij(I=0,m,j=0,n)以及各網(wǎng)格控制點(diǎn)的權(quán)值Wij（I=0,m,j=0,n）則其確定NURBS曲面的表達(dá)式為：式中 Ni,k (u)為NURBS曲面U參數(shù)方向B樣條基函數(shù) Nj,l ()

34、為NURBS曲面V參數(shù)方向B樣條基函數(shù) K,l為B樣基函數(shù)的階數(shù)，其基函數(shù)的一義與NURBS曲線中完全相同。 Ni,k（u）的節(jié)點(diǎn)矢量為：x1x2xP Nj,I（）的節(jié)點(diǎn)矢量為：y1y2yq注意下面幾個(gè)條件必須滿足：Xi+1xi,yj+1yjP=m+k+1,q=n+1+1由于NURBS曲面的定義方法完全類似于NURBS曲線，故計(jì)算方法也完全相似。不僅如此，NURBS曲線的許多重要的特性也與NURBS曲面相同，故不再重復(fù)。 曲面的反算、拼接和互化 1. 反算 自由曲面在計(jì)算機(jī)內(nèi)部存儲(chǔ)的是控制點(diǎn)，但在實(shí)際工程中，往往先經(jīng)測繪得到曲面的型值點(diǎn)，然后再由型值點(diǎn)反算出控制點(diǎn)。由于曲面是由空間點(diǎn)經(jīng)過兩次調(diào)

35、配得到的，因而曲面的控制點(diǎn)的反算需要“兩次反算過程”，第一次反算過程為：將一個(gè)參數(shù)方向（如u方向）上的型值點(diǎn)依次按曲線反算方法反算出一系列點(diǎn)；第二次反算過程為：沿另一個(gè)參數(shù)方向（如方向），將第一次反算得到的點(diǎn)次再按曲線反算方法反算出另一系列點(diǎn)，第二次反虎得到的點(diǎn)即為曲面的控制點(diǎn)。2. 拼接 以雙三次自由曲面為例，相鄰兩片曲面光滑拼接的條件為：(1) 對(duì)Coons曲面：兩張雙三次Coons曲面片共邊界且在相鄰兩角點(diǎn)處的坐標(biāo)、u向切矢、向切矢、按矢分別相等；(2) 地Bezier曲面：兩張雙三次Bezier曲面片在相領(lǐng)邊界處的相領(lǐng)的控制網(wǎng)格共邊且在同一平面上；(3) 對(duì)B樣條曲面：由于每（4

36、15;4）即16個(gè)幾何條件定義一片雙三次曲面，如果定義B樣條曲面制造何矩陣Q有M行N列（M4，N4），則可以定義（M-3）×（N-3）個(gè)曲面片。與三次B樣條曲線的連續(xù)性相似，只要（4×4）的子矩陣在Q矩陣中是依次向右或依次向下移動(dòng)的，就能自動(dòng)保證相鄰的曲面片或上下相領(lǐng)的曲面片二階連續(xù)。顯然，B樣條曲面的連續(xù)性條件十分簡單，這是B樣條曲面得到廣泛應(yīng)用的原因之一。3. 互化 雙三次Coons曲面、雙三次Bezier曲面、雙三次B樣條曲面之間可以相互轉(zhuǎn)化。根據(jù)（3-15）、式（3-16）和式（3-17），這三種曲面的方程可以分別表示成：（3-18）（3-19）（3-20）上述三個(gè)

37、方程參數(shù)矩陣U=u3,u2,u,1和V=3,2,1都是相同的只是代數(shù)矩陣與幾何矩陣不同，但如果它們表示同一張曲面，顯然有（3-21）（3-21）式描述的就是三種曲面之間的互化關(guān)系。例如，由于（3-21）式可以得到下列兩個(gè)關(guān)系式：（3-22）（3-23）（3-22）式描述的是將Coons曲面轉(zhuǎn)化成Bezier曲面表示。反這，（3-23）式描述的是將Bezier曲面轉(zhuǎn)化成Coons曲面表示。其余曲面間的互化關(guān)系類推。3.4 實(shí)體造型早在60年代初，就提出了實(shí)體造型的概念，但由于當(dāng)時(shí)理論研究和實(shí)踐都不夠成熟，實(shí)體造型技術(shù)發(fā)展緩慢。70年代初出現(xiàn)了簡單的具有一定實(shí)用性的基于實(shí)體造型CAD/CAM系統(tǒng)，

38、實(shí)體造型在理論研究方面也相應(yīng)取得了進(jìn)展，如1973年，英國劍橋大學(xué)的布雷德(I.C. Baird)曾提出采用六種體素作為構(gòu)造機(jī)械零件的積木塊的方法，但仍然不能滿足實(shí)體造型技術(shù)發(fā)展的需要。在實(shí)踐中人們認(rèn)識(shí)到，實(shí)體造型只用幾何信息一示是不充分的還需要表示形體之間相互關(guān)系、拓樸信息。到70年代后期，實(shí)體造型技術(shù)在理論、算法和應(yīng)用方面逐漸成熟。進(jìn)入80年代后，國內(nèi)外不斷推出實(shí)用的實(shí)體造型，在實(shí)體模型CAD、實(shí)體機(jī)械零件設(shè)計(jì)、物性計(jì)算、三維形體的有限元分析、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、建筑物設(shè)計(jì)、空間布置、計(jì)算機(jī)輔助NC程序的生成和檢驗(yàn)、部件裝配、機(jī)器人、電影制片技術(shù)中的動(dòng)畫、電影特技鏡頭、景物模擬、醫(yī)療工程中的立體斷

39、面檢查等方面得到廣泛的應(yīng)用。實(shí)體造型是以立方體、圓柱體、球體、錐體、環(huán)狀體等多種基本體素為單元元素，通過集合運(yùn)算（拼合或布爾運(yùn)算），生成所需要的幾何形體。這些形體具有完整的幾何信息，是真實(shí)而唯一的三維物體。所以，實(shí)體造型包括兩部分內(nèi)容：即體素定義和描述，以及體素之間的布爾運(yùn)算（并、交、差）。布爾運(yùn)算是構(gòu)造復(fù)雜實(shí)體的有效工具。目前常用的實(shí)體造型方法主要有：邊界表示法、構(gòu)造實(shí)體幾何法和掃描法。 布爾運(yùn)算 1. 布爾運(yùn)算的基本概念 如果一個(gè)實(shí)體是由兩個(gè)或兩個(gè)以上較簡單的體素（Primitive）經(jīng)過集合運(yùn)算得到的那么這個(gè)實(shí)體的表示就是布爾模型(Boolean Model)。這種集合運(yùn)算叫布爾運(yùn)算，可

40、以簡單理解為布爾運(yùn)算是在一物體上增加或減少一部分。如果A、B為兩個(gè)實(shí)體，C=A<OP>B,這里<OP>代表任一正則化布爾算子，那么C就是布爾模型。A、B、C三者必須有相同的空間維數(shù)。為了簡明起見，假定所有布爾運(yùn)算都是正則化的，從而省略“正則的”一詞。符號(hào)<OP>代表正則算子（布爾算子），它可以是（并）、（交）和-（差）等。布爾模型的一個(gè)重要特點(diǎn)是：布爾模型是一個(gè)過程模型（Procedural Model）研究圖3-18，假定從A、B、C三個(gè)實(shí)體的頂點(diǎn)坐標(biāo)得知它們的大小、位置和方位，D的布爾模型是D=（AB）-C。定義D的布爾語句沒有定量地說明新產(chǎn)生的實(shí)體，僅

41、僅規(guī)定體素的結(jié)合方式。也未說明新體素的頂點(diǎn)坐標(biāo)，或有關(guān)新棱邊和面的任何信息，可能知道的就是關(guān)于A、B、C三個(gè)體素的幾何和拓?fù)湫畔?，以及新?shí)體D的構(gòu)造方法。因此，布爾模型是過程模型，也可稱作非求值模型。如果希望知道更多關(guān)于新實(shí)體的信息，則必須對(duì)布爾模型進(jìn)行求值計(jì)算，例如，計(jì)算交線和交點(diǎn)、拓?fù)潢P(guān)系分類、分析運(yùn)算得到的新元素的連通性，以確定該模型的拓?fù)涮攸c(diǎn)，從而決定新的棱邊和新的頂點(diǎn)。體素的結(jié)構(gòu)表示就是將布爾算子直接變換成二叉樹結(jié)構(gòu)表示，圖3-19是上述模型的二叉樹。其中，葉結(jié)點(diǎn)上是體素，每個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)及根結(jié)點(diǎn)上是布爾算子。體素是如何構(gòu)造的呢？在許多系統(tǒng)中，體素作為圖模型存儲(chǔ)。同時(shí)，這些體素模型的二叉

42、樹上的葉結(jié)點(diǎn)是可以縮放和定位的單元形體和參數(shù)化形體。體素也可以是有向曲面或半空間的布爾組合。有向曲面是指那種由其面上任何一點(diǎn)的法向決定體素內(nèi)部和外部的曲面。一個(gè)無界面將笛卡爾空間劃分為兩個(gè)無界區(qū)，每個(gè)無界區(qū)被稱作半空間。一組特一的半空間通過布爾交可以形成一個(gè)三維實(shí)體。日本北海道大學(xué)開發(fā)TIPS造型系統(tǒng)就是通過布爾組合，由半空間定義的有向面來構(gòu)造整個(gè)模型，每一個(gè)有向面均由f(x,y,z)=0形式的方程給出。在有向面上其函數(shù)值為零，在實(shí)體內(nèi)部函數(shù)值為正。這樣，就可以把一個(gè)復(fù)雜的實(shí)體這義為有向面交的并集。其它系統(tǒng)，如著名GMSolid系統(tǒng)、PADL系統(tǒng)（Rochester大學(xué)研制）和ROMULUS系

43、統(tǒng)（Evans and Sutherland公司研制）都是用有界體素運(yùn)算，在二叉樹任一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，兩個(gè)有效實(shí)體相組合產(chǎn)生第三個(gè)有效實(shí)體。在這些系統(tǒng)中，即使相當(dāng)復(fù)雜的布爾模型也能很快產(chǎn)生，布爾模型有非常簡單、緊湊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。2. 布爾運(yùn)算的基本步驟 設(shè)A和B是兩個(gè)分別用邊界表示B-rep法（見）描述的多面體，布爾運(yùn)算C=A<OP>B的運(yùn)算過程一般分為下面幾個(gè)步驟逐漸完成。（1） 確定布爾運(yùn)算兩物體之間的關(guān)系 物體邊界表示B-rep結(jié)構(gòu)中的面、邊、點(diǎn)之間的基本分類關(guān)系分別是“點(diǎn)在面上”、“點(diǎn)在邊上”、“兩點(diǎn)重合”、“邊在面上”、“兩邊共線”、“兩個(gè)多邊形共面”等六種關(guān)系。先用數(shù)值計(jì)算確定

44、“點(diǎn)在面上”的關(guān)系，共余五種磁系可以根據(jù)“點(diǎn)在面上”關(guān)系推導(dǎo)出來。當(dāng)這些關(guān)系發(fā)生沖突時(shí)，就用揄的方法解決沖突。 (2) 進(jìn)行邊、體分類 對(duì)A物體上的每一條邊，確一對(duì) B物體的分類關(guān)系（A在B物體內(nèi)、外、上面、相交等）；同樣對(duì)B物體上的每一條邊，確定對(duì) A物體的分類關(guān)系。（3） 計(jì)算多邊形的交線對(duì)于A物體上的多邊形PA和B物體上的多邊形PB，計(jì)算它們的交線。在布爾模型的邊界求值計(jì)算方面，求交計(jì)算是關(guān)鍵一環(huán)。（4） 構(gòu)造新物體C表面上的邊 對(duì)于A物體上和B物體上的每一個(gè)多邊形PA、PB，根據(jù)布爾運(yùn)算的算子收集多邊形PA的邊與另一多面體表面多邊形PB的交線以生成新物體C表面的邊，如果多邊形PA上有邊

45、被收集到新物體C的表面，則 PA所在的平面半成為新物體C表面上的一個(gè)平面，多邊形PA的一部分或全部則成為新物體C的一個(gè)或多個(gè)多邊形。如果定義了兩個(gè)物體A和B的完整邊界，那么物體C的完整邊界就是A和B邊界各部分的總和。（5） 構(gòu)造多邊形的面 對(duì)新物體C上的每一個(gè)面，將其邊排序構(gòu)成多邊形面環(huán)。（6） 合法性檢查 檢查體C的B-rep表示的合法性。 邊界表示法邊界表示B-rep (Boundary-representations)是以物體邊界為基礎(chǔ)，定義和描述幾何形體的方法。這種方法能給出物體完整、顯式的邊界描述。其原理是：每個(gè)物全都由有限個(gè)面構(gòu)成，每個(gè)面（平面或曲面）由有限條邊圍成的有限個(gè)封閉域定

46、義?；蛘哒f，物體的邊界是有限個(gè)單元面的并集，而每一個(gè)單元面也必須是有界的用邊界法描述實(shí)體，必須滿足一定條件。一個(gè)理想、有效表面的條件是：封閉、有向、不自交、有限和相連接，并能區(qū)分實(shí)體邊界內(nèi)、邊界外和邊界上的點(diǎn)。圖3-20所示的物體由平行六面體和圓柱構(gòu)成，根據(jù)邊界表示法原理，可以用一系列點(diǎn)和邊有序地將其邊界劃分成許多單元面，其數(shù)學(xué)計(jì)算并不困難。例如，該實(shí)體的平行六面體可以方便地分成6個(gè)單元平面，各個(gè)單元面由有向、有序的邊組成，每條邊則由兩個(gè)點(diǎn)定義。圓柱體底和頂面自然也是一個(gè)單元面，而圓柱面的分割則有我種方法，圖中劃分為前后兩上圓柱面，每個(gè)圓柱面則有向、有序的直線和圓弧構(gòu)成，而圓弧線則由三個(gè)點(diǎn)定義

47、圓的方法描述。不管是平行六面體還是圓柱體，都不能只用一個(gè)單元面表示整個(gè)物體。特別是用邊界表示法描述曲面實(shí)體將需要更多條件，例如一個(gè)Bezier曲面則需由其特扌多邊形頂點(diǎn)網(wǎng)格定義，該曲面上的曲線用特征多邊形頂點(diǎn)定義。圖3-20所示實(shí)體的數(shù)結(jié)構(gòu)可用體表、面表、環(huán)表、邊表、頂點(diǎn)表五個(gè)層次的表描述（見圖3-21）。體表描述的是幾何體包含的基本體素名稱以及它們之間的相互位置和拼合關(guān)系；面表描述是的是幾何體包含的各個(gè)面、面的數(shù)學(xué)方程，每個(gè)面有且只有一個(gè)外環(huán)，如果面內(nèi)有孔，則還有內(nèi)環(huán)；環(huán)表描述的是環(huán)由哪些邊組成的；邊表中有直邊、二次曲線邊、三次樣條曲線邊，以及各種面相貫后產(chǎn)生的高次曲線邊；頂點(diǎn)表述的是邊的端

48、點(diǎn)或曲線型值點(diǎn)。點(diǎn)不允許弧立地存在于幾何的內(nèi)部或外部，只能存在于幾何體的邊界上。邊界表示法強(qiáng)調(diào)物體的外表細(xì)節(jié)，建立了有效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，把面、頂點(diǎn)的信息分層記錄，并建立了層與層之間的關(guān)系。分層記錄的信息包括相互獨(dú)立雙相互聯(lián)系的兩部分：一組是幾何信息，一組為拓?fù)湫畔?。幾何信息是指歐氏空間中的位置和大小，包括點(diǎn)的坐標(biāo)，曲線和曲面的數(shù)學(xué)方程等；拓?fù)湫畔⑹侵笌缀误w頂點(diǎn)、邊、面的數(shù)目、類型以及相互間的連通關(guān)系。根據(jù)這些明確的記錄信息，可以知道內(nèi)何體表面的范圍及其鄰接情況。為了有效地表示幾何體的拓?fù)潢P(guān)系，斯坦福大學(xué)鮑姆加特（B. G. Baumgart）于70年代創(chuàng)造性地提出了翼邊結(jié)構(gòu)的方法，即以邊為核心，每

49、條邊有上下兩個(gè)頂點(diǎn)，左右兩上領(lǐng)面（左鄰面與右鄰面）以及與兩個(gè)頂點(diǎn)相連的另外四條邊（見圖3-22），這些邊分別在兩個(gè)領(lǐng)面的邊已知的邊出發(fā)，有規(guī)律地查詢這個(gè)幾何體的所有面、邊和頂點(diǎn)。邊界表法法，允許絕大多數(shù)有關(guān)幾何體結(jié)構(gòu)的運(yùn)算直接用面、邊、點(diǎn)定義的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)。這有利于生成和繪制線框圖、投影圖、有限元網(wǎng)格的劃分和幾何特性計(jì)算，容易與二維繪圖軟件銜接。實(shí)全的邊界是實(shí)體與周圍環(huán)境的主要界面。它的外觀決定于表面性質(zhì)：形狀、顏色紋理，即使是透明體，邊界表面也影響光的反射。實(shí)體的邊界面也是指它與其它實(shí)體相接觸的地方，如制造加工過程就是刀具軌跡的包絡(luò)面切除零件毛坯的過程。因此，實(shí)體的邊；界達(dá)模型在實(shí)際工程得到了廣

50、泛的應(yīng)用。 構(gòu)造料體幾何構(gòu)造實(shí)體幾何CSG (Constructive Solid Geometry)是一種造型方法的專用術(shù)語。這種方法把復(fù)雜的實(shí)體這義為較簡單實(shí)體（體素）的組合。使用布爾算子實(shí)現(xiàn)這種組合。CSG的基本概念是由Rochester大學(xué)生產(chǎn)自動(dòng)化研究組Voelcker和Requicha等人首先提出的這些概念包括：正則布爾運(yùn)算、體素、邊界定值計(jì)算和元素的分類等。在構(gòu)造實(shí)體幾何法中，物體形狀的定義是以集合論為基礎(chǔ)的。一是集合本身的定義，其次是集合之間運(yùn)算。所以，構(gòu)造實(shí)體幾何法建立在兩級(jí)模式的基礎(chǔ)之上。第一級(jí)是以半空間為基礎(chǔ)定義有界體系。例如，球體是一個(gè)半空間，圓柱體是兩個(gè)半空間，立方體

51、則是產(chǎn)個(gè)半空間（因其存在域是六個(gè)半空間的交集）。第二給是將這些體素施以交、并、差運(yùn)算，生成一個(gè)二叉樹結(jié)構(gòu)，樹的葉結(jié)點(diǎn)是體素或變換參數(shù)，中間節(jié)結(jié)點(diǎn)是集合運(yùn)算符號(hào)，樹根是生成的幾何實(shí)體。CSG可看成物體的單元分解的結(jié)果。在模型被分解為單元以后，通過拼合運(yùn)算（并集）能使其結(jié)合為一體。其中，組件只能在匹配的面上進(jìn)行拼接。CSG可以使用所有正則布爾運(yùn)算：并集，交集、差集，從而既可以增加體素，又可以移去體素。在圖3-23中，四個(gè)葉節(jié)點(diǎn)代表體系1、2和平移量X，兩個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)表示（1-2）和2X的運(yùn)算結(jié)果，樹根表示最終得到物體。值得注意的是：最初和中間的物體都是有效的有界實(shí)體，此外交換并不限于剛性運(yùn)動(dòng)，各種放

52、大和相似變換在理論上都是可能的僅受布爾運(yùn)算功能的限制。如果造型系統(tǒng)中基本體素是由系統(tǒng)定義的有效的有界實(shí)體，且拼合運(yùn)算是正則運(yùn)算，那么拼合運(yùn)算得到最終實(shí)體模型也是有效和有界的如果系統(tǒng)允許用戶自己定義體素，則必須證明該體素的有效性。現(xiàn)有造型系統(tǒng)的共同目標(biāo)是為用戶提供一套形式簡潔、數(shù)目有限的基本體素，這些體素的尺寸、形狀、位置、方向由用戶輸入較少的參數(shù)值來確定。例如，大多數(shù)系統(tǒng)提供長方形體素，用戶可輸入長、寬、高和原始位置參數(shù)，系統(tǒng)可以檢查這些參數(shù)的正確性和有效性。另一些常用體素是圓柱體、球體、圓錐體和圓環(huán)體。體素的定義方法分為兩類：定義有界體素和無界體素。無界體素用空間域定義，這時(shí)體素是在有限個(gè)半

53、空間內(nèi)集合組成。例如一個(gè)圓柱體可以表示為三個(gè)半空間的交集。有界體素用B-rep表示或用與之相似的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示。這樣的表示可以清楚地表示出組合成體素的面、邊、點(diǎn)等。形體的邊界可通過邊界定值計(jì)算的方法描述，邊界定值決定哪些組成面應(yīng)被裁去，哪些棱邊或頂點(diǎn)被生成或被刪除，邊界元素重疊或位置一致時(shí)，邊界定值就把它們合拼成一個(gè)簡單元素。這樣，就能用一個(gè)前后一致、無冗余的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)描述一個(gè)實(shí)體邊界。兩個(gè)相連實(shí)體的相交處產(chǎn)生新的交線，通過邊界定值能找出這些交線，并對(duì)新實(shí)體實(shí)際棱邊的交線（新的交線在棱邊與表面的交點(diǎn)處終止）進(jìn)行分類定義、然后對(duì)各頂點(diǎn)重新分類。新實(shí)體各表面是由被連接的實(shí)體相交面產(chǎn)生的（只能對(duì)其進(jìn)行修

54、改，但不能產(chǎn)生機(jī)關(guān)報(bào)面，除非進(jìn)行增加操作），可以生成新的棱邊及頂點(diǎn)，也能刪除某些類型的元素。用構(gòu)造實(shí)體幾何法描述復(fù)雜實(shí)體是十分簡潔的，而且生成速度很快，從實(shí)體表示法到邊界表示法的轉(zhuǎn)換則需要進(jìn)行大量計(jì)算（包括整體性計(jì)算、圖形顯示模型計(jì)算和其他應(yīng)用內(nèi)容）。CSG表示法與機(jī)械裝配的方式類似。對(duì)機(jī)械產(chǎn)品來說，先設(shè)計(jì)制造零件，然后將零件裝配成產(chǎn)生品。用CSG表示構(gòu)造幾何形體時(shí)，則是先定義體素，然后通過布爾運(yùn)算將體素拼合成的所需要的幾何體。因此，一個(gè)幾何體可視為拼合過程中的半成品，其特點(diǎn)是信息簡單，處理方便，無冗余的幾何信息，并詳細(xì)記錄了構(gòu)成幾何體的原始特征和全部定義參數(shù)，必須時(shí)還可以附加幾何體和體素物各

55、種屬性。CSG表示的幾何體具有唯一性和明確性，但一個(gè)幾何體CSG表示和描述方式卻不是唯一的即可以用幾種不同CSG樹表示。CSG表示法對(duì)于自動(dòng)加工生產(chǎn)有著潛在的意義。 CSG與B-rep混合造型方法B-rep法在圖形處理上有明顯的優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)檫@種方法與工程圖的表示相近，根據(jù)B-rep數(shù)據(jù)可迅速轉(zhuǎn)換為線框模型，尤其在曲面造型領(lǐng)域，便于計(jì)算機(jī)處理、交互設(shè)計(jì)與修改。此外，B-rep多面體系統(tǒng)在生成濃淡圖時(shí)也有特點(diǎn)。例如在用像素操作法和填充法進(jìn)行濃淡處理時(shí)，在顯示速度和質(zhì)量方面也有明顯的優(yōu)點(diǎn)。用B-rep描述平面和自由曲面（B樣條、Beizer、Coons曲面）都是可行。而CSG表示法在幾何形體定義方面具

56、有精確、嚴(yán)格的優(yōu)點(diǎn)。其基本定義單位是體不比和面，但不具備面、環(huán)、邊、點(diǎn)的拓?fù)潢P(guān)系。因此，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡單。CSG表示法定義的是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型的方程式，其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)包含在判別函數(shù)議程組中。顯然，CSG表示法模型誤差很小。在模式識(shí)別方面，CSG法也有自己的長處。CSG模型是由各個(gè)體素構(gòu)成，而體素正是零件基本形體的表示，因此，從其中很容易抽象出零件的宏觀形體和具體形體。例如，若半機(jī)器人的工作環(huán)境用CSG方法定義，則整個(gè)機(jī)器人的工作過程可用CSG模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真。從CAD/CAPP/CAM的集成和發(fā)展角度來看，單純的幾何模型已不能滿足要求，而需要將幾何模型發(fā)展成為產(chǎn)品模型，即將設(shè)計(jì)制造信息加到幾何模型

57、上。這樣，產(chǎn)品模型信息量將大大增加。由于CSG表示法末建立完整的邊界信息，因此，既不可能向線框模型轉(zhuǎn)換，也不能用來直接顯示工程圖。同樣，對(duì)CSG模型不能作局部修改，因?yàn)槠淇尚薷母牡淖钚卧求w素。CSG和B-rep表示法各有所長，許多系統(tǒng)采用兩者綜合的表示方法進(jìn)行實(shí)體造型?，F(xiàn)在許多CAD/CAM系統(tǒng)均已采用CSG模型系統(tǒng)為外部模型，而用B-rep模型作為系統(tǒng)的內(nèi)部數(shù)據(jù)。為了發(fā)揮CSG和B-rep的長處，同時(shí)保留CSG和B-rep模型的數(shù)據(jù)是十分必要CSG加上B-rep一起可以作為整個(gè)幾何數(shù)據(jù)模型。這樣，當(dāng)面臨一個(gè)復(fù)雜的問題時(shí)，各應(yīng)用程序可并行進(jìn)行，時(shí)間和空間效率都可以提高。同時(shí)，CSG信息和B-rep信息可以互補(bǔ)充，確保幾何模型信息的完整與精確。 掃描表示法掃描表示法(Sweep Representation)是建立在沿某一軌跡移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)、一條曲線或一個(gè)曲面的想法之上的由這個(gè)過程所產(chǎn)生的那些點(diǎn)的軌跡定義一維、二維或三維的形體。用掃描法構(gòu)造實(shí)體易于理解、易于執(zhí)行，同時(shí)也為開發(fā)新方法提供了一個(gè)富于創(chuàng)造性的領(lǐng)域。許多造型系統(tǒng)使用掃描法的結(jié)果表明，它對(duì)構(gòu)造等裁面機(jī)械零件是行之有效的，它也能用于檢查機(jī)械零件之間可能存