第1章 1.1 兩個基本計(jì)數(shù)原理

1、.1.1兩個根本計(jì)數(shù)原理1掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理重點(diǎn)2會用兩個根本計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的應(yīng)用問題難點(diǎn)根底·初探教材整理1分類計(jì)數(shù)原理閱讀教材P5P6“例1以上部分，完成以下問題假如完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法判斷正確的打“，錯誤的打“×1在分類計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以一樣2在分類計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事3從甲地到乙地有兩類交通方式：坐飛機(jī)和乘輪船，其中飛機(jī)每天有3班，輪船有4班假設(shè)李先生從甲地去乙

2、地，那么不同的交通方式共有7種4某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔(dān)任星期一早晨升旗任務(wù)，安排方法共有14種【解析】1×在分類計(jì)數(shù)原理中，分類標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，兩類不同方案中的方法是不能一樣的2在分類計(jì)數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標(biāo)準(zhǔn)分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這些事3由分類計(jì)數(shù)原理，從甲地去乙地共347種不同的交通方式4根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，擔(dān)任星期一早晨升旗任務(wù)可以是高一年級，也可以是高二年級，因此安排方法共有8614種【答案】1×234教材整理2分步計(jì)數(shù)原理閱讀教材P5P6“例1以上部分，完成以下問題假如完成一件事，需要分成n個步驟

3、，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1×m2××mn種不同的方法判斷正確的打“，錯誤的打“×1在分步計(jì)數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不一樣的2在分步計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都能完成這件事3x2,3,7，y3，4,8，那么x·y可表示不同的值的個數(shù)為9個4在一次運(yùn)動會上有四項(xiàng)比賽，冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有43種【解析】1因?yàn)樵诜植接?jì)數(shù)原理中的每一步都有多種方法，而每種方法各不一樣2×因?yàn)樵诜植接?jì)數(shù)原

4、理中，要完成某件事需分幾個步驟，而每步都不能完成這件事，只有各步都完成了，這件事才算完成3因?yàn)閤從集合2,3,7中任取一個值共有3個不同的值，y從集合3，4,8中任取一個值共有3個不同的值，故x·y可表示3×39個不同的值4×因?yàn)槊總€工程中的冠軍都有3種可能的情況，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有34種不同的奪冠情況【答案】12×34×質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型分類計(jì)數(shù)原理1從高三年級的四個班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，

5、6人，7人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組，選其中一人為組長，有多少種不同的選法？2在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？【精彩點(diǎn)撥】1按所選組長來自不同年級為分類標(biāo)準(zhǔn)2按個位或十位取09不同的數(shù)字進(jìn)展分類【自主解答】1分四類：從一班中選一人，有4種選法；從二班中選一人，有5種選法；從三班中選一人，有6種選法；從四班中選一人，有7種選法共有不同選法N456722種2法一按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個由分類計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8765432136個法二按

6、個位上的數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1234567836個1應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理解題的策略1標(biāo)準(zhǔn)明確：明確分類標(biāo)準(zhǔn)，依次確定完成這件事的各類方法2不重不漏：完成這件事的各類方法必須滿足不能重復(fù)，又不能遺漏3方法獨(dú)立：確定的每一類方法必須能獨(dú)立地完成這件事2利用分類計(jì)數(shù)原理解題的一般思路再練一題11某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，那么購置方式共有_種2有三個袋子，分別裝有不同編號的紅色小球6個，白色小球5個，黃色小球4個假設(shè)從三個袋子中任取1個小

7、球，有_種不同的取法【解析】1分兩類：買1本或買2本書，各類購置方式依次有2種、1種，故購置方式共有213種2有3類不同方案：第1類，從第1個袋子中任取1個紅色小球，有6種不同的取法；第2類，從第2個袋子中任取1個白色小球，有5種不同的取法；第3類，從第3個袋子中任取1個黃色小球，有4種不同的取法其中，從這三個袋子的任意一個袋子中取1個小球都能獨(dú)立地完成“任取1個小球這件事，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有65415種【答案】13215分步計(jì)數(shù)原理一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼各位上的數(shù)字允許重復(fù)?【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題意，必須依次

8、在每個撥號盤上撥號，全部撥號完畢后，才撥出一個四位數(shù)號碼，所以應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理【自主解答】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：第一步，有10種撥號方式，所以m110；第二步，有10種撥號方式，所以m210；第三步，有10種撥號方式，所以m310；第四步，有10種撥號方式，所以m410.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共可以組成N10×10×10×1010 000個四位數(shù)的號碼1應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理時，完成這件事情要分幾個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事情，每個步驟缺一不可2利用分步計(jì)數(shù)原理解題的一般思路1分步：將完成這件事的過程分成假設(shè)干步；2計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；

9、3結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果再練一題2張濤大學(xué)畢業(yè)參加工作后，把每月工資中結(jié)余的錢分為兩部分，其中一部分用來定期儲蓄，另一部分用來購置國債人民幣儲蓄可以從一年期、二年期兩種中選擇一種，購置國債那么可以從一年期、二年期和三年期中選擇一種問：張濤共有多少種不同的理財方式？【解】由題意知，張濤要完成理財目的應(yīng)分步完成第1步，將一部分錢用來定期儲蓄，從一年期和二年期中任意選擇一種理財方式；第2步，用另一部分錢購置國債，從一年期、二年期和三年期三種國債中任意選擇一種理財方式由分步計(jì)數(shù)原理，得2×36種探究共研型兩個計(jì)數(shù)原理的辨析探究1某大學(xué)食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯，現(xiàn)要配

10、成一葷一素一湯的套餐，試問要“完成的這件事指的是什么？假設(shè)配成“一葷一素是否“完成了這件事？【提示】“完成這件事是指從6種葷菜中選出一種，再從5種素菜中選出一種，最后從3種湯中選出一種，這時這件事才算完成而只選出“一葷一素不能算“完成這件事探究2在探究1中，要“完成配成套餐這件事需分類，還是分步？為什么？【提示】要配成一葷一素一湯的套餐，需分步完成只配葷菜、素菜、湯中的一種或兩種都不能到達(dá)“一葷一素一湯的要求，即都不能完成“配套餐這件事探究3在探究1中假設(shè)要配成“一素一湯套餐試問可配成多少種不同的套餐？你能分別用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理求解嗎？你能說明分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的主要區(qū)別嗎？

11、【提示】5種素菜分別記為A，B，C，D，E.3種湯分別記為a，b，c.利用分類計(jì)數(shù)原理求解：以選用5種不同的素菜分類：選素菜A時，湯有3種選法；選素菜B時，湯有3種選法；選素菜C時，湯有3種選法；選素菜D時，湯有3種選法；選素菜E時，湯有3種選法故由加法計(jì)數(shù)原理，配成“一素一湯的套餐共有3333315種不同的套餐利用分步計(jì)數(shù)原理求解：第一步：從5種素菜中，任選一種共5種不同的選法；第二步：從3種湯中，任選一種共3種不同的選法由分步計(jì)數(shù)原理，配成“一素一湯的套餐共有5×315種不同套餐兩個計(jì)數(shù)原理的主要區(qū)別在于分類計(jì)數(shù)原理是將一件事分類完成，每類中的每種方法都能完成這件事，而分步計(jì)數(shù)原

12、理是將一件事分步完成，每步中的每種方法都不能完成這件事有A，B，C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，那么不同的選派方法有多少種？【精彩點(diǎn)撥】從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，首先將問題分類，可分為4類，然后每一類再分步完成即解答此題可“先分類，后分步【自主解答】第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作電腦，有2×24種方法；第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會操作A型電腦，這時安排3人操作電腦

13、，有2種方法；第3類，選甲、丙、丁3人，這時安排3人操作電腦只有1種方法；第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有42118種選派方法1能用分步計(jì)數(shù)原理解決的問題具有如下特點(diǎn)：1完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；2完成每一步有假設(shè)干種方法；3把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)2利用分步計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意：1要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的2“步與“步之間是連續(xù)的、不連續(xù)的、缺一不可的，但也不能重復(fù)、穿插3假設(shè)完成某件事情需n步，那么必須依次完成這n個步驟后，這件事情才算完成再練一題3一個袋子里有10張不同的中國挪動手機(jī)卡，另一個袋

14、子里有12張不同的中國聯(lián)通手機(jī)卡1某人要從兩個袋子中任取一張自己使用的手機(jī)卡，共有多少種不同的取法？2某人手機(jī)是雙卡雙待機(jī)，想得到一張挪動和一張聯(lián)通卡供自己使用，問一共有多少種不同的取法？【解】1第一類：從第一個袋子取一張挪動卡，共有10種取法；第二類：從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有101222種取法2第一步，從第一個袋子取一張挪動卡，共有10種取法；第二步，從第二個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有10×12120種取法構(gòu)建·體系1一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有3人會用第1種方法完成，另外5人會用第2種方法完成，從中選出

15、1人來完成這項(xiàng)工作，不同選法有_種【解析】由分類計(jì)數(shù)原理知，有358種不同的選法【答案】82有4位老師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位老師不能在本班監(jiān)考，那么監(jiān)考的方法有_種. 【導(dǎo)學(xué)號：29440000】【解析】分四步完成：第一步：第1位老師有3種選法；第二步：由第一步老師監(jiān)考班的數(shù)學(xué)老師有3種選法；第二步：第3位老師有1種選法；第四步：第4位老師有1種選法共有3×3×1×19種監(jiān)考的方法【答案】933名學(xué)生報名參加藝術(shù)體操、美術(shù)、計(jì)算機(jī)、游泳課外興趣小組，每人選報一種，那么不同的報名種數(shù)有_種【解析】第1名學(xué)生有4種選報方法；第2,3

16、名學(xué)生也各有4種選報方法，因此，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的報名種數(shù)有4×4×464.【答案】644某地奧運(yùn)火炬接力傳遞道路共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成假如第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，那么不同的傳遞方案共有_種用數(shù)字作答【解析】分兩類，第一棒是丙有1×2×4×3×2×148種；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×148種根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，共有方案484896種【答案】965某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息1假設(shè)小明爸爸任選一個凳子坐下小明不坐，有幾種坐法？2假設(shè)小明與爸爸分別