高中數(shù)學(xué)定積分定義

1、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 定積分概念與性質(zhì)一、定積分問(wèn)題舉例 二、定積分定義三、定積分的性質(zhì) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 一、定積分問(wèn)題舉例曲邊梯形 設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a, b上非負(fù)、連續(xù). 由直線xa、xb、y0及曲線yf (x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形, 其中曲線弧稱為曲邊. 1.曲邊梯形的面積 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 觀察與思考 在曲邊梯形內(nèi)擺滿小的矩形, 當(dāng)小矩形的寬度減少時(shí), 小矩形面積之和與曲邊梯形面積之間的誤差將如何變化? 怎樣求曲邊梯形的面積？上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 求曲邊梯形的面積 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, Dxixixi1; 小曲邊梯形的面積近似為

2、f(xi)Dxi (xi1xixi); (2)近似代替: (4)取極限: 設(shè)maxDx1, Dx2, Dxn, 曲邊梯形的面積為 DniiixfA10)(limx. (3)求和: 曲邊梯形的面積近似為 ;DniiixfA10)(limx 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度vv(t)是時(shí)間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物體在時(shí)間段ti1, ti內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為 DSiv(i)Dti ( ti1 iti ); 物體在時(shí)間

3、段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為 (3)求和: (4)取極限: 記maxDt1, Dt2, Dtn, 物體所經(jīng)過(guò)的路程為 DniiitvS1)(; DniiitvS10)(lim. 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 二、定積分定義v定積分的定義maxDx1, Dx2,Dxn; 記Dxixixi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1性質(zhì)3 注：值得注意的是不論a, b, c的相對(duì)位置如何上式總成立.1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 三、定

4、積分的性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. 4 abdxdxbaba1. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 這是因?yàn)間(x)f(x)0, 從而 如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 性質(zhì)5 badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(, babadxxgdxxf)()(. 所以上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 這

5、是因?yàn)閨f(x)|f(x)|f(x)|, 所以推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 性質(zhì)5 推論2 即 babadxxfdxxf| )(|)(|. badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|, 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 性質(zhì)5 推論2 性質(zhì)6 設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值,

6、 則 badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). baabMdxxfabm)()()(ab). 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個(gè)點(diǎn)x , 使下式成立: 這是因?yàn)? 由性質(zhì)6 性質(zhì)7(定積分中值定理) 積分中值公式. 由介值定理, 至少存在一點(diǎn)xa, b, 使兩端乘以ba即得積分中值公式.baabfdxxf)()(x. baabMdxxfabm)()()(, 即 baMdxxfabm)(1, badxxfabf)(1)(x, 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 解解,sin31)(3xxf, 0 x, 1sin03x,31sin31413x,31sin31410030dxdxxdx.3sin31403dxx上頁(yè) 下頁(yè) 返回 退出 總結(jié)定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限上頁(yè) 下頁(yè) 返回