02014微分幾何高綱1679-江蘇教育考試院

1、高綱1679江蘇省高等教育自學(xué)考試大綱02014微分幾何江蘇第二師范學(xué)院編 （2017年）江蘇省高等教育自學(xué)考試委員會(huì)辦公室課程性質(zhì)與課程目標(biāo)主要包括以下內(nèi)容：一、課程性質(zhì)和特點(diǎn) 本課程在考生具備常微分方程、 解析幾何、 高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析知識(shí)的基礎(chǔ)上， 學(xué)習(xí)和掌握三維歐氏空間中曲線和曲面的局部理論、 培養(yǎng)考生幾何直觀和圖形想象能力， 以及運(yùn)用 數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)等工具來(lái)研究、解決幾何問(wèn)題的能力。二、課程目標(biāo) 課程設(shè)置的目標(biāo)是鼓勵(lì)考生：1.熟悉三維歐氏空間中常見(jiàn)曲線和常見(jiàn)曲面的方程和形狀。2.掌握三維歐氏空間中曲線和曲面的各種曲率的計(jì)算。3.理解三維歐氏空間中曲線和曲面微分幾何的基本理論和基本

2、方法。4.了解曲面內(nèi)蘊(yùn)微分幾何的意義、基本概念和理論等。5.進(jìn)一步提高邏輯推理和空間想象能力。三、與相關(guān)課程的聯(lián)系與區(qū)別 本課程適合在考生具備高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、解析幾何、常微分方程等課程知識(shí)后學(xué) 習(xí)的一門(mén)課程。 旨在培養(yǎng)考生用微分的觀點(diǎn)來(lái)看待幾何學(xué)， 加深對(duì)幾何學(xué)的理解， 能用所學(xué) 的曲線和曲面的基本理論去解決實(shí)際問(wèn)題。四、課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)本課程的 重點(diǎn) 是曲線的曲率、撓率的計(jì)算公式，伏雷內(nèi)公式，曲面的第一基本形式， 曲面的第二基本形式，曲面的主曲率、 高斯曲率； 次重點(diǎn) 是空間曲線的密切平面，空間曲線 論的基本定理， 曲面的切平面和法線， 曲面的漸近方向和共軛方向， 曲面的主方向和曲率線，

3、 可展曲面。本課程的 難點(diǎn) 是伏雷內(nèi)公式，曲面的第二基本形式，高斯曲率，曲面的漸近方向和共 軛方向，曲線的主方向和曲率線。n考核目標(biāo)本大綱在考核目標(biāo)中， 按照識(shí)記、 領(lǐng)會(huì)和應(yīng)用三個(gè)層次規(guī)定其應(yīng)達(dá)到的能力層次要求。 三個(gè)能力層次是遞升的關(guān)系。各能力層次的含義是：識(shí)記（I）:要求考生能夠識(shí)別和記憶本課程中有關(guān)微分幾何概念及各種計(jì)算公式（如 定義、定理、公式、重要結(jié)論、方法等） ，并能夠根據(jù)考核的不同要求，做正確的表述、計(jì) 算和證明。領(lǐng)會(huì)（n）：要求考生能夠領(lǐng)會(huì)本課程中一些重要的概念及計(jì)算公式的推導(dǎo)，理解相關(guān) 知識(shí)的區(qū)別和聯(lián)系， 并能根據(jù)考核的不同要求對(duì)微分幾何問(wèn)題進(jìn)行邏輯推理和論證， 做出正 確的

4、計(jì)算、推導(dǎo)和證明。應(yīng)用（川）：要求考生能夠根據(jù)書(shū)上的計(jì)算公式對(duì)各種常見(jiàn)曲線和曲面的相關(guān)量進(jìn)行計(jì) 算（如曲線的曲率、撓率、曲面的切平面、法線、曲面的第一基本形式和第二基本形式、曲 面的主曲率、 高斯曲率等） ，根據(jù)已有的理論對(duì)一些常見(jiàn)曲線和曲面進(jìn)行相關(guān)的理論推導(dǎo)等。皿 課程內(nèi)容與考核要求第一章 曲線論一、學(xué)習(xí)目的與要求1了解曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)；2.熟悉向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式和弧長(zhǎng)參數(shù)，曲線論的基本定理；3.掌握曲線的概念和參數(shù)表示，曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算、曲線的切線、法面、密切平面、從 切平面、主法線、副法線方程的計(jì)算；4.熟練掌握曲線的曲率的計(jì)算、曲線的單位切向量、主法向量、副法向量、伏雷

5、內(nèi)公式和撓率的計(jì)算。二、課程內(nèi)容第一節(jié) 向量函數(shù)第二節(jié) 曲線的概念第三節(jié) 空間曲線三、考核知識(shí)點(diǎn)與考核要求1.向量函數(shù)的運(yùn)算 識(shí)記：數(shù)乘向量的導(dǎo)數(shù)公式；向量相加的導(dǎo)數(shù)公式；向量積的導(dǎo)數(shù)公式； 數(shù)量積的導(dǎo)數(shù)公式；混合積的導(dǎo)數(shù)公式。領(lǐng)會(huì)：向量函數(shù)具有固定長(zhǎng)度的條件；單位向量函數(shù)關(guān)于變量的旋轉(zhuǎn)速度。 應(yīng)用：向量函數(shù)具有固定方向的條件；向量函數(shù)平行于固定平面的條件。2.曲線的切線、法面和自然參數(shù) 識(shí)記：簡(jiǎn)單曲線段；曲線的參數(shù)表示；光滑曲線；正常點(diǎn)；正則曲線；切向量。 領(lǐng)會(huì)：曲線的自然參數(shù)；曲線的向量參數(shù)表示。應(yīng)用：切線方程；法平面方程；曲線的弧長(zhǎng)。3.空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)公式 識(shí)記：基本三棱形

6、；撓曲線；空間曲線的自然方程；一般螺線。領(lǐng)會(huì)：密切平面；單位切向量；主法向量；副法向量；伏雷內(nèi)標(biāo)架；從切平面；基本 向量；平面曲線；空間曲線論的基本定理。應(yīng)用：副法線方程；主法線方程；曲率；撓率；伏雷內(nèi)公式。四、本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：?jiǎn)挝磺邢蛄?；主法向量；副法向量；曲率；撓率；伏雷?nèi)公式。 難點(diǎn)：曲率；撓率；伏雷內(nèi)公式；空間曲線論的基本定理。第二章 曲面論一、學(xué)習(xí)目的與要求1了解曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)，可展曲面的例子、曲面為可展曲面的條件、可展曲面 的分類(lèi)；熟悉曲面的參數(shù)方程、曲紋坐標(biāo)網(wǎng)、曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)、曲面在一點(diǎn)的切方向；掌握曲面的切平面和法線、曲面上曲線的弧長(zhǎng)、曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的條

7、件、曲紋坐 標(biāo)網(wǎng)是共軛網(wǎng)的條件、曲率線、曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的條件； 熟練掌握曲面的第一基本形式和第二基本形式， 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率。二、課程內(nèi)容第一節(jié) 曲面的概念第二節(jié) 曲面的第一基本形式第三節(jié) 曲面的第二基本形式第四節(jié) 直紋面和可展曲面三、考核知識(shí)點(diǎn)與考核要求1.曲面的參數(shù)表示、曲面的切平面、法線 識(shí)記：曲面的參數(shù)表示；曲面的曲紋坐標(biāo)；曲紋坐標(biāo)網(wǎng)；光滑曲面；曲面的正常點(diǎn)； 正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)。領(lǐng)會(huì)：曲面的坐標(biāo)曲線；曲面在一點(diǎn)的切方向；法方向。 應(yīng)用：切平面方程；法線方程。2.曲面的第一基本量、第一基本形式識(shí)記：等距變換；保角變換。 領(lǐng)會(huì)：曲面的第一基本量；曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交的條件；曲

8、面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)；兩曲面可 建立等距對(duì)應(yīng)的條件；內(nèi)蘊(yùn)量；兩曲面可建立保角對(duì)應(yīng)的條件。應(yīng)用：曲面的第一基本形式。3.曲面的第二基本量、第二基本形式 識(shí)記：法截面；法截線；橢圓點(diǎn)；雙曲點(diǎn)；拋物點(diǎn)；平點(diǎn)；漸近網(wǎng)；共軛網(wǎng)；臍點(diǎn)； 圓點(diǎn)；曲率線網(wǎng)；極小曲面。領(lǐng)會(huì)：曲面的第二基本量；法曲率；Dupin指標(biāo)線；漸近方向；漸近曲線；共軛方向； 主方向；主方向的判別定理；曲率線；Euler公式。應(yīng)用：曲面的第二基本形式；曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的條件；曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是共軛網(wǎng)的條 件；曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的條件；主曲率；高斯曲率；平均曲率。4.直紋面、可展曲面 識(shí)記：直紋面；曲面上的曲線是曲率線的條件；可展曲面與平面的關(guān)系。

9、領(lǐng)會(huì)：直紋面的參數(shù)表示；可展曲面；可展曲面的分類(lèi)。應(yīng)用：曲面為可展曲面的條件。四、本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：曲面的第一基本形式；曲面的第二基本形式；漸近方向；共軛方向；主方向；主曲率；高斯曲率；平均曲率。難點(diǎn)：法曲率；共軛方向；主曲率；高斯曲率；平均曲率。第三章 外微分形式和活動(dòng)標(biāo)架（不作要求）第四章 整體微分幾何初步（不作要求）IV關(guān)于大綱的說(shuō)明與考核實(shí)施要求一、自學(xué)考試大綱的目的和作用（共性部分） 課程自學(xué)考試大綱是根據(jù)專(zhuān)業(yè)自學(xué)考試計(jì)劃的要求，結(jié)合自學(xué)考試的特點(diǎn)而確定。其目的是對(duì)個(gè)人自學(xué)、社會(huì)助學(xué)和課程考試命題進(jìn)行指導(dǎo)和規(guī)定。課程自學(xué)考試大綱明確了課程學(xué)習(xí)的內(nèi)容以及深廣度，規(guī)定了課程自學(xué)考試的

10、范圍和 標(biāo)準(zhǔn)。因此，它是編寫(xiě)自學(xué)考試教材和輔導(dǎo)書(shū)的依據(jù)， 是社會(huì)助學(xué)組織進(jìn)行自學(xué)輔導(dǎo)的依據(jù)， 是自學(xué)者學(xué)習(xí)教材、掌握課程內(nèi)容知識(shí)范圍和程度的依據(jù)，也是進(jìn)行自學(xué)考試命題的依據(jù)。二、課程自學(xué)考試大綱與教材的關(guān)系（共性部分） 課程自學(xué)考試大綱是進(jìn)行學(xué)習(xí)和考核的依據(jù)，教材是學(xué)習(xí)掌握課程知識(shí)的基本內(nèi)容與范圍，教材的內(nèi)容是大綱所規(guī)定的課程知識(shí)和內(nèi)容的擴(kuò)展與發(fā)揮。 課程內(nèi)容在教材中可以體 現(xiàn)一定的深度或難度，但在大綱中對(duì)考核的要求一定要適當(dāng)。大綱與教材所體現(xiàn)的課程內(nèi)容應(yīng)基本一致；大綱里面的課程內(nèi)容和考核知識(shí)點(diǎn)，教材 里一般也要有。反過(guò)來(lái)教材里有的內(nèi)容，大綱里就不一定體現(xiàn)。 （注：如果教材是推薦選用 的，其中

11、有的內(nèi)容與大綱要求不一致的地方，應(yīng)以大綱規(guī)定為準(zhǔn)。 ）三、關(guān)于自學(xué)教材微分幾何 （第四版），梅向明、黃敬之編，高等教育出版社，2008年版。四、關(guān)于自學(xué)要求和自學(xué)方法的指導(dǎo) 本大綱的課程基本要求是依據(jù)專(zhuān)業(yè)考試計(jì)劃和專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)而確定的。課程基本要求 還明確了課程的基本內(nèi)容， 以及對(duì)基本內(nèi)容掌握的程度。 基本要求中的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成了課程內(nèi) 容的主體部分。 因此， 課程基本內(nèi)容掌握程度、 課程考核知識(shí)點(diǎn)是高等教育自學(xué)考試考核的 主要內(nèi)容。為有效地指導(dǎo)個(gè)人自學(xué)和社會(huì)助學(xué)，本大綱已指明了課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在章節(jié)的基 本要求中一般也指明了章節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)。根據(jù)學(xué)習(xí)對(duì)象成人在職業(yè)余自學(xué)的情況，作者可結(jié)合自

12、己或他人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)， 提出幾點(diǎn)具有規(guī)律性或代表性的學(xué)習(xí)方法， 并結(jié)合本專(zhuān)業(yè)的要求、 本課程的特點(diǎn)可具體適當(dāng) 展開(kāi)寫(xiě)出，以便更好地指導(dǎo)考生如何進(jìn)行自學(xué)。五、應(yīng)考指導(dǎo)1.如何學(xué)習(xí)很好的計(jì)劃和組織是你學(xué)習(xí)成功的法寶。如果你正在接受培訓(xùn)學(xué)習(xí)，一定要跟緊課 程并完成作業(yè)。為了在考試中作出滿(mǎn)意的回答，你必須對(duì)所學(xué)課程內(nèi)容有很好的理解。使用“行動(dòng)計(jì)劃表” 來(lái)監(jiān)控你的學(xué)習(xí)進(jìn)展。你閱讀課本時(shí)可以做讀書(shū)筆記。如有需要重點(diǎn) 注意的內(nèi)容，可以用彩筆來(lái)標(biāo)注。如：紅色代表重點(diǎn)；綠色代表需要深入研究的領(lǐng)域；黃色 代表可以運(yùn)用在工作之中?？梢栽诳瞻滋幱涗浵嚓P(guān)網(wǎng)站，文章。2.如何考試卷面整潔非常重要。書(shū)寫(xiě)工整，段落與間距

13、合理，卷面賞心悅目有助于教師評(píng)分，教 師只能為他能看懂的內(nèi)容打分。 回答所提出的問(wèn)題。 要回答所問(wèn)的問(wèn)題， 而不是回答你自己 樂(lè)意回答的問(wèn)題！避免超過(guò)問(wèn)題的范圍。3.如何處理緊張情緒 正確處理對(duì)失敗的懼怕，要正面思考。如果可能，請(qǐng)教已經(jīng)通過(guò)該科目考試的人，問(wèn) 他們一些問(wèn)題。做深呼吸放松，這有助于使頭腦清醒，緩解緊張情緒?？荚嚽昂侠砩攀?，保 持旺盛精力，保持冷靜。4.如何克服心理障礙 這是一個(gè)普遍問(wèn)題！如果你在考試中出現(xiàn)這種情況，試試下列方法：使用“線索”紙 條。進(jìn)入考場(chǎng)之前，將記憶“線索”記在紙條上，但你不能將紙條帶進(jìn)考場(chǎng)，因此當(dāng)你閱讀 考卷時(shí)， 一旦有了思路就快速記下。 按自己的步調(diào)進(jìn)行答卷

14、。 為每個(gè)考題或部分分配合理時(shí) 間，并按此時(shí)間安排進(jìn)行。六、對(duì)社會(huì)助學(xué)的要求 要針對(duì)重點(diǎn)章、次重點(diǎn)章和一般章節(jié)分別提出自學(xué)或助學(xué)的基本學(xué)時(shí)建議和要求（如 在章節(jié)后面已有， 這里也可不再闡述） ，在助學(xué)活動(dòng)中應(yīng)注意的問(wèn)題。 要強(qiáng)調(diào)注意正確引導(dǎo)、 把握好助學(xué)方向，正確處理學(xué)習(xí)知識(shí)和提高能力的關(guān)系。七、對(duì)考核內(nèi)容的說(shuō)明1.本課程要求考生學(xué)習(xí)和掌握的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容都作為考核的內(nèi)容。 課程中各章的內(nèi)容均 由若干知識(shí)點(diǎn)組成， 在自學(xué)考試中成為考核知識(shí)點(diǎn)。 因此， 課程自學(xué)考試大綱中所規(guī)定的考 試內(nèi)容是以分解為考核知識(shí)點(diǎn)的方式給出的。 由于各知識(shí)點(diǎn)在課程中的地位、 作用以及知識(shí) 自身的特點(diǎn)不同， 自學(xué)考試將對(duì)各

15、知識(shí)點(diǎn)分別按三個(gè)或四個(gè)認(rèn)知 （或叫能力） 層次確定其考 核要求。2.課程分為兩部分， 分別為曲線論、 曲面論， 考試試卷中所占的比例大約分別為：40%、60%。八、關(guān)于考試命題的若干規(guī)定1、本大綱各章所規(guī)定的基本要求、 知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)下的知識(shí)細(xì)目， 都屬于考核的內(nèi)容。考試命題既要覆蓋到章，又要避免面面俱到。 要注意突出課程的重點(diǎn)、 章節(jié)重點(diǎn)，加大重點(diǎn)內(nèi)容的覆蓋度。2、 命題不應(yīng)有超出大綱中考核知識(shí)點(diǎn)范圍的題目，考核目標(biāo)不得高于大綱中所規(guī)定的 相應(yīng)的最高能力層次要求。 命題應(yīng)著重考核自學(xué)者對(duì)基本概念、 基本知識(shí)和基本理論是否了 解或掌握，對(duì)基本方法是否會(huì)用或熟練。不應(yīng)出與基本要求不符的偏題或怪題

16、。3、 本課程在試卷中對(duì)不同能力層次要求的分?jǐn)?shù)比例大致為：識(shí)記占30%領(lǐng)會(huì)占30%應(yīng)用占40%4、要合理安排試題的難易程度，試題的難度可分為：易、較易、較難和難四個(gè)等級(jí)。每份試卷中不同難度試題的分?jǐn)?shù)比例一般為：2:3:3:2。必須注意試題的難易程度與能力層次有一定的聯(lián)系，但二者不是等同的概念。在各個(gè)能力層次中對(duì)于不同的考生都存在著不同的難度。在大綱中要特別強(qiáng)調(diào)這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)告誡考生切勿混淆。5、課程考試命題的主要題型一般有單項(xiàng)選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題等題型。在命題工作中必須按照本課程大綱中所規(guī)定的題型命制，考試試卷使用的題型可以略 少，但不能超出本課程對(duì)題型規(guī)定。附錄題型舉例單項(xiàng)選擇題二、填空題。(填 一2)二、計(jì)算題如：計(jì)算圓柱面r=dosd：、sinu的第一、第二基本形式。如: 對(duì)于向量函數(shù)(t)，若-弋)，則()（填A(yù)）A.r(t)具有固定長(zhǎng)度B.r (t)具有固定長(zhǎng)度C.r (t)具有固定方向D.r (t)具有固定方向如：曲線r=r(t)在t=1處有=2，則曲線在t =1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的撓率答：乙二-sin 3cosv,0,r; =0,0,1,第一基本量為E= 盒昭,F嘉2=0,G暑；，, 第一基本形式為|= -2d2du2；芯二cos