大學(xué)物理能量

1、能量F = ma = m dv牛頓第二定律dtF ×dr = m dv ×dr = mdv × dr = mv ×dv = 1 mdv2dtdt2j + dvz k)v ×dv = (vx i + vy j + vz k) × (dvx i + dvy12= v dv+ v dv+ v dv=(dv+ dv2+ dv2 )2xxyyzzxyz= 1 dv221 dv2 = 1 d(v × v) = 1 (dv × v + v ×dv) = v ×dv22= vdv2質(zhì)點(diǎn)功-動能定理F ×

2、;dr = 1 mdv22a為初態(tài)b為末態(tài)1 mdv221212bF ×dr =abòò=-22amvmvba12Ek =mvbòA =F ×dr定義：功動能2adA = F ×dr元功功-動能定理力做的功等于質(zhì)點(diǎn)動能的變化量A = DEk = Ekb - Eka恒力做的功FqxxòòF cosqdxA =F ×dx=22x1x1x= F cosq (x2 - x1)= Fx Dx勻速圓周運(yùn)動？重力做的功上拋：下落：A = mg × y = -mgyA = mg × y = mgyyy

3、m g yy位移與力方向相反cosq = -1重力做負(fù)功位移與力方向相同cosq = 1重力做正功v 0m gv最置：末態(tài)速度：12mgy = 1 mv2 - 02- mgy = 0 -2mv0v2y =v = 0 2g2gyA = DEkA = DEk重力做的功-沿任意曲線運(yùn)動yy aa重力做功：bA =F ×dr =bmg ×dròòd rm gaabybbò=- mgj × (dxi + dyj + dzk)axyò=b- mgdyya= mg( ya - yb )只與始末態(tài)高度有關(guān)，與經(jīng)過的路徑無關(guān)。彈性力做的功彈性

4、力做功：kmbbòòA =F ×dr =- kxi ×dxiaa· xxxò- kxdxbOabxa胡克定律：F = -kxik :勁度系數(shù)。xi :端點(diǎn)的位移。xbxa= - 1 kx22121=kx-kx22ab2為平衡位置。O也只與始末態(tài)位置有關(guān)。萬有引力做的功設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在M的引 力場中從a點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn)。F = -G Mm rdradrr3mbbMmA =F ×dr =- Gr ×dròòrrar 3aabr ×dr = rdrrbMbMmA =-

5、Gdròr 2draæ 11 ö只與始末態(tài)位置有關(guān)，與經(jīng)過的路徑無關(guān)。rbò= -GMmç÷ø= -GMm-2rè rarbra保守力定義：保守力做的功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)。若質(zhì)點(diǎn)沿閉合路徑ababaA = ò F ×dr + ò F ×dr1aab12bb= ò F ×dr - ò F ×dr2baa1= 02保守力沿閉合路徑做功為0注：摩擦力不是保守力ò F ×dr = 0保守力做的功A = mg( ya

6、 - yb )重力：a為初態(tài)b為末態(tài)1212彈性力：A =kx-22kxabæGMm öæGMm ö萬有引力： A = ç-è÷ - ç-øè÷ørrab定義：勢能變化量由此可定義勢能DEp = - A = Epb - Epa重力勢能A = mg( ya - yb )空間某處的勢能為參考點(diǎn)至其的勢能變化量Ep ( y) = mgy - mg × 0 = mgyDEp = - A = Epb- Epa= mgyb - mgya需通過勢能變化量來定義勢能選定參考點(diǎn)后勢能

7、值是唯一確定的設(shè)定勢能參考點(diǎn)：當(dāng) y = 0 時，Ep = 0Ep = mgy彈性勢能1212A =kx -22kxab位移某處的勢能為DEp= - A = Epb- Epa2E (x) = 1 kx2- 0 = 1 kx221212=kx-2kxp2ba設(shè)定勢能參考點(diǎn)：當(dāng) x = 0 時，Ep = 0平衡位置E= 1 kx2p2萬有引力勢能æGMm öæGMm öA = ç-è÷ - ç-øè÷ø空間某處的勢能為rrabE (r) = æ- GMm ö

8、- 0ç÷DEp = - A = Epb - EpaprGMmè= -øæGMm öæGMm ö= ç-è÷ - ç-øè÷ørrrba設(shè)定勢能參考點(diǎn)：當(dāng) r ® ¥ 時，E無窮遠(yuǎn)處= 0pE= - GMmpr勢能的普遍定義Ep (r) = Ep (r) - Ep (r0 )= - Arr0為勢能參考點(diǎn)ò= -F ×drr0¾空間某點(diǎn)的勢能Ep在數(shù)值上等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動到勢能零點(diǎn)時保守力

9、作的功。rpòrE (r) =0 F ×dr質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒定理a為初態(tài)b為末態(tài)A = DEk = Ekb - EkaDEp = - A = Epb - Epa= Eka - Ekb成立條件：無非保守力+ Epa = Ekb + EpbEka若有非保守力E = Ek + Ep定義：機(jī)械能機(jī)械能守恒定理不成立Ea = Eb機(jī)械能守恒定理機(jī)械能熱能（內(nèi)能）勢能曲線EpOEErppxyOO彈性勢能曲線引力勢能曲線重力勢能曲線Ep = mgyE= - GMmprE= 1 kx2p2勢能與保守力的關(guān)系dEp = -Fdx在1維時：dA = F ×dr元功dEp = -dA =

10、 -F ×drF = - dEpE= mgy重力：= -mgpdyF = - dEpE= 1 kx2= -kx彈性力：pdx2F = - dEp= - GMm= - GMm萬有引力： Er 2pdrrF = - dEpdx勢能與保守力的關(guān)系在3維時：¶¶j + ¶梯度算符：Ñ =i +k直角坐標(biāo)¶x¶y¶z保守力等于勢能函數(shù)梯度的負(fù)值= - ¶Ep= - ¶Ep= - ¶EpF, F, Fxyz¶x¶y¶z¶¶+ 1 ¶1&#

11、209; =r +球坐標(biāo)0r sin f ¶q0r ¶j0¶rF = -ÑEpab=-例：已知雙原子的勢能函數(shù)為：E，px12x6a、b為正常數(shù)，函數(shù)曲線如圖。求： (1) 雙原子之間平衡位置的距離；Ep(2) 雙原子之間最大引力時的兩原子距離x解： 平衡位置的條件為：F=0F = - dEp= -dab )-(x2x12x6dxdxx1= 12a - 6a = 02aF=x61b= 0x13x7dFx最大引力的條件為：dxd æ 12a - 6b ö = 026 × a= 6xç÷21377bdx &#

12、232; xxø摩擦力做的功一質(zhì)量為m的物體在水平桌面上移動F = mmg摩擦力大小方向與位移dr相反dr1dA = F ×dr = -mmg dr= -mmgds元功ads ：路程2若質(zhì)點(diǎn)沿路徑1bbbA = ò F ×dr = -mmg ò ds = -mmgs1與路程有關(guān)aa11若質(zhì)點(diǎn)沿路徑2bbA = ò F ×dr = -mmg ò ds = -mmgs2aa22非保守力ò F ×dr ¹ 0例：半徑為R的光滑球面頂端，物體m自靜止開始下滑。求：物體脫離球面的位置。RF =

13、maìmg cosq - N = mRq&2qhN徑向切向ímg sinq = mRq&îmgq& = q& dq&mgsinqdq = mRq&dq&dqmg(1- cosq ) = 1 mRq&2qq&òòq&q&mgsinqdq =mR d 200cosq = 2N = 03mgR(1- cosq ) = 1 mR2q&2 = 1 mv2機(jī)械能守恒定理22質(zhì)點(diǎn)組功-動能定理A = DEk = Ekb - Eka對質(zhì)點(diǎn)：對質(zhì)點(diǎn)組：既有外力，也有內(nèi)

14、力12åiA+ A= DE= E- E=2質(zhì)點(diǎn)組動能：Em vkkbkakii外內(nèi)= A外,保守力+ A外,非保守力= A內(nèi),保守力+ A內(nèi),非保守力A外A內(nèi)將所有保守力做功計為勢能變化量A外,非保守力+ A內(nèi),非保守力= (Ekb= DE+ Epb ) - (Eka + Epa )一對內(nèi)力做的功dA = dA1 + dA2 = f1 ×dr1 + f2 ×dr2y=f × (dr - dr ) =f ×d(r - r )mm11211212f1 ×dr12f2xfrr112= r1 - r2相對位矢相對元位移r12Odr= d(r

15、- r )z1212¤ 一對內(nèi)力做功之和與所選的參照系無關(guān)Q r12 , dr12 與參照系無關(guān)。對任意參照系¤ 一對內(nèi)力做功之和一般不為0A = ò f1 ×dr12例：質(zhì)量為m的度v自木塊穿出?；?。以v0射向質(zhì)量為M長為l的靜止木塊，以速在木塊中受到的摩擦力為常量。地面光求：從進(jìn)入木塊到離開木塊的過程中木塊行進(jìn)的距離s。解：設(shè)穿出時木塊速度V動量守恒mv0 = MV + mv質(zhì)點(diǎn)組功-動能定理一對內(nèi)力（摩擦力）做負(fù)功對木塊，摩擦力做正功- fl = ( 1 mv2 +MV 2 ) -mv211fs =2MV120222ml(v - v)2對，摩擦力做

16、負(fù)功s = 0M (v2 - v2 ) - m(v - v)2- f (l + s) =mv2 -mv21210002sl質(zhì)點(diǎn)組的動能 （柯尼希定理）12åE=2m vkiiivi = vi¢ + vCvi¢ ：相對質(zhì)心的速度vC ：質(zhì)心速度E= 1 å m (v¢ + v)2kiiC21212iå ii2¢+ v2 + 2v¢ × v=m (v)CiCi21åiåim v+ å m v¢ × v¢=m v+2iiiCiiC2i=質(zhì)點(diǎn)組相對質(zhì)心的

17、動能+質(zhì)心動能E= E¢ + 1 Mv2 kk2C質(zhì)心參考系中動量å mi vi¢ = 0i例：m1和m2靜止在光滑平面上，以勁度系數(shù)為k的彈簧相連。彈簧處于伸展?fàn)顟B(tài)。一質(zhì)量為m的求：彈簧最多壓縮了多少？以v0射入m1內(nèi)。解：設(shè)射入m1內(nèi)速度v，m2未動mv0 = (m + m1)v動量守恒彈簧壓縮過程中，體系動量守恒(m + m1)v = (m + m1+ m2 )vC質(zhì)點(diǎn)組動量為12(m + m )v= 1 (m + m1¢+ m )v2+ E +k (D22l)機(jī)械能守恒112Ck22彈性勢能最大時，相對質(zhì)心動能=0m2Dl=mvmax0(m +

18、m )(m + m + m )k112m1m2碰撞問題碰撞過程1. 壓縮階段2. 恢復(fù)階段彈性碰撞：碰撞后物體的形變可以完全恢復(fù)，且碰撞前后系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒。非彈性碰撞：碰撞后物體的形變只有部分恢復(fù)，系統(tǒng)有部分機(jī)械能損失。完全非彈性碰撞：碰撞后物體的形變完全不能恢復(fù)，兩物體合為一體一起運(yùn)動。系統(tǒng)有機(jī)械能損失。微觀粒子：碰撞Û 散射彈性碰撞+ m2v20= m1v1 + m2v2m1v10動量守恒：111212+=m v+2222m vm vm v動能守恒：110220112222= (m1 - m2 )v10 + 2m2v20v1m + m12= (m2 - m1 )v20 + 2m1v10v2m + m1v202v10v1v2v2 - v1 = v10 - v20例：當(dāng)空間探測器從星球旁繞過后，由于引力的作用而速率 增大的現(xiàn)象叫彈弓效應(yīng)。設(shè)土星質(zhì)量為5.67×1026kg，其相對于太陽的軌道速率為9.6km·s-1，一空間探測器質(zhì)量為150kg，其相對太陽的速率為10.4km·s-1，并迎著土星飛行，探測器繞過土星沿著原來速度相反的方向離去。求：探測器離開土星后的速度。(m - m )v+ 2m vv1解：v1 =1210m1