高等數(shù)學(xué)題集第九章

1、三、典型例題解析例1 計算Ixds ，其中 L 是圓 x2y2a2 中 A(0, a) 到 B (a,a) 之間的一段劣弧L22（a 0) 解法 1將積分弧段分為AC 和 CB 兩段弧來計算（如圖9yA1 所示）：CxdsxdsxdsoxABACCBB而aaxdx2，xdsa2aAC0x2xdsaxdxa2圖 91aCBaa2x222故Ixds (11)a 2 L2解法 2LAB 的參數(shù)方程為： x a cos, y a sin(42) ，于是I2a cos( a sin)2(a cos )2 da22d(11 ) a2 cos442錯誤解答設(shè) C(a,0)，因為 AC : ya2x2， CB

2、 : ya2x2 ，則沿此兩段弧均有dsadxxdsaaxdx(11 ) a2 x2，故有2x2a2AB0a22錯解分析錯誤原因在于選x 作為參數(shù)時，y 表示為x 的單值函數(shù)時有兩個表達式，故必須分為兩段計算注在求對弧長的曲線積分時，若已知積分曲線的參數(shù)方程為L ： x(t)， y(t)且 t和 t分別對應(yīng)點A 與點B 處的參數(shù)值， 在將曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分時，除了要求積分的下限小于上限，還要注意：當(dāng) t 從 連續(xù)變化到 時，相應(yīng)的點 ( (t ), (t) 曲線上同時，若將非參數(shù)的積分曲線轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式時，參數(shù)方程不同，積分限也不同，計算的難易程度也不同，所以，一般要選取計算較為簡單的參數(shù)方

3、程形式應(yīng)在積分例 2計算(x y 1)ds ，其中 L 是頂點為 O(0,0), A(1,0) 及 B(0,1) 所成三角形的邊界L解L 是分段光滑的閉曲線，如圖9 2 所示，根據(jù)積分的可加y性，則有B(0,1)( xy1)dsoA(1,0) xL(xy1)ds(xy1)ds(x y 1)ds ，OAABBO由于OA: y 0 ，0x，于是圖 921ds( dx) 2( dy ) 2 dx1202 dxdx ，dxdx故( xy101)dx3 ，1)ds(xOA02而 AB : y 1 x , 0 x 1，于是ds( dx)2( dy ) 2 dx12( 1)2 dx2dx dxdx故12 ，

4、( x y 1)ds x (1 x) 1 2 dxAB0同理可知 BO : x0 （ 0xd2(dy222，則y 1）， sd( )yd0 1yd ydyddy11 BO ( x y 1)ds 0 0 y 1dy2綜上所述321L(x y 1)ds2222注 當(dāng) L 是分段光滑的閉曲線時，應(yīng)該分成光滑曲線逐段計算例 3計算222y2ax ， a 0 xy ds ，其中 L 為圓周 xL分析積分曲線 L 關(guān)于 x 軸對稱（如圖9 3 所示），被積函數(shù)為關(guān)于y 的偶函數(shù)，由對稱性得x2y2 ds 2x2y2 ds ,LL1其中 L1 : x2y2ax( y 0) 解法 1直接化為定積分L1 的參數(shù)

5、方程為yL1xaa, ya（ 0） ,a2cossinox22且Lds22a d圖 93 x ( ) y ( ) d2于是x2y2dsaxds2a cosa d2a2 LL022解法 2L1 的極坐標方程為r ( )a cos (02) ，則yr ( )sin，xr ( )cos，22r ( ) acosdsr 2( dr )2 dad，xy，dx2y2 ds 2 2 a 2 cos d2a2 L0注 1在解法 1 中，參數(shù) 表示圓心角， 而在解法 2 中，參數(shù) 表示極坐標系下的極角，參數(shù)的意義不同，一般取值范圍也不相同注 2若曲線在極坐標系下的方程為r r ( ) ，則 dsr 2r ( )

6、2 d ，可直接用此式注 3 當(dāng)積分曲線 L 關(guān)于某個坐標軸對稱時，可以考慮采用對稱性來計算第一類曲線分一般地，有以下的結(jié)論 :（ 1）若曲線 L 關(guān)于 x 軸對稱，記L1 是 L 的 y0 的部分，f (x, y) 在 L 上連續(xù)，則a f ( x, y)ds2 f (x, y)ds（若 f ( x, y) 是關(guān)于 y 的偶函數(shù)）LL1bf ( x, y)ds0 （若 f ( x, y) 是關(guān)于 y 的奇函數(shù)） L（ 2）若曲線 L 關(guān)于 y 軸對稱， 記 L1 是 L 的 x0 的部分， f ( x, y) 在 L 上連續(xù)， 則a f ( x, y)ds2 f ( x, y)ds（若 f

7、( x, y) 是關(guān)于 x 的偶函數(shù)） LL1bf ( x, y)ds0 （若 f ( x, y) 是關(guān)于 x 的奇函數(shù)）L例4計 算x2 yzds 其 中為 折 線 段 ABCD ， 這 里zB(0,0,2)D (1,2,3)A(0,0,0)， B(0,0,2),C(1,0,2), D(1,2,3) AB, BC, CDC(1,0,2)分析求本題曲線積分的關(guān)鍵是求三條線段的參數(shù)方程在空間中過點(x1 , y1, z1 ) ， ( x2 , y2 , z2 ) 的直線的對A(0,0,0)yx稱式方程為圖 94xx1yy1zz1，x2x1 y2y1z2z1令該比例式等于 t ，可得直線的參數(shù)方程

8、解如圖 9 4 所示，222yzdsx2x yzdsABx yzdsBCxyzdsCD線段 AB 的參數(shù)方程為x0, y0, z2t(0t1)，則dsdx 2dy 2(dz 2()()dtdtdt020222 dt2dt ，故x2 yzds10 0 2t 2dt 0 AB0線段 BC 的參數(shù)方程為 x t, y0, z 2(0 t 1) ，則ds120202 dtdt ,故x2 yzds1t 2 0 2 dt 0 ，BC0線段 CD 的參數(shù)方程為x1, y2t , z2t (0t1) ，則ds022212 dt5dt ，故2121t2)dt8x yzds01 2t (2 t)5dt 2 5 (

9、2t5，CD03所以22228x y z d sA Bx y z d sx y z d sxy5 z d sB CC D3例 5計算x2 ds ， 為球面 x2 y2 z2 a 2 (a 0) 與平面 x y z 0 的交線分析此題為對空間曲線弧的曲線積分，一般地，若的參數(shù)方程為x(t) ，y(t ) ，z(t ) （t）且在t上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有f ( x, y, z)dsf (t ),(t ),(t)(t ) 2(t) 2(t) 2 dt 解法 1先將曲線用參數(shù)方程表示，由于是球面z2222x y z 0 的交線，如圖 9 5xyza 與經(jīng)過球心的平面所示，因此是空間一個半徑為a 的圓周，

10、 它在 xOy 平面上的投影為oyx橢 圓 ， 其 方 程 可 以 從 兩 個 曲 面 方 程 中 消 去 z 而 得 到 ， 即 以2z (x y) 代入 x2y2z2a2 有 x2xy y2a，將其化為參圖 952數(shù)方程，令3a2xa，即有xcost ，即 xa cost ，2ysin t2232ya sin ta cost ，代入 x2y2z2a 2（或 x yz 0 中）26得asinacos的參數(shù)方程為ztt ，從而26x2aaaa3a cos t ， ysin tcost ， zsin tcos t (0 t 2 ) 2626則dsx (t)2 y (t) 2 z (t) 2 dt

11、a2sin 2 t( cos tsin t )2(sin tcos t )2 dt adt ,32662所以22222232223x ds03acos tadta0cos tdta33解法 2利用對稱性由于積分曲線方程中的變量x, y, z 具有輪換對稱性，即三個變量輪換位置，方程不變，故有222x dsy dsz ds ，因此x21(x2y221a2a223dsz )ds3ds2 aa333注這里通過巧妙地利用輪換對稱性，使計算大大簡化，一般來講，對于曲線的方程，若其坐標的位置完全平等（即將x, y, z 輪換位置，曲線方程的形式不變），則可以考慮輪換對稱性另外， 對曲線積分，若被積函數(shù)出現(xiàn)

12、積分曲線方程的形式，則將積分曲線方程代入被積函數(shù)中通?？梢詫⒎e分化簡例 6設(shè)一段曲線yln x (0x1xx2 ) 上任一點處的線密度的大小等于該點橫坐標的平方，求其質(zhì)量分析首先求出線密度(x, y)，然后再利用公式M( x, y) ds即可L解依題意曲線的線密度為x2 ，故所求質(zhì)量為ML x2ds ，其中L : y ln x(0x1xx2 ) 則 L 的參數(shù)方程為xx(0 x1xx2 ) ，yln x故ds1dy2112 dx1 1x dx ，dx2dxxx所以Mx21x2 dx1(1x2 )2 xx21(1x22 ) 2(1x12 )2 x2x33333x11例 7求八分之一球面x2y2z

13、2R2 ( x0, y0, z0)的邊界曲線的重心， 設(shè)曲線的密度1 解設(shè)曲線在 xOy, yOz, zOx 坐標平面內(nèi)的弧段分別為L1 、 L2 、 L 3 ，曲線的重心坐標為x, y, z，則曲線的質(zhì)量為Mds3 ds32R3R 由對稱性可得重心坐標L1 L2L3L1421xds1xdsxdsxdsx y zM LLLML1L2L32131xds 0xds2xdsML1L3ML12MRRxdx2 R24R 0R2x2M3故所求重心坐標為4R,4R,4R333例 8( x2y 2 )dx(x 2y2 )dy ，其中 L 是曲線y計算L1LL2y 1 1x 從對應(yīng)于 x0 時的點到 x2 時的

14、點的一段弧o12x分析由于曲線 L 是分段光滑的， 所以先分別計算在每段圖9 6光滑曲線的對坐標的曲線積分如圖 9 6，將積分分成兩部分：(x 2y 2 )dx ( x 2y 2 )dy( x 2y 2 ) dx ( x 2y2 )dy( x 2y 2 )dx (x 2y 2 )dy LL1L2解法 1L1 的方程為 yx (0 x1) ，則有(x2y2 )dx (x 212 x2 dx2 y2 )dyL103L2 的方程為 y2 x (1 x2) ，則( x2y 2 )dx(x 2y2 )dyL 222(2 x)2 dx22(2 x)2 ( 1)dx x x1122dx22(2 x)13所以

15、(x 2y 2 ) dx (x 2y2 )dy4L3解法2以 y 為自變量，L1 的方程為 xy (0y1) ，則( x2y2 )dx ( x2y2 )dy( 2 y2 )dy2 y2 dy2 01L1103L2 的方程為x2y, 起始點對應(yīng)的自變量值為1，終點對應(yīng)的自變量值為0由于dxdy,x 2 dxx 2 dy0 ，L故有( x2y 2 )dx ( x2y 2 ) dy02 dy2 ，所以2yL213( x 2y 2 ) dx ( x2y 2 )dy4 L3注將對坐標的曲線積分直接化為對參數(shù)變量的定積分時應(yīng)當(dāng)注意：（ 1）當(dāng)被積函數(shù)P, Q 的形式較為簡單，將積分曲線L 的方程代入積分式

16、計算定積分比較容易時，可直接計算（ 2）參變量的選取視積分曲線具體形式而定， 積分下限與上限分別為積分路徑的起點與終點所對應(yīng)的參數(shù)值，這與對弧長的曲線積分不同；當(dāng)積分曲線分段光滑時，應(yīng)分段積分，并注意各自選擇適宜的參數(shù)變量作為積分變量例9 計算ydx xdy,如圖 97 所示， L 是從點 A( a,0)yL沿上半圓周 x2y2a2 到點 B( a,0) 的一段弧oA( a ,0)B(a,0)x分析 關(guān)于對坐標的曲線積分的計算，與對弧長的曲線積分相似， 也分三種，不同之處在于: 對坐標的曲線積分中的曲線為圖 97有向的，因此化為定積分時，積分上、下限只與曲線的起點和終點有關(guān)，而與其大小無關(guān)解法

17、 1利用直角坐標計算記L1 為 x2y2a 2 上從點 C (0, a) 到點 B( a,0) 的一段劣弧則ydxa2x2 dxa2（定積分的幾何意義） aLa2而0222 ，L xdy 2 L xdy 2 a aydya12所以L ydxxdy0 解法2利用曲線的參數(shù)方程計算L 的參數(shù)方程為: xa cos, yasin，在起點A( a,0) 處參數(shù)值取，在終點B(a,0) 處參數(shù)值相應(yīng)取0，故從到 0則ydxxdy0a cos d (a sin) = a20a sin d (a cos )cos2 d0 L解法 3設(shè) Py,Qx ，故 PQ1 ，由曲線積分與積分路徑無關(guān)得yxL ydx x

18、dyAB ydxxdy 0 ，其中 AB : y0 解法 4利用格林公式設(shè) Py,Qx ，則有PQ1，由于積分路徑不封閉，需yx要作輔助線 BA: y0 ，記 BA 與 L 所圍成的閉區(qū)域為D ，得ydxxdyydx xdyydxxdyLL BABA0dydxxdy0 DAB注 1 當(dāng)積分曲線 L 關(guān)于某個坐標軸對稱時，可以考慮采用對稱性來計算第二類曲線分一般地，有以下的結(jié)論 :若曲線 L 關(guān)于 x 軸對稱，記 L1 是 L 的 y0 的部分，f ( x, y) 在 L 上連續(xù)，則a f ( x, y)dx2 f (x, y)dx（若 f ( x, y) 是關(guān)于 y 的奇函數(shù)）LL1bf (

19、x, y)dx0 （若 f ( x, y) 是關(guān)于 y 的偶函數(shù)） L若曲線 L 關(guān)于 y 軸對稱，記 L1 是 L 的 x0 的部分， f ( x, y) 在 L 上連續(xù)，則a f ( x, y) dy2 f ( x, y)dy（若 f ( x, y) 是關(guān)于 x 的奇函數(shù)）LL1bf ( x, y)dy0 （若 f ( x, y) 是關(guān)于 x 的偶函數(shù)）L注 2利用格林公式計算對坐標的曲線積分Pdx Qdy 時，應(yīng)注意以下幾點 :L（ 1）P ,Q 在區(qū)域G 內(nèi)連續(xù)，閉區(qū)域D 的邊界曲線L 應(yīng)取正向yx（ 2）若L 為非封閉曲線，直接計算又較困難，可添加輔助線C 使C 為封閉曲線，然后使用

20、格林公式，若LC 的方向為負向，格林公式中二重積分前要加負號，并注意，同時注意補上的曲線要便于積分的計算LLCC（3）若 P ,Q 在 D 中某點 ( x0 , y0 ) 不連續(xù)，要通過添加輔助曲線C 挖去 (x0 , y0 ) 后再使yx用格林公式，并要注意 C 的方向的選?。?4）在曲線積分中，可將L 的表達式代入被積表達式，但是使用格林公式將曲線積分化為二重積分后，在 D 內(nèi)的點 (x, y) 已不再滿足 L 的方程，不應(yīng)再將L 的表達式代入二重積分的被積表達式例 10 計算 L ydx ( 3 sin yx)dy ，如圖 9 8 所示， L 是依次連接 A( 1,0), B(2,1),

21、C(1,0) 的折線段分析若將直線AB 和BC的方程寫出，代入積分式直接計算則比較麻煩，所以考慮用格林公式計算，但是L 不是封閉曲線，須添加輔助線段CA 使曲線封閉，并注意到封閉折線ABCA 的方向為負向， 應(yīng)用格林公式時在二重積分前要添加負號解令 P(x, y)y ， Q(x, y) 3sin y x ，則QP1 1 2 ，且線段 CA : y0 ，xyx 由 1 變化到 -1 ，故有ydx( 3 sin yx)dyyLB (2,1)ABCAydx ( 3 sin yx)dyydx( 3 sin y x)dyCAA( 1,0) oC (1,0)x(2)dxdy1dx 2dxdy2 0D1D圖

22、 98其中 D 為 ABCA 所圍成的閉區(qū)域例 11計算xdyydx，其中 L 為橢圓周 4x2y21 ，取逆時針方向22Lxy分析此題可以直接計算，也可應(yīng)用格林公式，但是應(yīng)注意奇點解法 1直接計算， L 的參數(shù)方程為 : x1，ysin ， 從 0 到 2，則cos2xdyydx21cos21sin222dL x2y201cos2sin242 1222d0cos4sin2d (2tan)01 4tan 2注意到,32d(2tan )為反常積分，因此2為被積函數(shù)的無窮間斷點，故1 4tan 220xdyydx2d (2tan )d (2tan )32d (2tan )2d (2tan ) ，L

23、x2y22223201 4tan2 14tan1 4tan21 4tan其中2d (2tan)；同理可得01 4tan 2arctan(2tan )02lim arctan(2tan ) arctan(2tan 0)( 2 )2d(2tan )3， 2222 14tand (2tan2)，2d (2tan2)31 4tan21 4tan22所以xdyydx2 L222xy2 2 2解法 2用格林公式令 P(x, y)y， Q( x, y)x，則當(dāng) ( x, y)(0,0) 時，PQy2x2，y2x2y2yx( x2y2 )2x2但積分曲線L 所圍區(qū)域包含點(0,0) ， P( x, y), Q

24、( x, y) 在該點不具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此不能直接應(yīng)用格林公式計算，需要將奇點 (0,0) 去掉， 為此作半徑足夠小的圓C : x2y22 ，使 C位于 L 的內(nèi)部，如圖9 9 所示 C 的參數(shù)方程為xcos ， ysin，0,2 ，C 取逆時針方向于是xdyydxxdyydxxdyydx，L22L C22C22xyxyxy其中 C 表示 C 的負方向由格林公式則有yco x圖 99xdyydx0 dxdy 0 ，L Cx2y2D其中 D 為 L 與 C 所圍成的閉區(qū)域故xdyydxxdyydxxdyydxL x2y2Cx2y2C x2y22cosd (sin)sind (cos )022

25、22cossin2d20例 12利用格林公式計算Luds ，其中 u (x, y)x2y2 ， L 為圓周 x2y26x 取逆時n針方向，u 是 u 沿 L 的外法線方向?qū)?shù)n解由于 uu cos( ,)nn xxu cos( , )，其中 ,是在曲線 L 上點n y 2 xcos2 ycosy( x, y) 處的切線的方向角，故u2 y cos )ds 根據(jù)兩類曲線積分之間的ds(2 x cosLn聯(lián)系及格林公式，有u ds( 2 y cos2 xcos )ds( 2 y) dx 2xdy4dxdy L nLLD因為 L 為圓周 x2y26x ，所以 L 所圍成的圓的面積9 ，因此u ds4

26、dxdy436LnD例 13驗證在全平面上，ex (1sin y)dx(ex2sin y)cos ydy 是全微分，并求出它的一個原函數(shù)解令 P(x, y)ex (1sin y) ， Q( x, y)(ex2sin y)cos y ，則在全平面上有QPex cos y ，滿足全微分存在定理的條件，故在全平面上，xyex (1sin y)dx(ex2sin y)cos ydy是全微分下面用三種方法來求原函數(shù)：解法 1運用曲線積分公式，為了計算簡單，如圖9 10yM (x, y)所示，可取定點O(0,0) ，動點 A( x,0) 與 M ( x, y) ，于是原函數(shù)為u( x, y)( x, y

27、)2sin y)cos ydy ex (1 sin y)dx (exA( x,0) x(0,0)o取路徑 : OAAM ，得圖 910xex (1 0)dxy2sin y)cos ydy ex1 ex sin y sin 2 y u ( x, y)(ex00解法 2從定義出發(fā)，設(shè)原函數(shù)為u( x, y) ，則有u( ,y)ex(1sin ) ，兩邊對 x 積xP xy分（ y 此時看作參數(shù)） ，得u( x, y)ex (1 sin y)g ( y)（ * ）待定函數(shù) g ( y) 作為對 x 積分時的任意常數(shù)，上式兩邊對y 求偏導(dǎo)， 又uQ(x,y) ，于是yex cos yg ( y)(ex

28、2sin y)cos y ，即 g ( y)2sin y cos y ，從而g( y) sin2 y C （ C 為任意常數(shù)），代入（ * ）式，得原函數(shù)u ( x, y) exex sin y sin 2 yC 解法 3湊微分ex (1 sin y)dx (ex2siny)cos ydyx(xsinxcos)2sinycosydye dxeydx eydydexd (ex sin y)d (sin 2 y)d (exex sin ysin 2 y) ，故原函數(shù)為u( x, y)exex sin ysin 2 y 注 1 當(dāng)積分與路徑無關(guān)時， 在選取路徑時應(yīng)使得計算簡便注 2 u (x, y)

29、 不唯一，但它們之間相差一個常數(shù)例 14（ 98 研）確定常數(shù)，使在右半平面x0 上的向量A( x, y)2 xy( x4y2 ) ix2 (x4y2 )j為某二元函數(shù) u (x, y) 的梯度，并求u( x, y) 分析平面單連通區(qū)域內(nèi)向量場A( x, y)P(x, y)iQ( x, y) j 為某二元函數(shù)的梯度的充QP ，由此可確定. 然后，由曲線積分( x, y )要條件是P( x, y)dx Q( x, y) dy 與路徑無關(guān)xy( x0 , y0 )即可求出u( x, y) 解由梯度定義 grad u ( x, y)u iu jA( x, y)P( x, y)i Q(x, y) j ，其中xyPu2xy(x4y2 ) , Qux2 ( x4y2 ) ，xy而Q4224213，2x( xy )x ( xy)4xxP2x( x4y2 ) 2 xy( x4y2 ) 1 2 y yA( x, y) 為 u( x, y) 的梯度即 PdxQdy 在 x0 時存在原函數(shù)u( x, y) ，故QP ，由此可xy得