【精品】導數放縮必備題型參考模板

1、上次發(fā)貼介紹了下2014年課標1卷的放縮做法，發(fā)現很多人不太懂放縮，而且吧里似乎沒有專門講解放縮的貼子。鑒于本人是河北人，研究過一些導數里較難的題，比如數列不等式，所以斗膽在此發(fā)表一些自己的心得，希望大家能獲益。數學老手，貼吧新手，發(fā)帖有什么不好的地方請輕噴。此貼思路是這樣的，先介紹放縮的思想、應用及注意事項，然后簡單提下數列中的放縮，再重點介紹函數與導數中的放縮，拓展一些知識，附上一些例題。從最簡單的例子開始比如我們要證明e，我們知道3，3e。我們可以把要證的不等式e左邊的縮小為3,3比e大是對的，比e大就得證。同理也可把右邊的e放大為3。上面的例子太過簡單，真到復雜的情況，可能你似懂非懂的

2、了解了放縮但還是應用不上，真的理解還是要靠題目。直接來到高大上的題，搞清了就理解放縮了。第一問略過（等號左邊的取對數易證，等號右邊把帖子看完就知道多好證了） 第二問說思路，首先這個式子太過龐大，有指數有三角，而且不管怎么變形求導，都無法消除其中一種，所以常規(guī)法是很難做甚至是不可做的。再看第一問有放縮的提示，所以考慮放縮。如果1-xg（x）這時求得a-3，那么這個范圍內f（x）g（x）的，或者說這個范圍就是一個充分條件，我們只須論證其必要性。也就是證a3時f（x）g（x）不成立，即g（x）f（x），這時再把f（x）放大為1/（1+x）與g（x）比較，在a3時，作差求導得出g（x）f（x

3、），所以a-3為充要條件。詳答不放，重要的是思路，計算過程現在都可以不算，只要把這個思路倒騰清楚，放縮思想基本就有了， 而且不局限在證明不等式了。注意事項:第一：放縮要注意尺度，比如證e，你要是想到了2，然后想用2e來證明，那當然不行，你放縮的尺度太大了，復雜題中，有時這尺度不容易把握。第二：看清楚不等號及放縮方向，有時你做著做著就蒙了，就看不清了。比如你要證e，你想到了e2，一看2，以為自己證出來了，其實呢，你已經暈了。這個例子你看著滑稽，自己做難題時這種情況而正常。第三：注意有放有留，在數列中常用，我們通常把數列的第一項或者前兩項不進行放縮，只放縮后面的，借此來控制放縮的尺度（因為有時前面

4、的項放縮會尺度過大）。更高端的，我們可以把數列的后面的拿出n項來，只對后面的n項放縮，而不放縮前面的（因為有時后面的放縮會尺度過大）。第三條中更更高端的，我們可以借項。比如數列an=n，其前n項和本應為1+2+3+4+n我們可以寫為1+2+3+4+n+【（n+1）+（n+2）+2n】-【（n+1）+（n+2）+2n】，就是加上n項再減去n項，然后對減去的n項或加上的n項進行放縮（之所以要放縮減去的那些項，是因為有時候不等號方向和你已知的放縮式子可能不合適，但如果放縮減號后的那些項可以解決這個問題）現在來介紹下數列中的放縮，河北數列難度小，所以我了解的不如導數多，只舉三個例子吧。第一，腦筋急轉彎

5、型放縮，平凡之中暗藏坑爹，此類題題號靠前，難度不大，卻可以很坑爹。例：求證1/（n+1）+1/（n+2）+1/(n+3)+.1/(n+n)1難嗎，有沒有發(fā)現左邊n個式子每一項都比1/n小，那n個合起來當然比1小了，這不這么顯然嗎？如果你考試時做不出來，請拿出小學生考你腦筋急轉彎你答不出來的心態(tài)來。第二條較常用（導數中有道數列不等式也要用它，在此只舉一例）1 / 5這類放縮就是朝裂項相消方向靠攏。很顯然的，我們有1/n(n+1)1/n21/n(n-1)（原諒我不會把平方打成角標）。當然我們有更加強版的 1/n21/(n+1)(n-1)。如此只要有平方倒數，我們可以考慮用這些不等式將其放縮為能裂項

6、相消求和的式子，舉個，而是否用加強版的放縮，要看題里的條件，用那個式子更美觀，加強版不見得是好的。例如an=1/n2，求證Sn2，我們可以將a1保留（顯然放縮之中a1沒有定義），從a2開始放縮為1/n(n-1)，熟悉的裂項求和求出，后面部分的和是小于1的。用加強版一定也可以，但是那個計算起來要稍微麻煩些，沒必要。第三是一個指數型的放縮，具體題目我忘了，是個老題，沒必要過分糾纏，做法很多，我只取我自己獨創(chuàng)的做法，覺得還是比較好的，至少比老師講的簡單些。an=3n-2n，求Sn小于什么還是大于什么我忘了，反正顯然是要放縮，這個尺度不好把握，我是這么來把握的。an=(3/2)n-1*2n，然后令二分

7、之三的指數n=1,2,3等某個定值，再等比求和。因為二分之三是比一要大的，其指數函數是遞增的，把n限制為某個值，他一定變小了，控制n的值就一定程度控制了放縮尺度。為什么能想到這呢，其實你對題有研究的精神，有興趣，沒事多想想，就肯定能有靈感，能超越老師的思路，這個誰都可以有。首先，我來提一個高大上的東西，就是高數里面的泰勒公式，這個只是背景，了解就行，感興趣的可以找百科或者高數書。就是從某個點X0處，我們可以構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值，如果這個點是0，就是形式比較簡單的麥克勞林級數。簡而言之，它的功能就是把坑爹的超越式近似表示為冪函數。然后給出高中階段常用的放縮的不等式，推薦背

8、過，題里一般會提示，若無提示，用這些也有可能讓題目簡單。exx+1 x-1lnx1-1/x 1+x 1+x/2（根號不會打，平方下就知道這式子怎么來的了。）1-x2/2cosx1-x2/4（在-到上） 對實數x>-1，在n1時，有 (1+x)n1+nx 成立；在0n1時，有(1+x)n1+nx成立（伯努利不等式）重點研究前兩個，十道導數題八道與它有關，其中兩道就要用它們，另外兩道用它們會簡化題目。很容易發(fā)現exx+1 ，這是取的麥克勞林級數的前兩項。我們對該式兩邊取以自然對數，得到xln（x+1），用x-1替換x就得，lnxx-1。在這個式子中，用1/x替換

9、X就可以得到-lnx（1/x）-1即lnx1-1/x。從圖像中也可以看出x+1和x-1正好是切線，這樣憑這個圖像很容易就記住了這兩個不等式當然將指數對數稍作平移，切線都變?yōu)閤看著似乎更有趣，兩個圖像有公切線，然而切點是不同的第三道2014課標1，我知道可以不用放縮，但此帖就是在講放縮。求證 1，顯然ex-1/x是1的，但它的系數為2，你要是直接弄成2就錯了，f（x）是大于的，證這個大于1，兩邊都有1可消掉，成了證明大于0，那就好多了，都除以ex-1,就成了證它0，求導求最小值，恰好是0，等號不同時取，所以是大于。第四，我忘了原題了，原題要復雜，我只編個簡單點的說明下這個靈活的思想吧。

10、跟我思路來。求證：x2+(lnx)21/2。xlnx+1，所以只須證（lnx+1）2+(lnx)21/2，令t=lnx+1，（換元成2次函數），則轉化為證2t2-2t+11/2。二次函數求最小值，就是1/2其實就是告訴大家，一定一定要很靈活，我們的思路都是轉化為冪函數，這個題，卻將冪轉化為對數（受不等號方向的限制），然后又通過大家熟知的換元法轉化為簡單的二次函數。接下來講下一類數列不等式簡單證法?？搭}。求證1+1/2+1/3+1/4+1/nln（n+1），這種題，數學歸納法是可以的，但步驟未免有些繁瑣，我們有簡化的證法。把這個不等式看作關于n的式子，復制一個n-1的式子1+1/2+1/3+1/4+1/（n-1）ln（n）用上式減下式，得1/nln（1+1/n）（上面的不等式可證明，令x=1/n）1/nln（1+1/n）分別求和就可證出上面的式子。所以遇見數列不等式，先復制n-1的式子，如果不等號兩邊都是某數列的前n項和，這樣就可以找到兩個數列的通項，由通項的大小就可以證明前n項和的大小。2014石家莊質檢二，第一問不用說，看著也很眼熟吧，a1自己算。 第二問，這個不等式首先也不可能作差，需要一定的變形。說下思路，首先應該把（3n）n除到左邊來，觀察 這個式子肯定是某個以e為公比的等比數列前n項和（很多題都是等比，因為等比后面的次數掛上n的可以忽略） 考慮