橢圓知識點總結(jié)

1、*、橢圓的定義【橢圓】1、橢圓的 第一定義：平 面內(nèi)一個 動點P到兩個定 點Fi、F2的距離之和 等于常 數(shù)(PFi| |PF22aF1F2 ），這個動點P的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點,兩焦點的距離叫作橢圓的焦距。注意：若（PFJ PF? | 丁十2），則動點P的軌跡為線段Fi F2 ；若(PFi二、橢圓的方程PF2| |卩汗2 ），則動點P的軌跡無圖形。1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（端點為 a、b,焦點為c)（1 ）當(dāng)焦點在x軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:2X2a(a b 0)，其中 c2a2b2 ；（2）當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:2y2a2(a b 0)，其中 cb2 ；2、兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可

2、用一般形式表示:X21或者2 2mx +ny =1三、橢圓的性質(zhì)（(a1、對稱性:對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程2x2a2 y b20）為例）（a b 0）:是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形;并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。2、范圍：橢圓上所有的點都位于直線xa和yb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足*X I a , y | b。3、頂點： 橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。2 2X y 橢圓 牙1 (a b 0)與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為a bA1( a,0)，A2(a,0)，B", b)，B2(0,b)。線段AA2，B! B2

3、分別叫做橢圓的長軸和短軸，I AA 2a， B! B22b。 a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4、離心率： 橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e2c2a*因為(a c 0)，所以e的取值范圍是(0 e 1)。 e越接近1,則c就越接近a，從而b “a2 c2越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0,從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a b時，c 0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2y2a。 離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。2 2注意：橢圓篤爲(wèi) 1的圖像中線段的幾何特征(如下圖)a bMi恥X寺KlAl Qi

4、 0kJPM22a2cPF 'PF e(PF1 I |PF2 I 2a)(PM1PM1 PM 25、橢圓的第二定義:平面內(nèi)與一個定點(焦點)和一條定直線(準(zhǔn)線)的距離的比為常數(shù)e, (0vev 1)的點的| PF |軌跡為橢圓(e )。d*，也即上圖中有即：至U焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點所構(gòu)成的圖形PMiPF2PM 2 I*焦點在X軸上：2X2 a2 y b21 (a> b> o)準(zhǔn)線方程：X焦點在y軸上：2 y2 a2Xb21 (a> b> o)準(zhǔn)線方程：y(i)點P(x), y。)在橢圓2x2a2y21(a b 0)的內(nèi)部b22Xo2yob2(

5、2)點P(xo, yo)在橢圓2y21(a b 0)的外部b22Xo2yob26、橢圓的內(nèi)外部四、橢圓的兩個標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程2X2 a2:1(abo)2 y2 a2Xb21(a b o)F 1圖形AAz 1焦占八 '、八、F1( c,o),F2(c,o)F1(o,c),F2(o,c)焦距F1F22c| F1F22c范圍x a,ybXb丨y I a對稱性關(guān)于X軸、y軸和原點對稱性質(zhì)頂點(a,o),(o,b)(o,a)(b,o)軸長長軸長=2a,短軸長=2b離心率e -(oe 1)a22準(zhǔn)線方程Xayacc*焦半徑PFi a ex0, PF2 a ex0PFia eyo, PF

6、?a ey五、其他結(jié)論2x1、若Po(xo, yo)在橢圓a1上，則過Po的橢圓的切線方程是 巻ayoy 1橫12x2、若Po(Xo, yo)在橢圓a2y1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為Pi、P2,則切點弦P1P2的直線方程是x°xayoy2x3、橢圓a(a > b > o)的左右焦點分別為F1 , F 2,點P為橢圓上任意一點F1PF2，則橢圓的焦點角形的面積為SF1PF2b2 tan 22x4、橢圓一2a2占1( a> b> o)的焦半徑公式:|MF1|a exo ,| MF21 a exo(R(c,0),F2(c,0) M (xo,yo)5、設(shè)過橢圓

7、焦點 F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)APAQ分別交相應(yīng)于焦點 F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點，貝U MF丄NF。6、過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點,A1PA2Q交于點 M , A2P和A1Q交于點N，貝U MF丄NF。2x7、AB是橢圓工a2 y_ b2的不平行于對稱軸的弦,M (xo, yo)為AB的中點，kOM kABK ABb2Xo2。a yo8、若 Po(xo, yo)在橢圓2 x 2 a2%1內(nèi)，則被Pob所平分的中點弦的方程b2a22止b22x9、若Fo(x°, y°)在橢圓丐ab21內(nèi)，則過

8、Po的弦中點的軌跡方程是22xy2,2abx°xy°ya2b21。、點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的外角*11、PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直 徑的圓，除去長軸的兩個端點 12、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離 13、以焦點半徑 PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切、選捋題：）R線設(shè)設(shè)定點心-圳（03）,動點 妁越足條件|/省屮£1 = 0 則動 點戶的軌跡是（C.楓圓或線段A.捕圓 不存在2.已知橢圓聲+蘋=1的一個焦點為（ZOh則押圓的方程是（3.D.-1甘廠 V-C. .+= 1D,

9、 + 126 2衙圓二當(dāng)=1上一點"到一個焦直的距臨是Z則點材到另一2、 I o個焦點G的更離是）A. 10B. 81犧圓4+須丁1的焦點坐標(biāo)是（A. |±Ao） B. （o主因B.C.D.*5曲線' J =1和' J “投有（）? A49山相同的焦點 B.相同的離心率C.相同的短軸D.相同的長釉6橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸.離心率為:*萇軸萇為12,則橢岡方稈為乩+= 164X=i或瑩+丘=14664亍橢圓= l的焦點心軸上，長軸長是雄軸長的2倍，則皿的取 值足（K. + = 1或 14412S1281 斗斗YI!工* A I'*C. - = 1 或:L + 2_=l強 3232 36D.B, 2D. 4二、填空題&己知橢圓方程-X=i,離心率為,此橢圓的長軸£4畏為Q9. 橢圓川十£0=2的焦點坐標(biāo)為,頂點