2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件練習(xí)題

1、§ 1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、選擇題1 .設(shè)集合 A= xC R|x 2>0, B= xC R|xv 0 , C= xC R|x（x2） >0,則“ xC AU B” 是 “xC C'的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：AU B= xC R|xv0 或 x>2 , 0= xC R|xv 0 或 x>2,.,AU B= 0 x AU B是xCC的充分必要條件.答案：02 .已知命題 p： ? nC N,2n>1 000 ,則稅p為（）.A. ? nC N,2nW1 000B.

2、? nC N,2n>1 000C. ? nCN,2nW1 000D. ? nCN,2n<1 000解析 特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題.即 p： ? xC M p（x）,則稅p： ? xe M稅p（x）.故選A.答案 A3 .命題“若一1vxv 1,則x2<1”的逆否命題是（）A.若 x>l 或 xw1,則 x2>lB.若 x2<1,則一1<x<1C.若 x2>1,則 x>1 或 x< 1D.若 x2>1,則 x>l 或 xw 1解析：若原命題是“若 p,則q"，則逆否命題為“若稅 q則稅p"，故此命題

3、的逆否命題 是“若 x2>1,則 x>l 或 xw 1” .答案：D4 .已知a , 3角的終邊均在第一象限，則“ a > 3 ”是“sin a >sin 3 ”的（）.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件1解析（特例法）當(dāng) a > 3 時(shí)，令 a =390 ,3=60 ,則 sin 390 = sin 30 = 2<sina >sin 3 不成立；當(dāng) sina > sin3 時(shí)，令 a =60° , 3 =390° 滿足上式，此時(shí) a v 3 ,故"a > 3 "

4、是"sin a >sin 3 ”的既不充分也不必要條件.答案 D【點(diǎn)評(píng)】 本題采用了特例法，所謂特例法，就是用特殊值特殊圖形、特殊位置代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而作出正確的判斷.特例法的理論依據(jù)是：命題的一般性結(jié)論為真的先決條件是它的特殊情況為真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.這種方法實(shí)際是一種“小題小做”的解題策略，對(duì)解答某些選擇題有時(shí)往往十分奏效5 .命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f (x)是奇函數(shù)”的否命題是()A.若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)是偶函數(shù) B.若f(x)不是奇函數(shù)

5、，則f(-x)不是奇函數(shù) C.若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù) D.若f(x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù) 解析：否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論. 答案：B6 .設(shè)集合 M= 1,2 , N= a2,則 “ a=1” 是 " N? M'的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件解析：當(dāng)a=1時(shí)，Nl= 1,此時(shí)有N? M則條件具有充分性；當(dāng)N? M時(shí)，有a2= 1或a2=2得到ai = 1, a2=1, a3=J2, a4=一。2,故不具有必要性，所以"a=1"是"N? M' 的充分不必要條

6、件.答案：A7 .若實(shí)數(shù) a, b 滿足 a>0, b>0,且 ab = 0,則稱(chēng) a 與 b 互補(bǔ).記(f)(a, b) =a2+ b2 a -b,那么()(a, b) = 0是a與b互補(bǔ)的().A.必要而不充分的條件B.充分而不必要的條件C.充要條件D.既不充分也不必要的條件解析 若()(a, b) = 0,即Ma2+b2 = a+ b, 兩邊平方得ab=0,故具備充分性.若a>0, b>0, ab= 0,則不妨設(shè) a= 0.(f)(a, b)=32 + b2 ab= V3b=0.故具備必要性.故選 C. 答案 C 二、填空題1 1 _ < X <一8

7、.若不等式一川K1成立的充分不必要條件是32 ,則實(shí)數(shù)用的取值范圍是 2,419 .有三個(gè)命題：(1)"若x + y=0,則x, y互為相反數(shù)”的逆命題;(2) “若a>b,則a2>b2”的逆否命題；(3) “若 x< 3,則 x2+x6>0” 的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)為解析(1)真，(2)原命題假，所以逆否命題也假，(3)易判斷原命題的逆命題假，則原命題的否命題假.答案 1 10.定義：若對(duì)定義域 D上的任意實(shí)數(shù)x都有f(x)=0,則稱(chēng)函數(shù)f(x)為D上的零函數(shù).根據(jù)以上定義，" f(x)是D上的零函數(shù)或g(x)是D上的零函數(shù)”為“ f (x)與

8、g(x)的積函數(shù)是D上的零函數(shù)”的條件.解析設(shè)( 1,1) , f (x)=0, xCIx, xC-1, 0,x, x1,0,g( x)= < 二門(mén) p, x e U, 1 ,顯然F(x)=f(x) g(x)是定義域 D上的零函數(shù)，但f(x)與g(x)都不是D上的零函數(shù).答案充分不必要11. p："向量a與向量b的夾角0為銳角”是q：“ a b>0” 的條件.解析：若向量a與向量b的夾角0為銳角，則cosa - b ),0 = ->0,即 a - b>0；由 a - b>0|a| |b|可得cos 0 =3->0,故0為銳角或 0 =0°

9、|a| , |b|,故p是q的充分不必要條件.答案：充分不必要12.已知a與b均為單位向量，其夾角為0 ,有下列四個(gè)命題P1 ： | a+ b|>1?p2： | a+ b|>1?2JL3p3： | a b|>1?0,p4： | a- b|>1?其中真命題的個(gè)數(shù)是解析 由| a+b| > 1 可得 a2+2a - b + b2> 1,因?yàn)?| a| = 1, | b| = 1,所以 a b> g,故 0C l|0,1當(dāng) 0|0,時(shí),a , b > , |a+b|2=a+2a,b + b>1,即 |a+b|>1,13 J 33 J2故 p

10、1 正確.由 | a b| > 1 可得 a2 2a - b+ b2> 1,因?yàn)?| a| = 1, | b| = 1,所以 a - b <-1,故p4正確.答案 2三、解答題13 .設(shè)p ：函數(shù)f(X)=213在區(qū)間(4, +8)上單調(diào)遞增；q : loga 2 < 1 ,如果“P是真命題，“ p或q ”也是真命題，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。|x -ai解析：Pt f(x) -2 在區(qū)間(4, +8)上遞增，'p u 斗 x a 1在(4, +8)上遞增，故 a - 4. (3 分)q ：由 loga 2 <1 =logaa= 0 <a <1 或

11、a >2.( 6分)如果“P ”為真命題，則p為假命題，即a>4. (8分)又因?yàn)閜或q為真，則q為真，即0<2<1或2>20 二 a ：二1或 a 2（12 分）由la4可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a >4.14 .已知函數(shù)f(x)是(一國(guó)，+8)上的增函數(shù)，小bCR,對(duì)命題“若a+b>0,則f(a) +f (b) > f ( a) + f ( 一 b)”.(1)寫(xiě)出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫(xiě)出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論.解(1)逆命題是：若 f(a)+f(b)nf( a)+f( b),則a+ b>0為真命題.用

12、反證法證明：假設(shè) a+bv0,則avb, bv a.,f(x)是(一 8,十00)上的增函數(shù)，則 f(a)<f(-b) , f(b) vf(a),.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),這與題設(shè)相矛盾，所以逆命題為真.(2)逆否命題：若 f (a) + f (b) < f ( - a) + f ( - b),則a+bv0為真命題.因?yàn)樵}？它的逆否命題，所以證明原命題為真命題即可.a+b>0,.a> b, b> a.又 f(X)在(一00,十8)上是增函數(shù)， .f(a)>f(-b), f(b)>f(-a), - f(a) + f(b) &

13、gt;f( a) + f( b).所以逆否命題為真.15.判斷命題“若 a>0,則x2 + xa=0有實(shí)根”的逆否命題的真假.解 法一 寫(xiě)出逆否命題，再判斷其真假.原命題：若a>0,則x2+xa=0有實(shí)根.逆否命題：若x2+xa=0無(wú)實(shí)根，則a< 0.判斷如下：. x2+x-a=0 無(wú)實(shí)根，A=1 + 4a<0,a<- -<0,4'“若x2+xa=0無(wú)實(shí)根，則a<0”為真命題.法二 利用原命題與逆否命題同真同假(即等價(jià)關(guān)系)判斷1- a>0,4a>0,4a+ 1>0,，方程x2+xa=0的判別式 A = 4a+1>0,方

14、程x2+xa=0有實(shí)根，故原命題“若a>0,則x2+x a=0有實(shí)根”為真.又 原命題與其逆否命題等價(jià)，. “若a>0,則x2+x a=0有實(shí)根”的逆否命題為真命題.法三利用充要條件與集合關(guān)系判斷.命題 p： a>0, q： x2+xa=0有實(shí)根， - p： A= a R|a>0,2q： B= aC R|方程 x +x a= 0有頭根 =，aC R|a>- 4.即A? B, . “若p,則q”為真，“若p,則q”的逆否命題“若稅 q,則稅p”為真. “若a>0,則x2+x a=0有實(shí)根”的逆否命題為真.22x 一x-6W 0,16.設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x 4ax +3a <0,其中aw0, q：實(shí)數(shù)x滿足 2x +2x8>0.(1)若a= 1,且pA q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍;(2)若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.解：(1)由 x24ax+3a2<0,得(x 3a)( x a)<0 ,當(dāng)a=1時(shí)，解得1<x<3,即p為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是1<x<3.x x 6 w o由12，得2<xw3,即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2<xw3.x2+2x-8