2019九年級數(shù)學(xué)上冊1.4用一元二次方程解決問題專項(xiàng)練習(xí)二(等積變形、面積問題)

1、第一章 第4節(jié) 用一元二次方程解決問題專項(xiàng)練習(xí)二二、等積變形、面積問題 2:1 .某家庭農(nóng)場要建一個(gè)長方形的養(yǎng)兔場，兔場的兩邊靠墻(兩堵墻互相垂直，長度不限)，另兩邊用木欄圍成，木欄總長 20米.(1)兔場的面積能達(dá)到 100平方米嗎？請你給出設(shè)計(jì)方案；(2)兔場的面積能達(dá)到 110平方米嗎？如能，請給出設(shè)計(jì)方案，若不能說明理.2 .張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮， 他將此矩形鐵皮的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長為 1米的正方形后, 剩下的部分剛好能圍成一個(gè)容積為 15m3的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多 2米, 現(xiàn)已知購買這種鐵皮每平方米需 20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元

2、錢？3 .如圖，學(xué)校打算用16 m的籬笆圍成一個(gè)長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，生物園的一面靠墻(如下圖)，面積是30 m2.求生物園的長和寬.4 .現(xiàn)有一塊長20cm,寬10cm的長方形鐵皮，在它的四個(gè)角分別剪去一個(gè)大小完全相同的小正方形,用剩余的部分做成一個(gè)底面積為56cm2的無蓋長方體盒子，求出剪去的小正方形的邊長？5 .校生物小組有一塊長 32ml寬20m的矩形實(shí)驗(yàn)田，為了管理方便，準(zhǔn)備沿平行于兩邊的方向縱、橫個(gè)開辟一條等寬的小道，要使種植面積為540m2,小道的寬應(yīng)是多少米?136 .要對一塊長60米，寬40米的矩形荒地 ABCDS行綠化和硬化、設(shè)計(jì)方案如圖所示，矩形P、Q為1形ABC面積的

3、-, 4兩塊綠地，其余為硬化路面，P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩求P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬.DC7 .如圖，在矩形ABCD43,BC=24cmP、Q M N分別從A、B C D出發(fā)，沿 ADBGCBDA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動即停止、已知在相同時(shí)間內(nèi)，若 BQ=xcm (xw0),貝U AP=2xcm CM=3xcm DN=Xcmi,(1)當(dāng)x為何值時(shí)，點(diǎn)P、N重合；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，以P、。M N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.黃用圖)8 .如圖，要建一個(gè)面積為 150 m2的矩形養(yǎng)雞場，為了節(jié)約材料，養(yǎng)雞

4、場的一邊沿用原來的一堵墻, 墻長為a m,其余三邊用竹籬笆圍成，已知竹籬笆的長為35 m.如果a=40,那么養(yǎng)雞場的長和寬各為多少米？(2)如果a是一個(gè)可以變化的量，那么墻的長度a對所建的養(yǎng)雞場有怎樣的影響？9 .如圖，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊.如圖，地毯中央的矩形圖案長6米、寬3米，整個(gè)地毯的面積是 40平方米.求花邊的寬10 .如圖，在 RtACB中，/ C=90 , BC=6m AC=8m點(diǎn)P、Q同時(shí)由A、B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿 AC, BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，已知點(diǎn) P移動的速度是，20cm/s,點(diǎn)Q移動的速度是10cm/s,幾秒后 PCQ勺5面積為RtACB面積的？811 .做

5、一個(gè)底面積為 24 cm2,長，寬，高的比為 4： 2： 1的長方體.求:(1)這個(gè)長方體的長、寬、高分別是多少？(2)長方體的表面積是多少？的厚度忽略不12 .把一邊長為 36cm的正方形硬紙板進(jìn)行適當(dāng)?shù)募舨?，折成一個(gè)長方體盒子(紙板計(jì))(1)如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個(gè)同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的長方體盒子.2要使折成的長方體盒子的底面積為676cm,那么剪掉的正方形的邊長為多少？折成的長方形盒子的側(cè)面積是否有最大值？如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由.(2)若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊

6、上)將剩余部分折成一個(gè)有蓋的長方體盒子，若折成的一個(gè)長方體盒子的表面積為880cm,求此時(shí)長方體盒子的長、寬、高(只需求出符合要求的一種情況)13 .在一塊長寬為的矩形荒地上，要建造一個(gè)花園，要求花園面積是荒地面積的一半，下 面分別是小華與小芳的設(shè)計(jì)方案.(1)小芳說，我的設(shè)計(jì)方案如圖所示，平行于荒地的四邊建造矩形的花園，花園四周小路的寬度 均相同，你能幫小芳算出小路的寬度嗎？請利用方程的方法計(jì)算出小路的寬度.(2)小華說，我的設(shè)計(jì)方案是建造一個(gè)中心對稱的四邊形的花園，并且這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) 分別在矩形荒地的四條邊上，請你按小華的思路，分別設(shè)計(jì)符合條件的一個(gè)菱形和一個(gè)矩形，在 圖之和圖3中畫

7、出相應(yīng)的草圖，說明所畫圖形的特征，并簡述所畫圖形符合要求的理由.e16mItvn14 .用如圖所示矩形紙片的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長為x的正方形(陰影部分).并制成一個(gè)長方體紙盒。(1)用a, b, x表示紙片剩余部分的面積和紙盒的底面積；(2)當(dāng)a=6, b=4,且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時(shí)，求正方形的邊長.答案詳解：1. (1) 10 m; (2) 110 m2.試題分析：(1)設(shè)AB=x,則BC=20 x,利用矩形的面積作為等量關(guān)系列方程，解方程求解即可，根據(jù)方程解的情況給出方案；(2)設(shè)AB=x,則BC=20 x,利用矩形的面積作為等量關(guān)系列方程，若一元二次方程有解則可求出長和寬從

8、而可設(shè)計(jì)方案，若方程無解，則不能圍成上述條件的長方形.試題解析：(1)設(shè) AB=x,貝U BC=20- x,根據(jù)題意，得 x (20-x) =100整理，得 x2- 20x+100=0,解得 x1=x2=10,所以兔場的面積能達(dá)到 100 m2,設(shè)計(jì)方案為：AB=BC=10 m.(2)設(shè) A田x,貝U BC=20- x,根據(jù)題意，得 x (20-x) =110,整理，得 x2-20x+110=0,A=400- 4400, .原方程無解.故兔場的面積不能達(dá)到 110 m2.點(diǎn)撥：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決這類題目要讀懂題意，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系列方程，解出方程的解后要注意代入實(shí)際問題中判斷

9、是否符合題意，進(jìn)行值的取舍.2. 700.試題分析：本題可設(shè)無蓋長方體箱子寬為x米，則長為(x+2)米，根據(jù)剛好能圍成一個(gè)容積為15米3的無蓋長方體箱子，結(jié)合圖形可列出方程，求出答案.試題解析：設(shè)長方體箱子寬為 x米，則長為(x+2)米.依題意，有 x (x+2) X 1=15.整理，得 x2+2x-15=0 ,解得 x1=-5 (舍去)，x2=3,這種運(yùn)動箱底部長為 5米，寬為3米.由長方體展開圖可知，所購買矩形鐵皮面積為(5+2) X (3+2) =35，做一個(gè)這樣的運(yùn)動箱要花35X20=700 (元).答：張大叔購回這張矩形鐵皮共花了700元3. 長和寬分別是 3、10或5、6.試題分析

10、：首先設(shè)生物園的寬為x米，則長為(16-2x)米，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：長方形的長X寬=面積30米2,由等量關(guān)系列出方程 xx (16-2x) =30,再解方程即可.試題解析：設(shè)寬為 x m,則長為(16-2x ) m.由題意，得 xx ( 16-2x ) =30,解得 x 1=3, x2=5.當(dāng) x=3 時(shí)，16-2X3=10,當(dāng) x=5 時(shí)，16-2X5=6.4. 3cm.試題分析：設(shè)剪去的小正方形的邊長為x,根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.試題解析：設(shè)剪去的小正方形的邊長為xcm,根據(jù)題意得：(20-2x) (10-2x) =56,整理得：(x-3) (x-12) =0,解得

11、：x=3或x=12,經(jīng)檢驗(yàn)x=12不合題意，舍去，x=3,則剪去小正方形的邊長為 3cm.5. 2m首先設(shè)道路的寬為xm,然后根據(jù)種植面積列出方程(32-x ) ( 20-x ) =540 ,整理，得 x2-52x+100=0 ,(x-50 ) (x-2 ) =0,.,.X1=2, x2=50 (不合題意，舍去),小道的寬應(yīng)是2m故答案為：2.點(diǎn)撥：此題應(yīng)熟記長方形的面積公式，另外求出 4塊試驗(yàn)田平移為一個(gè)長方形的長和寬是解決本題 的關(guān)鍵.6. 兩塊綠地周圍.的硬化路面寬都為10米.試題分析：可把 P, Q通過平移看做一個(gè)矩形，設(shè)P、Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬都為x米，用含x的代數(shù)式分別表示

12、出綠地的長為60-3x,寬為40-2x,利用“兩塊綠地面積的和為矩形ABCD1.面積的-”作為相等關(guān)系列方程求解即可.解：設(shè)P、. Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬都為 x米，根據(jù)題意，得 (6。- X (40- 2x) =60X40x14解之得Xi=10, X2=30經(jīng)檢驗(yàn)，X2=30不符合題意，舍去.答：兩塊綠地周圍的硬化路面寬都為10米.7. (1) x=4時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合；(2)當(dāng)x=2或+時(shí)四邊形NQM超平行四邊形 分析：(1) P、N兩點(diǎn)重合，即 AP+DN=AD=B或立方程解答即可；(2)把P、N兩點(diǎn)分兩種情況討論，點(diǎn) P在點(diǎn)N的左側(cè)或點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)，進(jìn)一步利用平行四邊 形的性質(zhì)聯(lián)

13、立方程解答即可.詳解：(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由x2+2x=24,得X1=4、X2=-6 (舍去)，所以x=4時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合. 因?yàn)楫?dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，x2=24,解得： ，此時(shí)M點(diǎn)和Q點(diǎn)還未相遇，所以點(diǎn) Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由 24- (x+3x) =24- (2x+x2),解得X1=0 (舍去)，X2=2;故當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN1平行四邊形;如圖DB Q2,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由24- (x+3x) = (2x+x2) -24,解得+戶7 ,0(舍去)；故當(dāng)也7時(shí)四邊形NQM灌平行四邊形;綜上：當(dāng)*=2或-3+*7時(shí)四邊形NQMP1平行四邊形.點(diǎn)撥：本

14、題主要考查一元二次方程的應(yīng)用；平行四邊形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)； 關(guān)鍵是能借助 圖形的性質(zhì)找出數(shù)量關(guān)系，并能針對具體問題進(jìn)行分類討論8. (1)養(yǎng)雞場的長、寬分別為20 m, 7.5 m或15 m, 10 m. (2)建成長為15 m,寬為10 m或長為20 m,寬為7.5 m的養(yǎng)雞場.分析：(1)設(shè)與墻垂直的一邊長為xm,則由題意可得與墻平行的一邊長為(35-2x) m,根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式結(jié)合題意列出方程，解方程即可求得養(yǎng)雞場的長和寬；(2)由養(yǎng)雞場與墻平行的一邊的長度不大于墻的長度a,結(jié)合(1)中所得結(jié)果進(jìn)行分析即可.詳解：(1)設(shè)養(yǎng)雞場與墻垂直的一邊長為x m,則與墻平行的一邊長

15、為(35 -2x)m,根據(jù)題意得：x(35 2x)=150,解得：x1=10, x2= 7.5 ,當(dāng) x= 10 時(shí)，352x=15;當(dāng) x= 7.5 時(shí)，35-2x= 20.答：養(yǎng)雞場的長、寬分別為20 m, 7.5 m或15 m, 10 m.(2)由題意可知，養(yǎng)雞場與墻平行的一邊的長度不大于墻的長度a,結(jié)合(1)中的結(jié)果可知：當(dāng)av 15時(shí)，問題無解；當(dāng)15wav20時(shí)，問題有一解，即可建成長為 15 m、寬為10 m的養(yǎng)雞場；當(dāng)aR20時(shí)，問題有兩解，即可建成長為 15 m,寬為10 m或長為20 m,寬為7.5 m的養(yǎng)雞場.點(diǎn)撥：(1) “讀懂題意，結(jié)合圖形，知道用竹籬笆只圍了養(yǎng)雞場的

16、三面”是解答第1小題的關(guān)鍵；(2) “讀題題意，知道養(yǎng)雞場與墻平行一邊的長度不大于墻的長度a”是解答第2小題的關(guān)鍵.9.花邊的寬為1米.試題分析：可以設(shè)花邊的寬為x米，可以列出方程解題.試題解析：解：設(shè)花邊的寬為x米，列方程為2x 6 2x 3)=4011解之得為=1,x2(舍去)答：花邊的寬為 1米.510. 10秒后 PCQ勺面積為RtACB面積的5 .8試題分析：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t秒，表示出PG QC再根據(jù)三角形的面積公式列出方程，然后根據(jù)一元二次方程的解法求解即可.試題解析：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t秒，則PC=8- 0.2t , QC=6- 0.1t ,由題意得，1 (8 0.2t ) (6 0

17、.1t ) =5 x 1 X6X8,282整理得，t2- 100t+900=0 ,解得 ti=10, t2=9 0 (舍去)，5答：10秒后4PCQ勺面積為RtACB面積的811. (1)這個(gè)長方體的長、寬、高分別是4，3cmT, 2，3cm, J3 cm； (2)長方體的表面積是 84 cm2.試題分析：(1)(2)設(shè)出長寬高，利用底面積，求出長寬高，最后再求出表面積試題解析：(1)設(shè)長方體的高為x,則長為4x,寬為2x,由題意得4xX2 x=24解得x=J3 ,則4x=433,2x=2褥.答：這個(gè)長方體的長、寬、高分別是4 J3 cm, 2J3 cm, J3 cm(2)(4 痣 X2 百+

18、百 X4 點(diǎn) +2 點(diǎn) X 73) X2= (24 + 12 +6) X 2= 42X 2= 84(cm2).答：長方體2的表面積是84 cm12. (1)剪掉的正方形的邊長為5cm,當(dāng)剪掉的正方形的邊長為9cm時(shí)，長方形盒子的側(cè)面積最大為648cm2; (2)剪掉的正方形的邊長為8cm.此時(shí)長方體盒子的長為20cm,寬為10cm,高為8cm.分析：(1)設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm,根據(jù)題意得出(36-2x) 2=676,求出即可；設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm,盒子的側(cè)面積為 Scm2,則y與x的函數(shù)關(guān)系為：S=4 (36-2x) x,利用二次函數(shù)最值求出即可；(2)設(shè)剪掉的長方形盒子的高為

19、acm,利用折成的一個(gè)長方形盒子的表面積為880c,得出等式方程求出即可.詳解：(1)設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm.則( 36 - 2x) 2=676,即 36-2x=26,解得：Xi=31 (不合題意，舍去)，x2=5, ，剪掉的正方形的邊長為 5cm.側(cè)面積有最大值.設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm,盒子的側(cè)面積為 Scm,則S與x的函數(shù)關(guān)系為：S= (36 - 2x) XxX4 =- 8x2+144x= - (x- 9) 2+648,.x=9 時(shí)，S最大=648.即當(dāng)剪掉的正方形的邊長為9cm時(shí)，長方形盒子的側(cè)面積最大為648cm2;(2)在如圖的一種剪裁圖中，設(shè)剪掉的正方形的邊長為acm,長為（36-2a）cm,寬為（18-a）cm,高為acm.（36-2a） X36+2a （18-a） =880解得：ai=- 26 （不合題意，舍去），a2=8.，剪掉的正方形的邊長為 8cm.此時(shí)長方體盒子的長為 20cm,寬為10cm,高為8cm.點(diǎn)撥：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用及二元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)