三維旋轉矩陣的計算

1、三維旋轉矩陣的計算旋轉矩陣(Rotation matrix )是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不 改變大小的效果的矩陣。旋轉矩陣不包括反演，它可以把右手坐標系改變成左 手坐標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。在三維空間中，旋轉變換是最基本的變換類型之一，有多種描述方式，如 Euler 角、旋轉矩陣、旋轉軸/旋轉角度、四元數(shù)等。本文將介紹各種描述方式以及它 們之間的轉換。1 .旋轉矩陣用一個3階正交矩陣來表示旋轉變換，是一種最常用的表示方法。容易證明， 3 階正交陣的自由度為3。注意，它的行列式必須等于1,當?shù)扔?1的時候相當 于還做了一個鏡像變換。2 . Euler 角根

2、據(jù)Euler定理，在三維空間中，任意一種旋轉變換都可以歸結為若干個沿著 坐標軸旋轉的組合，組合的個數(shù)不超過三個并且兩個相鄰的旋轉必須沿著不同 的坐標軸。因此，可以用三個沿著坐標軸旋轉的角度來表示一個變換，稱為 Euler角。旋轉變換是不可交換的，根據(jù)旋轉順序的不同，有 12種表示方式， 分別為：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、 ZYZ,可以自由選擇其中的一種。對于同一個變換，旋轉順序不同，Euler角也不同，在指定Euler角時應當首先約定旋轉順序。2.1 Euler角轉化為旋轉矩陣不妨設先繞Z軸旋轉T,再繞Y軸旋轉制最后繞X軸旋轉%即旋

3、轉順序為 XYZ,旋轉矩陣cy = cos(z),3=sin(詼示逆時針旋轉。3.1 旋轉軸/旋轉角度 轉化為旋轉矩陣設v是任意一個向量，定義Vn = (ny)n = nnv v = v = (Z nn )v% = nxv =m j,= /7Xi,=川、，=-v,人 A.A. A.A J 4 AV| =v-v_L =(/+w2)v如下圖所示這樣，我們建立了一個直角坐標系。；3xM設u為v繞軸旋轉后得到的向量，則有u = cosGv, + sinOv = (sm3n -cos/川-)匕 4=i u = ij +| = (/ + sin? +( l-cos)w2)v = R(n,0R(n. = I

4、 + sin+(1 cos 0)nR即為旋轉矩陣。進一步可表示為co = On =(力叼牝)、Rco) = R(nO 4 .單位四元數(shù)(Unit quaternions)四元數(shù)由Hamilton于1843年提出，實際上是在四維向量集合上定義了通常的 向量加法和新的乘法運算，從而形成了一個環(huán)。% = % + 加 + % + /i, % = ix2 + jy2 +kz、+g4l +夕2 =/(內(nèi) +2)+J(必 +%) +后(4 +Z2)+(i +處： %夕2 = (iXl +/M + 后i +。)(a2 +J2 +kZ2 +C02) 2-27 2* * 11 *-77 i = j = k =ij

5、k = -1, i = jk = kjJ =ki = ik, k = y =-jiq |= Jx2+/+z2+2q稱為單位四元數(shù)，如果|q|二1 。一個單位四元數(shù)可以表示三維旋轉。用單位 四元數(shù)表示旋轉可以保持一個光滑移動的相機的軌跡，適合動畫生成。4.1 旋轉軸/旋轉角度 轉化為單位四元數(shù)根據(jù)旋轉軸n和旋轉角度9,得到單位四元數(shù)qv = (WZ) = sin，wg4.2 單位四元數(shù) 轉化為旋轉軸/旋轉角度.90q = (v, co) = (sin w?cos 22,6 = 2tan-1() (o4.3 單位四元數(shù)轉化為旋轉矩陣T?(z7, 0) = I + sin Bn +(1-cos)/7

6、2 = I + 2a)v +2v2-z0XyXL22-x - zyz22yz -x - yR(q) =1-2(/+z2)2(xy +za)2(xz -yeo)2(xy-za)2(xz+ya)1 - 2(x2 +z2) 2(yz xco)2(yz +xg)l-2(x2 +y2)4.4四元數(shù)的性質(zhì)定義四元數(shù)的逆、乘法和除法，如下所示/ =（匕，？），% =（%。2）qf =（匕，一: =（一匕， 1q =1 102 = I.匕 x v2 + 中產(chǎn)2 + 由?匕，o)xa2 - %.匕)q = qj q、= q1q? = (% x 匕 + 8 一 ，一 -%R(q) = &(% )&(%), RW) = &(%)及(1)根據(jù)該性質(zhì)，我們可以對兩個旋轉變換 q1和q2作線性插值，這相當于在四維 空間中的超球面上對點q1和q2作球面線性插值。q(D =sin(l - t)B +sin。sin tOsin。Q = cos-1( 必=cosT(