高等代數(shù)張禾瑞版教案第章矩陣

1、教學(xué)目的:及其基本性質(zhì)，并熟練地對(duì)矩陣進(jìn)行運(yùn)算。1 .掌握矩陣的加法，乘法及數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算法則。2 . 了解幾種特殊矩陣的性質(zhì) 教學(xué)內(nèi)容：5.1 矩陣的運(yùn)算1矩陣相等F是一個(gè)數(shù)域。用 F的元素aij作成的一個(gè) m行n列矩陣我們將在一個(gè)數(shù)域上來討論。令an才2amA=a21a22a2nAmiam2amn叫做F上一個(gè)矩陣。A也簡(jiǎn)記作(aij)。為了指明 A的行數(shù)和列數(shù)，有時(shí)也把它記作Amn或(a ij) mn。一個(gè)m行n列矩陣簡(jiǎn)稱為一個(gè)m*n矩陣。特別，把一個(gè) n*n矩陣叫做一個(gè) n階正方陣，或n階矩陣F上兩個(gè)矩陣，只有在它們有相同的行數(shù)和列數(shù)，并且對(duì)應(yīng)位置上的元素都相等時(shí)，才認(rèn)為上相等的。以

2、下提到矩陣時(shí)，都指的是數(shù)域F上的矩陣。我們將引進(jìn)三種運(yùn)算：數(shù)與矩陣的乘法，矩陣的加法以及矩陣的乘法。先引入前兩種運(yùn)算。2矩陣的線性運(yùn)算定義1數(shù)域F的數(shù)a與F上一個(gè)m*n矩BA=(a j)的乘法aA指的是m*n矩陣(aaj)定義2兩個(gè)m*n 矩BA=(a j), B=(b j)的和A+B指的是 m*n 矩陣(aj+bj)。注意，我們只能把行數(shù)相同，列數(shù)相同的兩個(gè)矩陣相加。以上兩種運(yùn)算的一個(gè)重要特例是數(shù)列的運(yùn)算。現(xiàn)在回到一般的矩陣。我們把元素全是零的矩陣叫做零矩陣，記作0。如果矩陣A=(aj),我們就把矩陣(-aj),叫做A的負(fù)矩陣，記作一Ao3矩陣線性運(yùn)輸?shù)囊?guī)律A+B=B+A ;(A+B)+C=

3、A+(B+C);0+A=A ;A+(-A)=0 ;a(A+B尸Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；這里A,B和C表示任意 m*n矩陣，而a和b表示F中的任意數(shù) 利用負(fù)矩陣，我們?nèi)缦露x矩陣的減法：A B=A+ ( B)于是有A+B=C A=C B由于數(shù)列是矩陣的特例，以上運(yùn)算規(guī)律對(duì)于數(shù)列也成立。4乘法定義3數(shù)域F上的m*n矩BA=(aj)與n*p矩BB=(b j)的乘積AB指的是這樣的一個(gè) m*p矩陣。這個(gè) 矩陣的第I行第j列(1=1,2,，m；j=1,2,p)的元素Cij等于A的第I行的元素與 B的第j列的對(duì)應(yīng)元素 的乘積的和：cij=a i1b1j +a

4、i2 b2j+ +a in bnj。注意，兩個(gè)矩陣只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)才能相乘。我們看一個(gè)例子：2 1(1) 20(5) 2 ( 3) ( 1)2) ( 5) 3 ( 3) 1 1(2) 0155 矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律： 對(duì)于數(shù)的乘法成立的運(yùn)算規(guī)律,對(duì)于矩陣的乘法說并不都成立O值得一提的是以下兩點(diǎn)。兩個(gè)非零矩陣的乘積肯是零矩陣，例如:1111100.矩陣的乘法不滿足交換律。 nmAmn雖然有意義，但是當(dāng)首先，當(dāng)m n時(shí),p m時(shí)AmnBnp有意義，但B npAmn沒有意義。其次，AmnBnp和頭一個(gè)乘積是 m階矩陣而第二個(gè)是 n階矩陣,它們不相等。最后,nnBnn和Bnn

5、 Ann雖然都是n階矩陣，但它們也未必相等。例如但是距陣乘法?t足結(jié)合律：(AB)C=A(BC)事實(shí)上，可以假定A=(a ij)mn ,B=(b ij)np ,C=(c ij)pq,那么(AB)C和A(BC)都是m*n距陣，我們來證明它們的對(duì)應(yīng)元素相等，令A(yù)B=U=(u j),BC=V=(v 由距陣乘法知，nUil = aikbkl , Vkjk 1j).因此(AB)C=UCp(1) Uil cjl 1的第p(pbkl cj, 11行第j列的元素是aikbkJcu另一方面，?A(BC尸AV 的第I行第j列的元素是 nnpaik vaik(bklcj)k 1k 1 l 11的性質(zhì). n階正距陣由

6、于雙重求和符號(hào)可以交換次序，所以(1)和(2)的又端相等.這就證明了結(jié)合律.我們知道，數(shù)1乘任何數(shù)a仍彳# a.對(duì)距陣的乘法來說，存在這樣的距陣，他們有類似于數(shù)我們把主又t角線上(從左上角到右下角的對(duì)角線)上的元素都是1,而其它元素都是 0的110 0010-001叫做n階單位距陣，記作In,有時(shí)簡(jiǎn)記作I.In顯然有以下性質(zhì)：I nA np=Anp ;A mn In=Amn .距陣的乘法和加法滿足分配律：A(B+C尸AB+AC;(B+C)A=BA+CA;這兩個(gè)式子的驗(yàn)證比較簡(jiǎn)單，我們留給讀者。注意，由于距陣的乘法不滿足結(jié)合律，所以著兩個(gè)式子并 不能互推。距陣的乘法和數(shù)與距陣的乘法顯然滿足以下運(yùn)

7、算規(guī)律：a(AB)=(aA)B=A(aB).給了任意r個(gè)距陣Ai,A2,Ar,只要前一個(gè)距陣的列數(shù)等于后一個(gè)距陣的行數(shù)，就可以把它們依次相乘，由于距陣的乘法滿足結(jié)合律，作這樣的乘積時(shí)，我們可以把因子任意結(jié)合，而乘積 確定的意義。特別，一個(gè) n階正方陣A的r次方(r是正整數(shù))有意義 我們?cè)偌s定A0=I這樣一來，一個(gè) n階距陣的任意非負(fù)整數(shù)次方都有意義。 設(shè)AiA2Ar有完全f(x) =a o+a i +a mx m是Fx中有確定的意義，它仍然是 f(A) =a oI +a i A+a mAm.F上的一個(gè)階正方陣，我們將它記作f(x):如果 f(x),g(x) Fx,而 A 是一 u (x)= f

8、(x)+ g(A), v(x)= f(x) g(x)于是有u(A)=f(A)+g(A),v(A)=f(A)g(A)5距陣的轉(zhuǎn)置定義4設(shè)m*n距陣n階距陣,aii ai2ainA=a 2i a 22a2nami am2?amn把A的行變?yōu)閭z所得到的aiia2iamin Xmr距陣A =a i2a22am2a 1na2na mn叫A的轉(zhuǎn)置距陣的轉(zhuǎn)置規(guī)律a) b)c) d) 我們只驗(yàn)證(a，y (A+B) (AB)'二A,'=A' +B'=B' A(aA)=aA '(5),其它三個(gè)規(guī)律容易驗(yàn)證.設(shè)aii. a2iA=312a22a1na2n,B=bii

9、b2ibi2b22bpb2p首先容易看出，(AB)'和B' A'都是pmami矩陣.其次,位于(AB) aji b ii+a j2b 2i+ -Am2的第3mnbn1bn2行第j列的元素就是位于 ABbnp的第j行第i列的元素，因而等于+ajnbni.位于B' A'的第i行第j列的元素等于B '的第i行的元素與 A'的第j歹U的對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，因而等于B的第i列的元素與 A的第j行的對(duì)應(yīng)元素的乘積之之和 biiaji+b 2iaj2+b ni ajn上面兩個(gè)式子顯然相等，所以 成立.等式和顯然可以推廣到 n個(gè)矩陣的情形，也就是說，以下

10、等式成立 (Al+A 2+An)' =Al ' +A2' + +An',(A1A2 An)' =An ' An-1 'A2' Al '5.2可逆矩陣矩陣乘積的行列式教學(xué)目的：1掌握逆矩陣的概念及逆矩陣存在的充要條件。2 掌握求逆矩陣的方法，尤其能利用矩陣的行初等變換求逆矩陣。 教學(xué)內(nèi)容：1逆矩陣的定義：令A(yù)是數(shù)域F上的一個(gè)n階矩陣。若是存在 F上n階矩陣B ,使得AB=BA=I , 那么A叫作一個(gè)可逆矩陣(或非奇異矩陣)，而 B叫作A的逆矩陣。若是£1陣A可逆，那么 A的逆矩陣由A唯一決定。事實(shí)上，設(shè)B和C都是A

11、的逆矩陣：AB=BA=I , AC=CA=I。 那么B=BI=B (AC) = (BA) C=IC=C。2逆矩陣的性質(zhì)：我們以后把一個(gè)可逆矩陣A的唯一的逆矩陣用 A-1來表示。我們有以下簡(jiǎn)單的事實(shí)：可逆£1陣A的逆矩A-1也可逆，并且(A-1) -1=A這由算式AA-1=A-1 A=I可以直接推出。兩個(gè)可逆矩陣 A和B的乘積AB也可逆，并且(AB) -1=B-1A-1這是因?yàn)?AB) (B-1A-1)= (B-1A-1) (AB)=I一般，m個(gè)可逆矩陣 A1, A2,，Am的乘積A1A2 - Am也可逆，并且(A1A2 Am) 1 =A m 1 ?A2 1 A1 1可逆£1

12、陣A的轉(zhuǎn)置A'也可逆，并且(A，)-1= (A-1)，這是因?yàn)榍蟮仁紸A-1=A-1A=I中三個(gè)相等的矩陣的轉(zhuǎn)置，得(A-1) ' A =A' (A) ' =I ' =I 一個(gè)n階矩陣未必可逆。例如，令a 11 a12A=LJ00而B是任意一個(gè)2階矩陣。那么乘積 AB的第二行的元素都是零， 因此不存在二階矩陣 B ,使AB=I ,從而A不是可逆矩陣。3 初等變換首先注意以下事實(shí)：對(duì)于一個(gè)矩陣施行一個(gè)行或列初等變換 相當(dāng)于把這個(gè)矩陣左乘或右乘以一個(gè)可逆矩陣。我們把以下的三種正方陣叫做初等矩陣：Pij =10j11ki行D i(k)=11kiTij(k)=1

13、j行1這里沒有注明的元素在對(duì)角線上的都是陣A的第和第i和第j節(jié)或第i和第j列, i行或列乘以數(shù)k,相當(dāng)于把A左乘以m1 ,在其它位置的號(hào)部 相當(dāng)于把A左乘G階的Di(k),或右乘以第i行相當(dāng)于把 A左乘以m階的Tij(k),把A的第j列乘以數(shù)k 初等變換都是可逆的，并且它們的逆矩陣仍是初等變換。因?yàn)槿菀昨?yàn)證：P-1 ij=Pij ;D i(k)-1 =D i(? ),T ij(k) -1 =T ij(-k)k現(xiàn)在容易證明以下引理5.2.1設(shè)對(duì)正方陣A施行一個(gè)初等變換后，得到矩陣 那么A可逆的充分且必要條件是a可逆。零。通過驗(yàn)算容易看出：交換一個(gè)m階矩陣Pij或右乘以n階矩陣Pj ；把A的第n階

14、的Di(k)；把A的第j行乘以數(shù)k后加到后加到第i列相當(dāng)于把 A右乘以n階的Tj(-k)A,證我們只就行初等變換來證明這個(gè)引理，列初等變換的情形可以完全類似地證明。 設(shè)a是通過對(duì)A施行一個(gè)行初等變換而得到的。那么存在一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等矩陣(1)聲EAE,使得由于初等矩陣 E是可逆的，(1)式說明，當(dāng) A可逆時(shí)，a是兩個(gè)可逆矩陣的乘積。因?yàn)閍也可逆。另一方面，用E的逆矩陣E-1左乘(1 )式的兩端，得(2) E-1 片E-1EA=IA=A因?yàn)镋-1也可逆，由(2)式得，當(dāng)a可逆時(shí)，A也可逆。引理5.2.1說明，矩陣是否可逆這一性質(zhì)不因施行初等變換而有所改變。由定理4.1.2 ,給了任意一個(gè) m x

15、n矩BA,總可以通過行初等變換和交換兩列的初等變換，把 以下的一個(gè)矩陣：10 0C 1,r+1 C1n /01? , 0C 2,r+1 C2nA化為(3) 00 1Cr,r+10C rn繼續(xù)對(duì)(3)施行第三種列初等變換，顯然可以把Cij都化為零，因此，我們有定理5.2.2 一個(gè)m X n矩BA總可以通過初等變換化為以下形式的一個(gè)矩陣。IOmr,rOr,nrOmr,n r這里Ir是r階單位矩陣，Ost表示s X t的零矩陣、r等于A的秩。特別，當(dāng)A是一個(gè)n階矩陣時(shí)，上面的矩陣a是一個(gè)對(duì)角矩陣(即主對(duì)角線以外的元素都是0的矩陣)。根據(jù)引理5.2.1 , n階矩陣A是否可逆，決定于 a是否可逆。然而

16、對(duì)角矩陣a是否可逆很容易看出。當(dāng)a等于單位矩陣I時(shí)，a可逆。因?yàn)镮本身就是I的逆矩陣。當(dāng) a不等于I時(shí)，a至少有一個(gè)元素全是 零的行，因而右乘 a以任意一個(gè)n階矩陣B,所得的乘積 田中也至少有一個(gè)元素全是零的行，所以 a不 可逆。這樣，n階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它可以通過初等變換化為單位矩陣Io4 矩陣可逆的條件：定理5.2.3 n階矩A可逆，當(dāng)且它可以寫成初等矩陣的乘積。證A可以通過初等變換化為單位矩陣I ,就是說，I可以通過初等變換化為A ,也就是說，存在初等矩陣 Ei,Es,E s+i,，Et,使A=E i EsIEs+i Et=E i EsEs+i E t定理5.2.4 n階矩陣A可逆當(dāng)

17、且僅當(dāng) A的秩等于n。證A可以通過初等變換化為單位矩陣Io就是說，A的秩等于n o我們把n階矩陣aiia?ainA=a2ia22a2nanian 2ann的唯一的n階子式aii ai2 aina2i a22 a2n anian2 "' ann叫做矩陣A的行列式，記作|A| o我們知道，A /秩等于n的充分且必要條件是 1A|豐定理5.2.5 n階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式|A| W0我們常需要求出一個(gè)可逆矩的逆矩陣來?，F(xiàn)在給出兩種求逆矩陣的方法。第一種還是要用到初等變換。先說明以下事實(shí)：一個(gè) n階可逆矩陣 A可以通過行初等變換化為單位矩陣I。事實(shí)上，根據(jù)定理5.2.4,|

18、A| w 0。因此A的第一列至少有一個(gè)元素不等于零。我們顯然可以通過行初等變換把A化為這里Ai是一個(gè)n-i階矩陣。行列式|Ai|顯然等于矩陣(4)的行列式，而后者與|A|最多差一個(gè)不等 于零的因子，因此|Ai| W0,從而Ai的第一列至少有一個(gè)元素不等于零。于是通過行初等變換可由(4)得到這里A2是一個(gè)n-2階矩陣。這樣下去，最后我們得到單位矩陣Io但對(duì)于一個(gè)矩陣施行行初等變換相當(dāng)于以初等矩陣左乘這個(gè)矩陣，因此給了一個(gè)可逆矩陣A,可以找到一些初等矩Ei, E2,，Es,使5 5) es - E2EiA=I用A-i右乘這個(gè)等式的兩端，得，-、_ _ 一 一 -i6 6) EsE2EiI=A比較矩

19、式（5）和（6）。A的逆5 求矩陣的方法：在通過行初等變換把可逆矩陣A化為單位矩陣I時(shí)，對(duì)單位矩陣I施行同樣的初等變換，就得到矩 BA-1。例1求矩陣A= 3的逆矩陣我們寫下1A,2并把單位矩陣I寫在A的右邊:0、 廣,0我們施行行初等變換把1化為I。第二種求逆矩陣的方法是從行列式的性質(zhì)得來的o 設(shè)n階矩陣a11312r31nA= 32132232nan13n23nn那么以下等式成立:3i1 Aj1 +a i2Aj2+ +a inA jn=a1iA1j+a2iA2j + , +a niAnj =|A|,若 i0，若i|A|,若 i0，若i這里Ast是行列式石TH|A|中元素ast的代數(shù)余子式，

20、由此容易看出,A11A* AA =A12A22A1A2An1那么An1AA *=A *A=|A|0|A|A|我們把矩陣 A叫做矩陣A的伴隨矩陣。當(dāng)A是可逆矩時(shí),由定理 5.2.5 , |A| *0,因此由（7）得A A*|A|這就是說1 .A* A=I |A|A*|A|這樣，我們得到了一個(gè)求逆矩陣的公式。利用這個(gè)公式去求逆矩陣，計(jì)算量一般很大，公式（ 它來給出克萊姆規(guī)則的另一種推導(dǎo)法。8）的意義主要在理論方面。例如，我們可以應(yīng)用考慮線性方程組aiixi+a 12x2+a inxn=b 1, a2ix 1+a 22X2+ +a 2nX n=b 2ani xi +an2x2 + +a nnxn=b

21、 n利用矩陣的乘法可以把這個(gè)線性方程組寫成aiiai2 a21a22ainxi ba2nx2 = b2AinbAnib2Annbn1x = QAiiA2iAnibb2ani an 2ann玄 3這里（aij ） =A是方程組的系數(shù)矩陣。當(dāng)方程組的行列式冏 *0時(shí)，系數(shù)矩陣 A可逆，用A的逆矩陣A-1左乘（9）式的兩端，那么由（8）式得x1A11A12ixi = A AiiA2ixnA1 nA2n由此，對(duì)i=1,2,n,有bn1 “.，=（biAii+b 2A2i+ +bnAni）|A|這正是克萊姆規(guī)則給出的方程組的解。最后我們研究一下矩陣乘積的行列式和矩陣乘積的秩。我們將要得出兩個(gè)有用的結(jié)論。

22、 先看矩陣乘積的行列式。首先證明引理5.2.6 一個(gè)n階矩A總可以通過第三種行和列的初等變換化為一個(gè)對(duì)角矩陣di0A= d20dn并且 |A|=|a|=d id23dn證如果A的第一行和第一列的元素不都是零。那么必要時(shí)總可以通過第三種初等變換使左上角的元素不為零。于是再通過適當(dāng)?shù)牡谌N初等變換可以把A化為00di0如果A的第一行和第一列的元素都是零，那么 A已經(jīng)具有(10)的形式。對(duì) A1進(jìn)行同樣的考慮，易見可 用第三種初等變換逐步把A化為對(duì)角矩陣。根據(jù)行列式的性質(zhì)，我們有|A|=|a|=d id2 dn定理5.2.7設(shè)A, B是任意兩個(gè)n階矩陣。那么|AB|二|A| B|證先看一個(gè)特殊情形，

23、即 A是一個(gè)對(duì)角矩陣的情形。設(shè)diA=d2dn令 B= (bij ) dibii d 2 b2iAB=,容易看出 dibi2 d2 b22<dibind2 b2ndnbni dnbn2因此由行列式的性質(zhì)得dn bnn|AB|二=|A| B|現(xiàn)在看一般情形，由引理 5.2.6 ,可以通過第三種初等變換把A化為一個(gè)對(duì)角矩陣a,并且|A|=|a| O矩陣A也可以反過來通過對(duì)a施行第三種初等變換而得出。這就是說，存在Tij(k)型Ti,T2,Tq,A=TiTpaTp+iTq于是AB= (Ti Tp a) (Tp+iTqB。然而由行列式的性質(zhì)知道，任意一個(gè)n階矩陣的行列式不因?qū)λ┬械谌N行或列初

24、等變換而有所改變，換句話說，用一些 Tij(k)型的初等矩陣乘一個(gè)n階矩陣不改變這個(gè)矩陣的行列式。因此，注意到a是一個(gè)對(duì)角矩陣，我們有|AB|=|T iTpdTp+iTqB|=| a Tp+iTqB|=| a|T p+i TqB|=1 d|B| 二|A|B|.由這個(gè)定理顯然可以得出，對(duì)于 m個(gè)n階矩陣Ai, A2,，Am來說，總有|A iA2Am|=|A i|A 2| |A m|6關(guān)于矩陣乘積的秩定理5.2.8兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于每一因子的秩。特別，當(dāng)有一個(gè)因子是可逆矩陣時(shí)，乘積的秩等于 另一因子的秩。證設(shè)A是一個(gè)m x n矩陣，B是一個(gè)n x p矩陣，并且秩 A=r。由定理5.2.2 ,可

25、以對(duì)A施行初等變換 將A化為a= 1 r0換句話說，存在 m階初等矩陣Ei,，Ep和n階初等矩陣Ep+i,Eq,使 Ei EpAEp+i Eq= a.于是-11_ 一二=AB AB,Eq Ep i 11這里B= Eq Ep 1B.,顯然，AB除前r行外，其余各行的元素都是零，所以秩 AB <ro另一方面，E1EpAB是由AB通行初等變換而得到的，所以它與 AB有相同的秩。這樣就證明了秩AB秩A ,同理可證秩AB秩Bo如果A, B中有一個(gè)，例如 A是可逆矩陣。那么一方面，秩 AB秩B;另一方面，由于 B=A-1(AB),所以秩 B(秩AB o因此，秩人8=秩B。這個(gè)定理也很容易推廣到任意m

26、個(gè)矩陣的乘積的，懵形。任意 m個(gè)矩陣乘積的秩不大于每一因子的秩。A=a21a22a23a31a32a33a41a42a431或者分成/、塊：a11a12a13、a21a22a23a31a32a33a41a42a43等等。沒一個(gè)分塊如T法叫做 A的一"法。 根據(jù)矩陣的加法和M矩陣的乘法自定義,果A, B都用同樣的分法來分塊：A, B是兩個(gè)m*n的矩陣，并且對(duì)于我們可以把 A簡(jiǎn)單地寫成：A=A11A12A21A22-給了一個(gè)矩陣，可以有各種不同的分塊方法。例如，我們也可以把上面的矩陣A分成兩塊:a11a12a13廣伊11 A1qB1、 B1pA=, B=Ap1ApqBp1BpqJI而a是

27、一個(gè)數(shù)，那么A11+B11 A1q+B1qA+B=Ap1+Bp1Apq+Bpq1Aa11 Aa1q”Aa=L aAp1aApq J這就是說，兩個(gè)同類的矩陣A, B,如果按同一種分法進(jìn)行分塊，那么矩陣的分塊乘法。為了說明這個(gè)方法，先看一個(gè)例子。設(shè)a11a12a131、a21a22a23JA與B相加時(shí)，只需要最常用到的是A=a31a32a33=A21A221A12A5.3矩陣的分塊教學(xué)目的：1、掌握矩陣運(yùn)算的分塊技巧。教學(xué)內(nèi)容：設(shè)A是一個(gè)矩陣。我們?cè)谒男谢蛄兄g加上一些線，把這個(gè)矩陣分成若干小塊。例如，設(shè)A是一個(gè)4*3矩陣alia12a13、a21a22a23A=a31a32a33I Ja41a

28、42a44我們可以如下地把它分成四塊：a11a12a13a21a22a23A=a31a32a33a41a42a44用這種方法被分成若干小塊的矩陣叫做一個(gè)分塊矩陣。上面的分塊矩陣 A是由以下四個(gè)矩陣組成的：a11,a12a13A11=a21A12=a22a23a31,a23a33A21=a41A22=a42a43a41a42a43 b11b12B11 B=b21b22=B21b31b32分塊乘法就是在計(jì)算 AB時(shí)，把各個(gè)小塊看成矩陣的元素，然后按照通常矩陣乘法把它們相乘。用式子寫出，就是 _、一 一一、.A11A12B11A,B11+A12B2lCl11 'AB=A21A22B21=A2

29、jB1l+A22B21=C2J 1 ,一般地說，設(shè) A= （aij ）是一個(gè) m*n矩陣，B= （bij ）是一個(gè)n*p矩陣。把A和B如下地分塊，使 A的列的 分法和B的行的分法一致：n1n2 ns11A12 A1sm1、A21A22 A2sm2XI I I IA=Ar1Ar2 ArsmrP1P2- Ptj/B11B12B1sn1、B21B22 B2sn2XI I I IA=Br1Br2 Bsins這里矩陣右面的數(shù) m1, m2,，（和n1 , n2,ns別表示它們左邊的小塊矩陣的行數(shù)，而矩陣上面 的數(shù)n1, n2,，ns和p1, p2,，pt分別表示它們下邊的小塊矩陣的列數(shù)，因而：m1+m2+ +mr=m,II ） n1+n2+ns=n ,p1+p2+pt=p.那么就有P1P2 PtC11C12- C1tm1C21C22C2tm2AB=Cr1Cr2 Crtmr這里L(fēng)JCij=AijB1j+ .+Ai8B8j,I=1,，r; j=1 ,，t?，F(xiàn)在來證明，（2）式成立。由于對(duì)A和B的分法，乘積 AiqBqj （q=1,