平面向量與解析幾何綜合應(yīng)用問(wèn)題匯總

1、平面向量與解析幾何綜合應(yīng)用問(wèn)題匯總由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的橋梁和 紐帶。而解析幾何也具有數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的特征，所以在向量與解析幾何知識(shí)的交匯處設(shè)計(jì)試題，已逐漸 成為高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn)。近幾年全國(guó)各地的高考試題中，向量與解析結(jié)合的綜合問(wèn)題時(shí)有出現(xiàn)。但 從最近教學(xué)情況來(lái)看，學(xué)生對(duì)這一類問(wèn)題的掌握不到位，在試卷上經(jīng)常出現(xiàn)進(jìn)退兩難的境地，因此，就這 一問(wèn)題做一歸納總結(jié)和反思。平面向量與解析幾何的結(jié)合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問(wèn)題的處理，解決此類問(wèn)題基 本思路是將幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算；或者考慮向

2、量運(yùn)算的幾何意義， 利用其幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題。主要包括以下三種題型：1、運(yùn)用向量共線的充要條件處理解幾中有關(guān)平行、共線等問(wèn)題運(yùn)用向量共線的充要條件來(lái)處理解幾中有關(guān)平行、共線等問(wèn)題思路清晰，易于操作，比用斜率或定比分點(diǎn)公式1. 4卷/ )已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在X軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F的直線交橢圓于 A、B兩點(diǎn),研究這類問(wèn)題要簡(jiǎn)捷的多。OA+OB 與 a =(3,1)共線。(i)求橢圓的離心率；.(n)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 OM =?,OA+NOB (兒NwR),證明九2十N2為定值。22解：設(shè)橢圓方程為二、=1(a b 0), F(c,0) a b22化簡(jiǎn)得則直線AB

3、的方程為y=xc,代入與+冬 a b,2, 2、 222 22, 2(a b )x -2a cx a c - a b =0.令 A (Xi,y1)，B(X2,y2),則 xi+x2 =2a2c22" , xx2 =a 士 T2 22, 2a c -a b22a b由 OA + OB =(x1 +x2,y1 十y2),a = (3,1),OA+OB與a共線，得3(y +y?) +(x +x2) =0,又 Vi =x1 一c,y2 =x2 c ,3(x1x2 -2c) (x1 x2) = 0,即冷曦所以a"2.3x1x2 = 一 c.22, 2.' 6 a, c =&l

4、t;a -b =，3故離心率e = a(II)證明：(1)知a2 =3b2,所以橢圓221 + 4 =1 可化為 x2 + 3y2 = 3b2. 22a b設(shè)OM =(x, y),由已知得(x, y)=£(為、)+7儀2,丫2), x = Ax1 + Nx2,222二 、, v M(x, v)在橢圓上，二(九x +收2)2+3(九y1+%2)2 =3b2.y = Ax1 + *.即九(x1 +3y1 ) + N (x2 +3y2) +21M(x1x2 +3y1y2) =3b .由(1)知 x1 x2 = 3c, a2 = 3c2,b2 22x1x22 22, 2a c -a b3 2

5、=.c8x1x23yly2 =x1x2 3(x1 -c)(x2 -c)2= 4x1x2 -3(x1 x2)c 3c3 2二一 c2=0.又 x2+3y2 =3b2,x2-9c2 3c22+ 3y； = 3b2,代入得 九2 +R2 =1.故片+N2為定值，定值為1.例2 (天津卷)橢圓的中心是原點(diǎn) O,它的短軸長(zhǎng)為2V2 ,相應(yīng)于焦點(diǎn)F (c, 0) (c>0)的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A, OF| =2FA.過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。(I )求橢圓的方程及離心率；(11)若加OQ = 0,求直線PQ的方程；(田)設(shè)第=九麗(九1),過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn) M

6、,證明： 麗=九FQ.22簡(jiǎn)解(I)橢圓方程為 ' +匕=1,離心率e = J. (H)略. 623(田)證明設(shè) P(xi,yi) ,Q (X2,y2),又 A (3, 0), AP = (x1 3,y1), AQ = (x2 -3, y2)由已知得方程組：2222Xiyi 小 X2y2 dXi 3 =九(x2 3), y1 = /42 ， + = 1； + = 1.6262注意人1,消去xi、yi和y2得5' -1 一x2 =. HF (2,0) , M (xi,-yi),2,1-1故 FM =(xi -2,-yi) = (,(x2 -3) 1, _ yi) = (，- yi

7、) = - 1(，y2).221 、而 FQ =(x2 -2,y2) =(,y2).2所以 FM = - FQ.2 .運(yùn)用向量的數(shù)量積處理解幾中有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等問(wèn)題；運(yùn)用向量的數(shù)量積，可以把有關(guān)的長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何關(guān)系迅速轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而“計(jì)算”出所要求的結(jié)果。例3.(重慶卷)設(shè)p>0是一常數(shù)，過(guò)點(diǎn)Q(2p,0)的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B,以線 段AB為直徑作圓H (H為圓心)，試證明拋物線頂點(diǎn)在圓 H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線 AB的方程。1(YaYb)2 4P (2p)2分析要證點(diǎn)。在圓H上，只要證OALOB,可轉(zhuǎn)化OA OB =0,用向量運(yùn)算

8、的方法證明.(見(jiàn)圖1)解答由題意，直線AB不能是水平線，故可設(shè)直線方k ky=x 2p Ly2 = 2px消去 x,得 y2 2pky4P2 = 0又設(shè)A (xA,yA),B(xB,yB),則其坐標(biāo)滿足y Ya + yB = 2 pk由此得2L yA yB =-4pxa + xb = 4p + k (ya+yb) =(4 + 2k2)p ,xaxb =因止匕 OA OB =xaxb + yAyB = 0,即 OA X OB 故O必在圓H的圓周上。又由題意圓心H (xh , yh)是AB的中點(diǎn)，故_ X A X B2_ yAyB22=(2 k )p二 kp由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且OH =

9、 q'x； + yH = px-'k4 +5k2 +4從而當(dāng)k = 0時(shí)，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小。此時(shí)，直線AB的方程為：x = 2p.3、運(yùn)用平面向量綜合知識(shí)，探求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，還可再進(jìn)一步探求曲線的性質(zhì)。B(-1,3),若點(diǎn)C滿足例4.(全國(guó)新課程卷)平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3, 1)p CR且o（ + p=1,則點(diǎn)C的軌跡方程為（）Oc = ： OA -OB,其中二分析本題主要考查向量的運(yùn)算（幾何形式或坐標(biāo)形式）及直線的方程，把向量聯(lián)系起來(lái)，使問(wèn)題立 意更新，情景更好，內(nèi)容更豐富。解法 1設(shè) C(x, y),則 (x, y)=(3 a ,

10、a)+(-P, 3P)=(3a -P, u+3P),，x=4 a 1,y= 2 a + 3.消去參數(shù)a,得點(diǎn)C的軌跡方程為x + 2y5=0.解法2利用向量的幾何運(yùn)算，考慮定比分點(diǎn)公式的向量形式，結(jié)合條件知：A, B, C三點(diǎn)共線，故點(diǎn)C的軌跡方程即為直線 AB的方程x+2y-5=0,故本題應(yīng)選D.從上述幾例可以看出，只要對(duì)于解析幾何中圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行認(rèn)真分析，充分挖掘問(wèn)題 的向量背景，注意運(yùn)用曲線參數(shù)方程的點(diǎn)化作用，就完全有可能獲得一個(gè)漂亮的向量解法。隨著新教材的逐步推廣、使用，今后高考對(duì)新增內(nèi)容的考查會(huì)逐漸加大，綜合性會(huì)更強(qiáng)。作為新課程 新增內(nèi)容之一的向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，成

11、為了作為聯(lián)系眾多知識(shí)的橋梁。因此，向量與三角、解析幾 何、立體幾何的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢(shì) ，所以必須非常重視對(duì)向量的復(fù)習(xí)與演練，直至達(dá)到深刻理 解、運(yùn)用熟練的境地。對(duì)“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”的教學(xué)反思數(shù)學(xué)組施冬芳新教材引進(jìn)導(dǎo)數(shù)之后，無(wú)疑為中學(xué)數(shù)學(xué)注入了新的活力，它在函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等方面有著 廣泛的應(yīng)用，還可以證明不等式，求曲線的切線方程等等。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一直是高考試題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一 本文對(duì)幾類常見(jiàn)問(wèn)題進(jìn)行剖析和探究。問(wèn)題：若 2x 1 2x -100為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f '(X0)= 0嗎？答：不一定，缺少一個(gè)條件(可導(dǎo)函數(shù))。反例：函數(shù)y = x在x=。處有極小值，而

12、f(x0)不存在。正確的命題是：若x0為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則 f'(x0)= 0問(wèn)題：若f (x0)= 0,則函數(shù)f(x)在x0處一定有極值嗎？答：不一定。3反例：函數(shù)y=x有f (0)= 0,而f(x)在x=0處沒(méi)有極值。正確的命題是：若f (x0) = 0,且函數(shù)f(x)在x0處兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反，則函數(shù)f(x)在x0處有極值.問(wèn)題：在區(qū)間(a，b)上的可導(dǎo)函數(shù)f(x) , f'(x)>0是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充要條件嗎？3 ，、- 一、答：不一定。反例：函數(shù)y=X在(3，+叼上為增函數(shù)，而f (0)= 0。正確的命題是：(函數(shù)單調(diào)性的充分條件)

13、在區(qū)間(a，b)上，f'(x)>0是f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分而不必要條件.(函數(shù)單調(diào)性的必要條件)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)，且單調(diào)遞增，則在該區(qū)間內(nèi)f'(x)之0。另外，中學(xué)課本上函數(shù)單調(diào)性的概念與高等數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)分析)上函數(shù)單調(diào)性的概念不一致。數(shù)學(xué)分析上函 數(shù)單調(diào)性的概念有嚴(yán)格單調(diào)與不嚴(yán)格單調(diào)之分。問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)區(qū)問(wèn)(a，b)應(yīng)寫成開區(qū)間還是寫成閉區(qū)問(wèn)？答：若端點(diǎn)屬于定義域，則寫成開區(qū)間或閉區(qū)間都可以。若端點(diǎn)不屬于定義域，則只能寫成開區(qū)問(wèn)。問(wèn)題：“曲線在點(diǎn)P處的切線”與“曲線過(guò)點(diǎn)P的切線”有區(qū)別嗎？1 38f (x) = x-例1已知曲線 3 上一點(diǎn)P (2, 3)

14、.求點(diǎn)P處的切線方程。大多數(shù)學(xué)生能迅速找到解題思路，并得到正確結(jié)果：12x -3y-化=0.一、138f (x) = x變式 已知曲線3 上一點(diǎn)P (2, 3)。求過(guò)點(diǎn)P的切線方程。解設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，f(x0),則切線"勺方程為y 一 f(xo)= f(xo)(x - Xj 又點(diǎn)p在切線81 3 _ 2所以 3 3X0 X0X0整理，得( -2f(x。+1)=0所以 x0=T，x0=2 于是切線的方程為 12x-3y-16=0, 3x-3y+2=0.小結(jié)：”曲線在點(diǎn)P處的切線”只有一條，且P為切點(diǎn)；“曲線過(guò)點(diǎn)P處的切線”有兩條，P不一定是切點(diǎn)。 在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，用好課本，尤其是課

15、本例題更為重要，能總結(jié)出一些有規(guī)律性的東西，可使學(xué)生在復(fù) 習(xí)時(shí)既有熟悉感又有新奇感，從而提高認(rèn)識(shí)的深度。問(wèn)題6:忽視函數(shù)的定義域，容易致錯(cuò)，也給解題帶來(lái)很大困難。2例2求函數(shù)f(x)=2x 7nx的單調(diào)遞增區(qū)問(wèn)。 2x 1 2x -1f x 二錯(cuò)解：xiix ,0 ilj , I ,01,所以 I 2 J I2）所以單調(diào)遞增區(qū)間是I 2分口 I2人2x 1正解：因定義域?yàn)閤>0 , 所以 x 是正數(shù)于是 f x 0 = 2x-1 01 ,： j 所以單調(diào)遞增區(qū)間是'2 人評(píng)注：這種類型的題目在高三總復(fù)習(xí)中常常見(jiàn)到，也是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤之一。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)的核心，是高考必考內(nèi)

16、容，強(qiáng)調(diào)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)， 不忘求定義域，還要先求定義域，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，事半功倍的效果。問(wèn)題：用導(dǎo)數(shù)解含參數(shù)的函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性問(wèn)題32例3若函數(shù)f（x）=x -ax +1在。2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為232錯(cuò)解：f（x） = 3x-2ax因?yàn)閒（x）=x-ax+1在（0，2 ）內(nèi)單調(diào)遞減，所以f（x）<0在。2）上恒成3 a x 立，即 2 包成立。因此a >3 0一一 2_32_一 一_正解：f（x）=3x -2ax因?yàn)閒（x）=x -ax +1在（0，2 ）內(nèi)單調(diào)遞減，所以f（x）EO在92）上包成立，3 a - x 即 2 包成立。因此a至3評(píng)注：這種類型的題目是高考試題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤之一。出錯(cuò)的原因在于沒(méi)有搞清楚 函數(shù)單調(diào)性的充分條件與必要條件之間的關(guān)系；沒(méi)有正確理解函數(shù)單調(diào)性的充分條件”的含義。經(jīng)探討得到以下結(jié)論： 一般地，設(shè)函數(shù)y= f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則久心0,且方程f'（x）=0 的解是離散的 是