陳家璧 光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用習(xí)題解答章

1、第七章 習(xí)題解答1. 某種光盤的記錄范圍為內(nèi)徑80mm,外徑180mm的環(huán)形區(qū)域,記錄軌道的間距為2um.假設(shè)各軌道記錄位的線密度均相同,記錄微斑的尺寸為0.6um,試估算其單面記錄容量. (注: 內(nèi)、外徑均指直徑)解： 記錄軌道數(shù)為 單面記錄容量按位計(jì)算為 bits = 17 Gb. 按字節(jié)數(shù)計(jì)算的存儲容量為 2.1GB.2. 證明布拉格條件式（7-1）等效于（7-17）式中位相失配d = 0的情形， 因而（7-18）式描述了體光柵讀出不滿足布拉格條件時(shí)的位相失配。證明:將體光柵讀出滿足布拉格條件時(shí)的照明光波長(介質(zhì)內(nèi)) 和入射角 (照明光束與峰值條紋面間夾角)分別記為l0和0, 則根據(jù)布拉

2、格條件式（7-1）有: 2Lsin0= l 0 其中L為峰值條紋面間距.對于任意波長la (空氣中) 和入射角r (介質(zhì)內(nèi)), 由(7-17)式, 位相失配 d 定義為: 其中n0為介質(zhì)的平均折射率, K= 2p/L為光柵矢量K的大小，f為光柵矢量傾斜角，其值為 ，qr 為再現(xiàn)光束與系統(tǒng)光軸夾角 (參見圖7-9)當(dāng) d = 0 時(shí),有 即: l為介質(zhì)中的波長. 由于角度恰為照明光與峰值條紋面的夾角, 以上結(jié)果亦即布拉格條件2L sin = l.當(dāng)讀出光偏離布拉格角o和布拉格波長lo的偏移量分別為D和Dl時(shí)，有 利用布拉格條件式(7-17), 以及D和Dl很小時(shí)的近似關(guān)系 cosD1 和 sin

3、DD, 立即可得: d =DqKsin(f-q0) - DlK2/4pn0 即(7-18)式原題得證。3. 用波長為532nm的激光在KNSBN晶體中記錄非傾斜透射光柵,參考光與物光的夾角為30o(空氣中).欲用波長為633nm的探針光實(shí)時(shí)監(jiān)測光柵記錄過程中衍射效率的變化,計(jì)算探針光的入射角.(假設(shè)在此二波長晶體折射率均為2.27) 解： 532nm為空氣中激光波長記作la1, 在晶體外的入射角為a1，其在晶體中波長為l1, 入射角為1；633nm為空氣中激光波長記作la2, 在晶體外的入射角為a2，其在晶體中波長為l2，入射角為a2。本題中涉及非傾斜光柵, 光束入射角即為與光柵峰值條紋面的夾

4、角, 按題意, 則波長532nm和633nm激光應(yīng)分別滿足布拉格條件： 晶體中： 2Lsin1=l1 2Lsin2=l2 (1)由折射定律，換算成空氣中角度和波長為： 空氣中： 2Lsina1=la1 2Lsina2=la2 (2)由（2）式得： a2 = arcsin (la2 ´ sin15°/la1 )= arcsin (633 ´ sin15° /532 ) = 17.936 °故探針光的入射角應(yīng)為17.936°。4. 為了與實(shí)驗(yàn)測量的選擇角相比較,需要有體光柵在空氣中的選擇角的表達(dá)式. 試對小調(diào)制度近似(n<<1

5、),導(dǎo)出一個計(jì)算非傾斜透射光柵空氣中的選擇角的表達(dá)式 (所有角度均應(yīng)為空氣中可測量的值).解：注意我們將對應(yīng)著h-x 曲線的主瓣全寬度定義為選擇角, 體光柵晶體中選擇角表達(dá)式為： (1)n <<1時(shí)，對非傾斜透射光柵，有： (2)設(shè)空氣中參考光入射角為qro, 選擇角為DQo. 由折射定律有 sin(DQo+qro) = nsin(DQ+qr)(3)展開為 ： sinDQocosqro + cosDQosinqro= n (sinDQcosqr + cosDQsinqr) (4)因?yàn)镈Qo和DQ很小，有如下近似：cosDQocosDQ/21, sinDQoDQo, sinDQDQ.

6、 因此(4)式可化簡為： DQocosqro+ sinqro= n(DQcosqr+ sinqr)由折射定律，有sinqro = nsinqr，可得： DQo = nDQcosqr/ cosqro = nla cosqr / (nd ú sinqrú cosqro) = 2la(n2-sin2 qro)1/2 / (d sin2qro)此式可作為空氣中選擇角的表達(dá)式。當(dāng)sin2 qro<< n2時(shí),還可進(jìn)一步簡化為:以最常用的鈮酸鋰晶體為例, n=2.2-2.3, 當(dāng)qro < 45°時(shí), 用估算空氣中的選擇角, 誤差只有5%左右. 5. 鈮酸鋰

7、晶體折射率 n =2.28, 厚度d = 3mm, 全息時(shí)間常數(shù)之比E/W = 4, 飽和折射率調(diào)制度Dnmax=5´10-5, 用l = 532nm的激光在晶體中記錄純角度復(fù)用的全息圖, 物光角度取為s=30°, 參考光角度范圍r = 20°-40°. 若要求等衍射效率記錄且目標(biāo)衍射效率設(shè)定為10-5, 試分析影響存儲容量的主要因素.為了提高存儲容量, 應(yīng)當(dāng)在哪些方面予以改進(jìn)?解：本題僅涉及純角度復(fù)用技術(shù), 且無頁面容量的數(shù)據(jù), 故主要討論每個空間區(qū)域內(nèi)復(fù)用存儲的數(shù)據(jù)頁面數(shù)即角度復(fù)用度. 影響存儲容量的主要因素有：（1） 有限的角度選擇性及實(shí)際選擇角增

8、寬（2） 光學(xué)系統(tǒng)對存儲容量的限制（3） 噪聲對存儲容量的限制本題可近似為準(zhǔn)對稱的透射式光路，以平均的參考光角度r=s=30° 并利用第4題的結(jié)果, 可估算出平均選擇角為:0.0535°由光學(xué)系統(tǒng)決定的參考光入射角范圍Q=20°, 故允許的角度復(fù)用度為： Ma » Q/ DQ =20/0.0535 = 374 由于系統(tǒng)存在噪聲, 要求有一定的目標(biāo)衍射效率, 而記錄材料具有有限的動態(tài)范圍, 因而根據(jù)(7-77)式,角度復(fù)用度限制為： Ma = = 4´3.14´5´10-5´3 / (532´10-6

9、80;cos30°´10-5/2) =1293由以上結(jié)果可見，本題中存儲容量主要受到有限的角度選擇性和光學(xué)系統(tǒng)有限的孔徑角的限制。要提高存儲容量，需首先增大晶體厚度, 適當(dāng)增大寫入光的夾角和光學(xué)系統(tǒng)的孔徑角, 采用較短的激光波長. 6. 用作組頁器的空間光調(diào)制器為(24´36)mm2的矩形液晶器件, 含有480´640個正方形像元. 用焦距為15mm的傅里葉變換透鏡和633nm激光記錄傅里葉變換全息圖, 問允許的參考光斑最小尺寸為多少?解：空間光調(diào)制器的復(fù)振幅透過率可描述為二維rect函數(shù)陣列. 當(dāng)記錄傅立葉變換全息圖光路中包括空間光調(diào)制器時(shí)，4f系統(tǒng)中

10、頻譜面上的頻譜是與像元間距有關(guān)的sinc函數(shù)。記錄物體基本信息的必要條件是參考光光斑至少包含物體的零頻和正負(fù)基頻頻譜。正方形像元間距為下式所求，二者取其小： 24/480 = 0.05mm 36/640 = 0.056mm由于黑白相鄰的兩個像元構(gòu)成物面上最小可分辨的周期, 故方波條紋的最高頻率為fmax = 1/(2´0.05) = 10 mm-1.在焦距為f的傅里葉變換透鏡的頻譜面上, 物體+1級頻譜分量的間距為： DH = 2lf fmax = 2´633´10-6´15´10= 0.19 mm所以，允許的參考光斑最小尺寸是直徑為0.19

11、mm的圓斑。7. 用一種高級語言編寫計(jì)算機(jī)程序, 計(jì)算在光折變晶體中角度復(fù)用存儲100幅全息圖的曝光時(shí)間序列. 計(jì)算用到的參數(shù)為: 飽和衍射效率0.5, 目標(biāo)衍射效率10-5, 寫入時(shí)間常數(shù)60s, 擦除時(shí)間常數(shù)700s. 透射式準(zhǔn)對稱光路.解: 對于透射式準(zhǔn)對稱光路，由(7-24)和(7-26)式, 光柵衍射效率表達(dá)式為： h = sin2n = 相應(yīng)的折射率調(diào)制度為 Dn = , 則飽和折射率調(diào)制度Dnsat與飽和衍射效率hsat的關(guān)系為: Dnsat =而相應(yīng)于目標(biāo)衍射效率h0 的折射率調(diào)制度Dn0為: Dn0 = 由 D n0 = Dnsat(1-) 可得出 tw = (1)tw即為不

12、會經(jīng)受擦除效應(yīng)的最后一個全息圖(N=M)的曝光時(shí)間. 由(7-72)式, 對于足夠大的N, 曝光時(shí)序的近似遞推公式為: tN = (2)或由(7-70)式, 更精確的遞推公式為:tN = W (3)按(3)式建立起計(jì)算模型, 從(1)式出發(fā), 可從后往前逆推出每個全息圖的曝光時(shí)間. 應(yīng)當(dāng)指出的是: a) 當(dāng)計(jì)算出的tN+1足夠大, (3)式右邊的對數(shù)函數(shù)可能會不收斂,導(dǎo)致不能得出有意義的tN. 此時(shí)有意義的曝光時(shí)間個數(shù)(M-N)即為在題設(shè)條件下可以達(dá)到的角度復(fù)用度.b) 若不指定全息圖的個數(shù), 按本題所給條件可以計(jì)算出角度復(fù)用度遠(yuǎn)大于100. 亦即本題中的100個全息圖是大量全息圖序列中的最后

13、100個, 因此可以使用近似遞推公式(2)進(jìn)行計(jì)算. 也就是說, 當(dāng)目標(biāo)衍射效率足夠小時(shí), 用(2)式計(jì)算也是相當(dāng)精確的.習(xí) 題81利用4f系統(tǒng)做阿貝波特實(shí)驗(yàn)，設(shè)物函數(shù)t（x1，y1）為一無限大正交光柵 其中a1、a2分別為x、y方向上縫的寬度，b1、b2則是相應(yīng)的縫間隔。頻譜面上得到如圖8-53（a）所示的頻譜。分別用圖8-53（b）（c）（d）所示的三種濾波器進(jìn)行濾波，求輸出面上的光強(qiáng)分布（圖中陰影區(qū)表示不透明屏）。. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （a） （b） （c） （d）圖8.53（題8.1 圖）解答：根據(jù)傅里葉變換原理和性質(zhì)，頻譜函數(shù)為 T ( fx , fy ) = t ( x1 , y1 ) = · * · 將函數(shù)展開得T ( fx , f

15、y ) = * （1） 用濾波器（b）時(shí)，其透過率函數(shù)可寫為 1 fx = + 1/ b1 fy = 0 F ( fx , fy ) = 0 fx ¹ 1/ b1 fy = 任何值 濾波后的光振幅函數(shù)為 T·F = 輸出平面光振幅函數(shù)為 t（x3，y3）= -1 T·F = = 輸出強(qiáng)度分布為 I（x3，y3）= = - C其中C是一個常數(shù)，輸出平面上得到的是頻率增加一倍的余弦光柵。（2）用濾波器（c）時(shí)，其透過率函數(shù)可寫為 1 fx ，fy ¹ 0 F ( fx , fy ) = 0 fx = fy = 0 濾波后的光振幅函數(shù)為 T·F =

16、* 輸出平面光振幅函數(shù)為 t（x3，y3）= -1 T·F = * - × * - 輸出強(qiáng)度分布為 I（x3，y3）= | t（x3，y3）|2有兩種可能的結(jié)果，見課本中圖89和圖810。（3）用濾波器（d）時(shí)，輸出平面將得到余弦光柵結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度分布，方向與濾波狹縫方向垂直，周期為b，它與物光柵周期b1、b2的關(guān)系為 82 采用圖8-53（b）所示濾波器對光柵頻譜進(jìn)行濾波，可以改變光柵的空間頻率，若光柵線密度為100線/mm，濾波器僅允許 + 2級頻譜透過，求輸出面上干板記錄到的光柵的線密度。解答：根據(jù)對81題的分析，當(dāng)濾波器僅允許+ 2級頻譜通過時(shí)，輸出平面上的光振幅應(yīng)表達(dá)

17、為 t（x3）= -1 = 其振幅分布為一周期函數(shù)，空間頻率是基頻的2倍。而干板記錄到的是強(qiáng)度分布： I = = - C其中C是一個常數(shù)。答：干板上記錄到的光柵頻率是基頻的4倍，即400線/mm。83 在4f系統(tǒng)中，輸入物是一個無限大的矩形光柵，設(shè)光柵常數(shù)d = 4，線寬a =1，最大透過率為1，如不考慮透鏡有限尺寸的影響， （a）寫出傅里葉平面P2上的頻譜分布表達(dá)式；（b）寫出輸出平面復(fù)振幅和光強(qiáng)分布表達(dá)式；（c）在頻譜面上作高通濾波，擋住零頻分量，寫出輸出平面復(fù)振幅和光強(qiáng)分布表達(dá) 式；（d）若將一個位相濾波器 exp（j） x2，y2 x0，y0 H（x2，y2）= 0 其它放在P2平面的

18、原點(diǎn)上，寫出輸出平面復(fù)振幅和光強(qiáng)分布表達(dá)式，并用圖形表示。解答：將81題結(jié)果代入，其中b1 = d = 4，a1 = a = 1，除去與y分量有關(guān)的項(xiàng)，可得（a）P2平面上的頻譜分布為：（b）輸出平面： 復(fù)振幅 t（x3）= -1 T（fx）若不考慮透鏡尺寸的影響，它應(yīng)該是原物的幾何像，即 t (x3) = *光強(qiáng)分布 I (x3) = | t (x3)| 2 = *(c)擋住零頻分量，輸出平面情況與81題（3）相同，即 t (x3) = *- I = | t (x3) | 2 由于a = d / 4，所以強(qiáng)度將出現(xiàn)對比度反轉(zhuǎn)，像光柵常數(shù)仍為d = 4，線寬為a= 3，見下圖 t（x3） I（

19、x3） 0 x3 ··· ··· ··· ··· 0 x3（d）將一個p位相濾波器置于零頻上。濾波器可表達(dá)為 exp（j p） f x = f y = 0 H（f x，f y）= 1 f x，f y ¹ 0只考慮一維情況，頻譜變?yōu)?T（f x）= T（f x）·H（f x）= = 輸出平面上的復(fù)振幅為 t (x3) = -1T（f x）·H（f x） = -* - 84 圖8-54所示的濾波器函數(shù)可表示為： 1 fx0 H（ff ，fy）= 0

20、fx0 -1 fx0此濾波器稱為希爾伯特濾波器。 證明希爾伯特濾波能夠?qū)⑷跷幌辔矬w的位相變化轉(zhuǎn)變?yōu)楣鈴?qiáng)的變化。 y L1 fy L2 x fx x' y' 圖8.54（題8.4 圖）解答：位相物可表達(dá)為t0（x1，y1）= A·exp j f（x1，y1） 對于弱位相物有f < 1弧度，上式近似為（忽略A）t0（x1，y1） 1+ j f（x1，y1）濾波平面得到T（fx，fy）= t0（x1，y1）=d（fx，fy）+ jF（fx，fy）其中 F（fx，fy）= f（x1，y1）。 經(jīng)希爾伯特濾波器，頻譜面后的光 分布為T（fx，fy）= T（fx，fy）&#

21、183;H（ff ，fy） jF（fx，fy） fx > 0 = 0 fx = 0 - jF（fx，fy） fx < 0 像平面光場復(fù)振幅為 （以下無把握） t（x3，y3）= -1T（fx，fy） jf（-x3，-y3） x3 > 0 = 0 x3= 0 - jf（-x3，-y3） x3< 0 光強(qiáng)分布為 I = t· t -f 2（-x3，-y3） x3 > 0 = 0 x3= 0 f 2（-x3，-y3） x3< 0（此結(jié)論和于美文書上的答案不一樣，建議取消此題）85 如圖8-55所示，在激光束經(jīng)透鏡會聚的焦點(diǎn)上，放置針孔濾波器，可以提供一個

22、比較均勻的照明光場，試說明其原理。 針孔 L 激光器圖8.55（題8.5 圖）86 光柵的復(fù)振幅透過率為 t（x）= cos 2f0 x 把它放在4f 系統(tǒng)輸入平面P1上，在頻譜面P2上的某個一級譜位置放一塊/ 2位相板，求像面的強(qiáng)度分布。解答：將復(fù)振幅透過率函數(shù)變換為 t（x）= cos 2f0 x = 1+cos 2f0 x / 2 其頻譜為 T（fx）= t（x） d（fx）+ cos 2f0 x = d（fx）+ d（fx- f0）+ d（fx+ f0） 其中第一項(xiàng)為零級譜，后兩項(xiàng)以次為+1級和-1級譜。設(shè)將/ 2位相板放在+1級譜上，其透過率表達(dá)為 H（fx）= exp（j） 則頻譜

23、面P2后的光振幅變?yōu)?T= T·H = d（fx）+ d（fx- f0）·exp（j）+ d（fx+ f0） = d（fx）- d（fx- f0）+ d（fx+ f0）像平面光場復(fù)振幅為 t（x）= -1 T = - exp（j2f0x3）+ exp（-j2f0x3） = - j sin（2f0x3） 像平面強(qiáng)度分布為I = ç t（x）ç2 = t（x）· t（x） =1- j sin（2f0x3）1+ j sin（2f0x3） =+ sin2（2f0x3） 像平面得到的仍是一周期函數(shù)，其周期縮小1倍，振幅減小4倍，本底也有所變化，并且出現(xiàn)圖

24、形的橫向位移，位移量為1/2周期。87 在用一維正弦光柵實(shí)現(xiàn)兩個圖象相加或相減的相干處理系統(tǒng)中，設(shè)圖象A、B置于輸入平面P1原點(diǎn)兩側(cè)，其振幅透過率分別為：tA（x1- l，y1）和 tB（x1+ l，y1）；P2平面上光柵的空間頻率為f0，它與l的關(guān)系為：f0 = l /f，其中和f 分別表示入射光的波長和透鏡的焦距；又設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)處于光柵周期的1/4處，光柵的振幅透過率表示為： 試從數(shù)學(xué)上證明： 1）在輸出平面的原點(diǎn)位置得到圖象A、B的相減運(yùn)算； 2）當(dāng)光柵原點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，在輸出平面得到它們的相加運(yùn)算。88 如何實(shí)現(xiàn)圖形O1和O2的卷積運(yùn)算？畫出光路圖并寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 解答：第一

25、步，制作O1的傅里葉變換全息圖，光路如下： (x1，y1) L (x2，y2) O1 R -b H f f全息圖H的透過率為tH = | m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_ -j 2fx b +R0m1（fx，fy）exp_ j 2fx b 其中m1= O1，R0為平面參考波的振幅，b為參考點(diǎn)源的橫向位移量。第二步，進(jìn)行卷積運(yùn)算。在4f系統(tǒng)中，將O2置于輸入平面（x1，y1），全息圖置于頻譜平面（x2，y2），如圖 x1,y1 x2,y2 L1 H L2 O1H O2 O2(x1,y1) O2幾何像 O1 O2 f1 f1 ' f2 f2 ' x3,y3

26、 頻譜面后的光場為 UH'= O2·tH= m2·| m1 |2 + R02 + R0m1（fx，fy）exp_ -j 2fx b +R0m1（fx，fy）exp_ j 2fx b輸出平面光場為 O2 -1 tH = R02O2 + O1 HO1 O2 + R0O1(x3-b，y3)O2 + R0O1(-x3-b，-y3)O2式中第三項(xiàng)即為O1 和O2的卷積運(yùn)算，位置在x3 = b處。89 在4f系統(tǒng)中用復(fù)合光柵濾波器實(shí)現(xiàn)圖象的一維微分 g / x ，若輸入圖象g在x方向的寬度為l，光柵頻率應(yīng)如何選??？解答：設(shè)復(fù)合光柵的空間頻率為f0和f0+d，則濾波的結(jié)果使像平面上得到兩套物的三重像，兩個正一級像的位相差等于，它們離零級像的角間距q1、q2分別由下式確定 sin q1 = f0l，