三棱錐的外接球問題教學設計與反思

1、三棱錐的外接球問題教學設計與反思福鼎市第六中學李靖一、課程整合點立體幾何需要有較強的空間想象能力、邏輯推理能力以及作圖能力。教學中，若依靠傳統的黑板或 PPT講解空間立體幾何問題，學生往往由于這些能力的不足造成解題困難，而白板，FLASH教學軟件則可以達到圖形的自由分解、拖拽、旋轉等效果，還可以在課堂上利用作圖工具直接作出標準圖，為研究立體幾何提供了新的思想方法和工具，具有相當大 的優(yōu)越性。在激發(fā)學生學習興趣吸引學生注意力方面能達到較好的效果。由于全國卷對立體幾何中球的考察，多以球內切或外接于幾何體的形式出現，而三棱 錐外接球的問題是一種常見題型，某些具有垂直關系的三棱錐又可以化歸成正方體或長

2、方 體，進而使求三棱錐外接球的體積問題就轉化為正方體或長方體外接球的相關問題。二、教材分析：(一)教材的地位、作用：本節(jié)課是在高三學生復習完高中數學必修2第一章球的表面積和體積公式的基礎上開的一節(jié)專題。由于高考對立體幾何中球的考察，多以球內切或外接于幾何體的形式出 現，而三棱錐外接球的問題是一種常見題型，某些具有垂直關系的三棱錐又可以化歸成正 方體或長方體，進而使求三棱錐外接球的體積問題就轉化為正方體或長方體外接球的相關 問題。另外，化歸思想是數學中的一種重要思想，通過本節(jié)的學習，使學生更好地體會化 歸的思想方法，感受數學的精妙之處。從而豐富學生的理論體系，體會分析問題、解決問 題的過程。在歷

3、年高考中的選擇、填空題中時有出現，加重了對這一方面的考查。(二)教學目標：1、知識與技能：(1) 了解以正方體或長方體的頂點為頂點的三棱錐的結構特點。(2)能熟練的把具有一些垂直特點的三棱錐化歸成正方體或長方體。并能夠利用正方 體或長方體外接球的特點求出球的體積。(3)啟發(fā)學生發(fā)現問題和提出問題，進一步培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。2、過程與方法：(1)通過對例題的研究求解，歸納總結，從中體會分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng) 其思維的嚴謹性。(2)培養(yǎng)學生的空間想象能力和化歸思想方法的運用。(3)激發(fā)學生對數學學習的熱情，提高數學素養(yǎng)，鍛煉數學品質，發(fā)展數學思維。3、情感、態(tài)度與價值觀：課堂

4、中進行“師生交流”與“生生交流”，有利于提高學生的表達能力和總結概括的 能力，讓學生獲得成功的體驗，樹立學好數學的信心。(三)教學重點：1 .對可劃歸為正方體或長方體的三棱錐結構的認識。2 .借助正方體或長方體與球的關系解決三棱錐外接球的體積問題。3 .可轉化為直棱柱，或構建直角三角形解決三棱錐外接球的體積問題。教學難點：把三棱錐化歸成正方體或長方體，培養(yǎng)學生轉化問題、分析問題的能 力。三、學法分析：高三年級的學生經過了兩年多的數學訓練，已具備一定的分析問題解決問題的能力。但知識體系還不夠完整，運用所學知識解決問題的能力還有待提高，并且立體幾何一直是 學生學習數學的難點，很多學生缺乏空間想象能

5、力，多個幾何體的組合更是難上加難。針 對這一節(jié)課來說，對于特殊的三棱錐可以通過化歸的方法使問題簡化，難題易解。學生們 通過課堂探討、學習，開闊思路，發(fā)散思維，并學會選擇恰當的方法解題。四、教法分析：本節(jié)課針對高三年級學生的認知特點，在遵循啟發(fā)式教學原則的基礎上，借助白板， FLASHY學軟件，采用以多媒體教學為主，以討論法、練習法為輔的教學方法，引導學生 探索以正方體或長方體的頂點為頂點的三棱錐的結構特點，由淺入深的研究三棱錐與球相 聯系的橋梁。本節(jié)課堅持以學生為主體，教學中讓學生自主地“做數學”，將傳統意義下的“學 習”數學改變?yōu)椤把芯俊睌祵W。從而，使傳授知識與培養(yǎng)能力融為一體，在轉變學習方

6、式的同時學會數學地思考。五、教學過程設計:教學 劃、節(jié)教學程序及設計設計意圖復 習 回 顧引 入 新 課復習回顧：1.球的表面積公式2. 球的體積公式3. 長（方）體體對角線的求法4. 利用正弦定理求三角形外接圓的半徑課程導入引例1:給你一張長為8,寬為6的矩形紙張，沿著一條對角線折登成一個二梭錐，求該三梭錐外接球的表面積？多媒體FLASH動圓展示折疊，與外接與球的過程。讓 學生感受圖形的變化，激發(fā)學習的興趣。引例2:認識幾個特殊的三棱錐，并觀察它與長（正）方體的位置關系讓學生在動態(tài)圖中感受，三棱錐與正方體的位置關系， 并記住幾種特殊的三棱錐。這就是我們今天要研究的內容 -三棱錐外接球的問題。

7、復習回顧學 過的相關公 式和內容由它們之間 的相互關系 引出本節(jié)課 的課題。多媒體的動 回演小，讓學 生直觀的感 受到三棱錐 的結構特點， 為后面的三 棱錐化歸做 好鋪墊思 考 問 題提出問題，引 發(fā)思考通過問題的 回答，順利的 把三棱錐的 外接球問題 化歸成長方 體的外接球 問題。點明這節(jié)課 的重點。小總結：把正四 面體補充成一 個正方體，借助 正方體的外接 球來求該四面 體的外接球，進 而外接球的體 積和表面積可 解.讓學生初嘗 勝利的成果。小總結：把三垂 直模型補充成 正方體或者長 方體，借助正方 體或者長方體 的外接球來求 該四面體的外 接球，進而外接 球的體積和表 面積可解.問題1:

8、長方體或正方體的體對角線和體心與它的外接球有什么關系？問題2:邊長為2的正方體的外接球的表面積為多少？問題3:假如一個正方體的8個頂點都在同一個球的球面上,那任意選出四個頂點，這四個頂點都在該球的球面上嗎 ？問題4:正四面體有什么特征？在正方體中能否切割出一個正四面體？假如能？應該怎么切割？問題5:棱長為1的正四面體的外接球的表面積為多少？ 順勢推導正四面體的外接球的半徑公式，體會數學的由特殊到一般的思想。由學生回答，老師利用FLASH1件結合白板進行展示， 并引導學生觀察三棱錐的結構特點。類型一：正四面體的外接球問題例 1:在等腰梯形 ABCD 中，AB=2CD=2 , / DAB=60 &

9、#176; , E為AB的中點，ADE和4BEC分別沿著ED,EC向上 折起，使A,B重合于點P,則三棱錐P-DCE的外接球的體 積為（部分學生根據圖形特點直接判斷出是正四面體，直接套用公式計算，可以表揚并提倡。）類型二：三垂直的四面體的外接球問題例2:三棱錐P-ABC中，側棱AB,AC,AP兩兩垂直，4ABC ,ACP, 4APB的面積分別為 立 £3但,則該三棱錐的222外接球的表面積為多少？教師演示圖形，介紹三垂直模型的三棱錐結構特點。引導 學生往長方體方向去思考外接球半徑的求法。 并做完整的板 書示范。類型三：雙垂直的四面體的外接球問題例 3：三棱錐 P-ABC中，PAL平面

10、 ABC, AC ± CB,AC=CB=1 , PA= x,3 ,則該三棱錐的外接球的表面積是多少？教師演示課件圖形，講解雙垂直模型三棱錐的特點，啟 發(fā)學生聯想到長方體的結構，引導學生朝補成長方體方 向去思考問題，解決問題。（調板學生完成，并對完成的情況給予點評。）例4:如圖是一個空間幾何體的三視圖，求該幾何體的外接類型四：一條測棱垂直底面，底面為非直角三角形的四面體的外接球問題例5已知點A,B,C,D,四點在同一個球面上，DAL平面引導學生，發(fā) 現用長方體 來解決此類 型的問題。并 體驗到“補 形”的優(yōu)越性由學生動手 作出直觀圖， 并在長方體 中找到符合 條件的三棱 錐，最后由學

11、生板書過程。 體驗做題過 程，體會成功 的喜悅感。通過練習進 一步加深對 可劃歸三棱 錐結構特點 的認識。ABC,DA=AB=AC= <3 , / ABC=60 ° ,貝U 球半徑是小總結：把此類 模型的三棱錐“補形”成直棱 柱來解決問題。小總結：此類問 題通過構建直 角三角形來處 理。體會數學中用 化歸思想解決 問題的思維過 程，并激發(fā)學生 積極思考。由于忽略了底面沒有直角這個條件，學生自然的會想到 化歸到長方體來處理該問題。碰壁后，讓他們交流討論。 師生互動，最后往直棱柱去化歸。（利用正弦定理求三角形外接圓的半徑的方法，在解題過程中得到再次的復習。）類型五：正三棱錐的外接球

12、問題例6:已知正三棱錐底面邊長為1,側棱長為2,求外接球 半徑利用正三棱錐的特點，由頂點到底面射影及底面任 一點，組成直角三角形來解決外接球的問題。（放手讓學生去構建直角三角形，去考慮球心的位置，找到合理的解決途徑。）課堂小結 作業(yè)布置 板書設計總結：?1.止方體外接球半徑公式： R = ®?2.長方體外接球半徑公式：R2 = a2 + b2 + c2?3.三種特殊的三棱錐可通過“補體法”轉化為正方體或長方體的外接球問題(正四間體，三垂直，雙垂直模型)?4.直棱柱外接球半徑求法：R2 = r2十(h)22?5.正棱錐外接球：R2 =r2 +(h - R)2?6.其他：折疊問題；一般的

13、棱錐等等求二梭錐外接球的問題，要注思觀祭二梭錐的特點，有 些三棱錐可化歸成正方體或長方體，從而轉化為正方體或長 方體的外接球的問題，使問題簡化.有些可以補形成直棱柱， 或者構建直角三角形來求解。解題時要注意三棱錐的結構特 點選擇合適的方法來解決問題。練習紙 挑戰(zhàn)外接球提高題(多知道一點)對棱相等的三棱錐的外接球問題已知四間體 A-BCD AB=CD=8,BC=AD=6, AC=BD=10, 求四間體外接球的體積？三棱錐外接球的問題二，講練例題一，復習公式多媒體屏幕歸納總結題型 特點。練習紙練習是 本課知識的鞏 固與強化。提高 題是分層教學 中讓學有余力 的同學提升能 力的訓練。由于白板的作 用，板書量變 少。幾個重要公 式，及解法過程 保留在黑板，供 學生隨時記憶。六、教學反思1 .本節(jié)課借助白板與 FLASH教學軟件，彌補傳統教學在直觀感、立體感和動態(tài)感方面的 不足，可以很容易的化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率。尤其在三棱錐化歸成正方體或長方體，圖形分解等方面表現出很大的優(yōu)勢。2 .本節(jié)課的設計，力求體現“以學生發(fā)展為本”的教學理念。教學過程中，以問題為載 體，學生活動為主線，為學生提供了探究問題、分析問題、解決問題的活動空間。本節(jié)課中 很多題都由學生自己