2matlab求微分方程的解

1、matlab求微分方程的解 一、問題背景與實驗?zāi)康亩?、相關(guān)函數(shù)（命令）及簡介三、實驗內(nèi)容四、自己動手一、問題背景與實驗?zāi)康膶嶋H應(yīng)用問題通過數(shù)學(xué)建模所歸納而得到的方程，絕大多數(shù)都是微分方程，真正能得到代數(shù)方程的機會很少另一方面，能夠求解的微分方程也是十分有限的，特別是高階方程和偏微分方程（組）這就要求我們必須研究微分方程（組）的解法，既要研究微分方程（組）的解析解法（精確解），更要研究微分方程（組）的數(shù)值解法（近似解）對微分方程（組）的解析解法(精確解)，Matlab 有專門的函數(shù)可以用，本實驗將作一定的介紹本實驗將主要研究微分方程(組)的數(shù)值解法（近似解），重點介紹 Euler 折線

2、法 二、相關(guān)函數(shù)（命令）及簡介1dsolve('equ1','equ2',)：Matlab 求微分方程的解析解equ1、equ2、為方程（或條件）寫方程（或條件）時用 Dy 表示y 關(guān)于自變量的一階導(dǎo)數(shù)，用用 D2y 表示 y 關(guān)于自變量的二階導(dǎo)數(shù)，依此類推2simplify(s)：對表達式 s 使用 maple 的化簡規(guī)則進行化簡例如：syms xsimplify(sin(x)2 + cos(x)2)ans=13r,how=simple(s)：由于 Matlab 提供了多種化簡規(guī)則，simple 命令就是對表達式 s 用各種規(guī)則進行化簡，然后用 r 返回最簡形

3、式，how 返回形成這種形式所用的規(guī)則例如：syms xr,how=simple(cos(x)2-sin(x)2)r = cos(2*x)how = combine4T,Y = solver(odefun,tspan,y0) 求微分方程的數(shù)值解說明：(1) 其中的 solver為命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一(2) odefun 是顯式常微分方程：(3) 在積分區(qū)間 tspan=上，從到，用初始條件求解(4) 要獲得問題在其他指定時間點上的解，則令 tspan= （要求是單調(diào)的）(5) 因為沒有一種算法可以有效地解決所

4、有的 ODE 問題，為此，Matlab 提供了多種求解器 Solver，對于不同的ODE 問題，采用不同的Solver 求解器SolverODE類型特點說明ode45非剛性 單步算法；4、5階Runge-Kutta方程；累計截斷誤差達大部分場合的首選算法ode23非剛性單步算法；2、3階Runge-Kutta方程；累計截斷誤差達使用于精度較低的情形ode113非剛性多步法；Adams算法；高低精度均可到計算時間比 ode45 短ode23t適度剛性采用梯形算法適度剛性情形ode15s剛性多步法；Gear's反向數(shù)值微分；精度中等若 ode45 失效時，可嘗試使用ode23s剛

5、性單步法；2階 Rosebrock 算法；低精度當(dāng)精度較低時，計算時間比 ode15s 短ode23tb剛性梯形算法；低精度當(dāng)精度較低時，計算時間比 ode15s 短 (6) 要特別的是：ode23、ode45 是極其常用的用來求解非剛性的標(biāo)準(zhǔn)形式的一階常微分方程(組)的初值問題的解的 Matlab 的常用程序，其中：ode23 采用龍格-庫塔2 階算法，用3 階公式作誤差估計來調(diào)節(jié)步長，具有低等的精度ode45 則采用龍格-庫塔4 階算法，用5 階公式作誤差估計來調(diào)節(jié)步長，具有中等的精度5ezplot(x,y,tmin,tmax)：符號函數(shù)的作圖命令x,y 為關(guān)于參數(shù)t 的符號函數(shù)

6、，tmin,tmax 為 t 的取值范圍6inline()：建立一個內(nèi)聯(lián)函數(shù)格式：inline('expr', 'var1', 'var2',) ，注意括號里的表達式要加引號例：Q = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) . 三、實驗內(nèi)容1.  幾個可以直接用 Matlab 求微分方程精確解的例子：例1：求解微分方程，并加以驗證求解本問題的Matlab 程序為：syms x y       

7、0;                          %line1y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x2)','x')          %line2diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x

8、2)                  %line3simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x2)          %line4說明：(1) 行l(wèi)ine1是用命令定義x,y為符號變量這里可以不寫，但為確保正確性，建議寫上；(2) 行l(wèi)ine2是用命令求出的微分方程的解：1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x

9、2)*C1(3) 行l(wèi)ine3使用所求得的解這里是將解代入原微分方程，結(jié)果應(yīng)該為0，但這里給出：-x3*exp(-x2)-2*x*exp(-x2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x2)*x2+exp(-x2)*C1)(4) 行l(wèi)ine4 用 simplify() 函數(shù)對上式進行化簡，結(jié)果為 0， 表明的確是微分方程的解例2：求微分方程在初始條件下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形求解本問題的 Matlab 程序為：syms x yy=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x')ezplot(y)微分方程的

10、特解為：y=1/x*exp(x)+1/x* exp (1) (Matlab格式)，即，解函數(shù)的圖形如圖 1：圖1例3：求微分方程組在初始條件下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形求解本問題的 Matlab 程序為：syms x y tx,y=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')simple(x);simple(y);ezplot(x,y,0,1.3);axis auto微分方程的特解(式子特別長)以及解函數(shù)的圖形均略2. 用ode23、ode

11、45等求解非剛性的標(biāo)準(zhǔn)形式的一階常微分方程(組)的初值問題的數(shù)值解(近似解)例4：求解微分方程初值問題的數(shù)值解，求解范圍為區(qū)間0, 0.5fun=inline('-2*y+2*x2+2*x','x','y');%fun=(x)(-2*y+2*x2+2*x)x,y=ode23(fun,0,0.5,1);x'y'plot(x,y,'o-')>> x'ans =0.0000   0.0400   0.0900   0.1400  &

12、#160;0.1900   0.24000.2900   0.3400   0.3900   0.4400   0.4900   0.5000>> y'ans =1.0000   0.9247   0.8434   0.7754   0.7199   0.67640.6440   0.6222   0.6105

13、60; 0.6084   0.6154   0.6179圖形結(jié)果為圖 2圖2 例 5：求解描述振蕩器的經(jīng)典的 Ver der Pol 微分方程 分析：令則先編寫函數(shù)文件verderpol.m：function xprime = verderpol(t,x)global mu;xprime = x(2);mu*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);再編寫命令文件vdp1.m：global mu;mu = 7;y0=1;0t,x = ode45('verderpol',0,40,y0);x1=x(:,1);x2=x(:,

14、2);plot(t,x1)圖形結(jié)果為圖3圖33. 用 Euler 折線法求解前面講到過，能夠求解的微分方程也是十分有限的下面介紹用 Euler 折線法求微分方程的數(shù)值解(近似解)的方法Euler 折線法求解的基本思想是將微分方程初值問題化成一個代數(shù)方程，即差分方程，主要步驟是用差商替代微商,于是：記，從而，則有例 6：用 Euler 折線法求解微分方程初值問題的數(shù)值解(步長h取0.4)，求解范圍為區(qū)間0,2解：本問題的差分方程為相應(yīng)的Matlab 程序見附錄 1數(shù)據(jù)結(jié)果為：    0       

15、0; 1.0000    0.4000    1.4000    0.8000    2.1233    1.2000    3.1145    1.6000    4.4593    2.0000    6.3074圖形結(jié)果見圖4：圖4特別說明：本問題可進一步利用四階 Runge-Kutta 法求