數(shù)列考點(diǎn)預(yù)測

1、數(shù)列考點(diǎn)預(yù)測數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題，對等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，對增長率、分期付款等數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題，甚至是壓軸題.那么在2016年的備考中，哪些考點(diǎn)值得我們關(guān)注呢？一、等差數(shù)列與等比數(shù)列【考情分析】（1）以客觀題考查對基本概念、性質(zhì)、通項(xiàng)及前項(xiàng)和公式的掌握情況，主要是低檔題，有時也命制有一定深度的中檔題，與其他知識交匯命題也是這一部分的一個顯著特征；（2）以大題形式考查綜合運(yùn)用數(shù)列知識解決問題的能力.【考題預(yù)測】【預(yù)測題

2、1.1】(1)在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若則的值為( )ABCD.(2)已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則 .【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列也是等差數(shù)列，由已知可得,由知公差故選B(2)在等比數(shù)列中，即所以所以【說明】在等差（比）數(shù)列中，五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個解這類問題時，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差(公比)這兩個基本量的有關(guān)運(yùn)算在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法【預(yù)測題1.2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式【解析】(1)證明：由得所以，又故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列(2)

3、由(1)知，故所以【說明】(1)判斷和證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列的三種方法：定義法、通項(xiàng)公式法和中項(xiàng)公式法，其中對定義法的考查最常見；(2)應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起【預(yù)測題1.3】已知等差數(shù)列的公差為且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；(2)將數(shù)列的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng)，記的前項(xiàng)和為，若存在，使對任意，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解(1)由得從而.(2)由題意知設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，隨增加而遞減，為遞增數(shù)列，得又，故若存在，使對任意總有則，得

4、即實(shí)數(shù)的取值范圍為【說明】解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解.二、數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題【考情分析】從全國卷來看，由于三角和數(shù)列問題在解答題中輪換命題，若考查數(shù)列解答題，則以數(shù)列的通項(xiàng)與求和為核心地位來考查，題目難度不大高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項(xiàng)相消等方法求一般數(shù)列的和，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想【考題預(yù)測】【預(yù)測題2.1】已知等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.【解析】(

5、1)即公比又首項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為【說明】一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后再相加減這種求和方法叫分組轉(zhuǎn)化法求和法【預(yù)測題2.2】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和.求證：【解析】(1)當(dāng)時，得即又當(dāng)時，式也成立，即.(2)證明：故成立，【說明】本題數(shù)列求和采用了錯位相減法錯位相減法適用于求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列所謂“錯位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減要注意的是相減后得到部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項(xiàng)數(shù)，為保證結(jié)果正確，

6、可對得到的和取，2進(jìn)行驗(yàn)證【預(yù)測題2.3】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使對所有的恒成立的整數(shù)的取值集合【解析】(1)依題意，故當(dāng)時，兩式相減得即故為等比數(shù)列，且(2)即是等差數(shù)列.當(dāng)時，取最小值依題意有解得故所求整數(shù)的取值集合為【說明】(1)本題數(shù)列求和采用的是裂項(xiàng)相消法，它的基本思想就是把通項(xiàng)分拆成的形式，從而達(dá)到在求和時某些項(xiàng)相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件(2)?；牧秧?xiàng)公式；三、數(shù)列的綜合應(yīng)用 【考情分析】在高考中，數(shù)列的綜合應(yīng)用主要包含三類問題：數(shù)列與函數(shù)的綜合、數(shù)列與不等式的綜合和數(shù)列的實(shí)際應(yīng)

7、用數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為載體，考查最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用主要涉及三種模型：等差模型、等比模型與遞推數(shù)列模型，難度中等【考題預(yù)測】【預(yù)測題3.1】已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為由已知得即，解得(2)證明：，得又又綜上所述， 【說明】解決數(shù)列與不等式的綜合問題時，如果是證明

8、題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了【預(yù)測題3.2】已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且，數(shù)列滿足且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足為正整數(shù)），求的最小值【解析】(1)，由題意知，則數(shù)列滿足又由疊加法可得，化簡可得當(dāng)時，也符合，(2)又(為正整數(shù)）所以的最小值為2【說明】數(shù)列與函數(shù)的綜合一般體現(xiàn)在兩個方面：(1)以數(shù)列的特征量等為坐標(biāo)的點(diǎn)在函數(shù)圖像上，可以得到數(shù)列的遞推關(guān)系；(2)數(shù)列的項(xiàng)或前項(xiàng)和可以看作關(guān)于的函數(shù)，

9、然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的求解策略：(1)函數(shù)條件的轉(zhuǎn)化，即直接利用函數(shù)與數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系，把函數(shù)解析式中的自變量換為即可；(2)數(shù)列向函數(shù)的轉(zhuǎn)化，即可將數(shù)列中的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，但要注意函數(shù)定義域【預(yù)測題3.3】為了凈化空氣，嚴(yán)控霧霾，濱海市計(jì)劃用若干時間更換一萬輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動力型車今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛；計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入輛(1)求經(jīng)過年，該市被更換的公交車總數(shù)(2)試問當(dāng)時，該市7年內(nèi)公交車能否完成全部更換？【

10、解析】(1)設(shè)分別為第年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量依題意，得是首項(xiàng)為128，公比為的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為400，公差為的等差數(shù)列所以的前項(xiàng)和的前項(xiàng)和所以經(jīng)過年，該市被更換的公交車總數(shù)為：(2)若計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換，則所以即，所以.又所以的最小值為147.所以當(dāng)時，該市7年內(nèi)公交車可以完成全部更換 【說明】解數(shù)列應(yīng)用題的建模思路：從實(shí)際出發(fā)，通過抽象概括建立數(shù)學(xué)模型，通過對模型的解析，再返回實(shí)際中去，其思路框圖為：四、數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用【考情分析】創(chuàng)新，歷來是高考命題的主旋律，新課標(biāo)教材中對“推理與證明”的考查，往往將數(shù)列作為載體，試題具有一定的創(chuàng)新性，以小題為主，難度較大【預(yù)測題4.1】已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：則第2016個“整數(shù)對”是 【解析】依題意，就每組整數(shù)對的和相同的分為一組，不難得知第組整數(shù)對的和為，且每組共有個整數(shù)時，這樣的前組一共有個整數(shù)，注意到，因此第2016個整數(shù)對處于第