橢圓的簡單幾何性質(zhì)3

1、第3課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1 理解掌握直線與橢圓位置關(guān)系的判定方法.2能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題直線與圓錐曲線位置關(guān)系 和實(shí)際問題.說明：本節(jié)課主要是因?yàn)榻滩闹械睦} 7涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，而且這個(gè)內(nèi)容是本章的一個(gè)重點(diǎn)，所以設(shè)計(jì)此節(jié).教學(xué)過程新課引入解析幾何作為數(shù)學(xué)研究的重要的、有效的工具，集幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)于一體，為數(shù)學(xué)的研究帶來了方便.它的根底是用代數(shù)的方法來研究幾何， 從而把幾何問題的討論從定性的研 究推進(jìn)到可以計(jì)算的定量的層面從下面幾個(gè)關(guān)于直線與橢圓位置關(guān)系的問題中可略見一斑.例題研討一、公共點(diǎn)問題幾何的交點(diǎn)問題與代數(shù)的方設(shè)計(jì)意圖：通過方程判別式來判斷直線與橢圓的位置關(guān)

2、系, 程根問題完美結(jié)合于此.1判斷直線kx y+ 3 = 0與橢圓2 2話+七=1的位置關(guān)系.分析：聯(lián)想直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：1解方程組，2運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離.容易想到下面的方法.活動(dòng)設(shè)計(jì):學(xué)生黑板板演，教師觀察下面學(xué)生解題情況.y= kx + 3,解：由 x2 y2可得(4k2 + 1)x2 + 24kx + 20= 0, = 16(16k2 5).16 4，(1)當(dāng)= 16(16k2 5)>0,即 k>丁或 k< ，直線kx y + 3= 0與橢圓16+片=1相交.當(dāng)叮 5-15x2 y2= 16(16k2 5) = 0,即 k =才或 k=丁時(shí)，直線 kx y

3、+ 3= 0 與橢圓五 + : = 1相切. 5-5x y= 1616k2 5<0，即"4<k<7時(shí)，直線 kx y + 3= 0 與橢圓 晶 + ； = 1 相離. 活動(dòng)結(jié)果：教師點(diǎn)評學(xué)生板演結(jié)果.講解解法，突出分類討論思想的運(yùn)用.x22假設(shè)直線y = kx + 1k R與橢圓-+當(dāng)m = 1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.設(shè)計(jì)意圖：注意根本方法解方程組的應(yīng)用，另外從直線本身過定點(diǎn)來考慮發(fā)散學(xué)生 思維，更好地表達(dá)用代數(shù)方法解決幾何問題帶來的方便.解法一：解方程組y= kx + 1,2 2x y '+ _= 1,5 m '可得(5k2+ m)x2 +

4、 10kx + 5 5m = 0, a = 20m2+ 100mk2 20m > 0,即 m?1 5k 2.由m?1 5k2恒成立得m?1.a m?1且m豐5.解法二：直線恒過一定點(diǎn)0,1,當(dāng)m<5時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，短半軸長b= . m,要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，那么.m?1,即 1 < m<5.當(dāng)m>5時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，長半軸長 a= 5可保證直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即m>5.綜述m?1且m 5.解法三：直線恒過一定點(diǎn)0,1,02 12要使直線與橢圓恒有交點(diǎn)，即要保證定點(diǎn)0,1在橢圓上或在橢圓內(nèi)部，有 5+m三1，即m?1.a m?1且m豐5.活動(dòng)結(jié)果：

5、學(xué)生能想到“解法一并能很好地解決對“解法二，解法三，教師給予提示，學(xué)生自己能動(dòng)手解決但教師要詳細(xì)區(qū)分兩種方法的異同.點(diǎn)評：由直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組解的情況直接推出兩曲線的交點(diǎn)狀況，而方程解的情況由判別式來決定，直線與橢圓有相交、相切、相離三種關(guān)系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x得到關(guān)于x或y的一元二次方程，那么1直線與橢圓相交 >0直線與橢圓相切 = 0; 3直線與橢圓相離 <0所以判定直線與橢圓的位置關(guān)系，方程及其判別式是最根本的工具. 或者可首先判斷直線是否過定點(diǎn)，并且初定定點(diǎn)在橢圓內(nèi)、外還是干脆就在橢圓上，然后借助曲線特征判斷：如例2中解法二是根據(jù)兩曲線的特征觀察

6、所至;解法三那么緊抓定點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)部這一特征:點(diǎn)M(xo, yo)在橢圓內(nèi)部或在橢圓上,xo那么P二、弦長問題設(shè)計(jì)意圖：類比在圓中求弦長的方法， 體會如何在橢圓中求弦長.并注意代數(shù)方法在幾何中的應(yīng)用.x23橢圓2 + y2= 1的左、右焦點(diǎn)分別為 Fl、F2，假設(shè)過點(diǎn)P(0, 2)及F1的直線交橢圓 于A , B兩點(diǎn)，求 ABF2的面積.活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生可以分組討論， 討論后請學(xué)生上黑板演算，教師對得到的結(jié)果給予點(diǎn)評并注意解法的多樣性.解法F2到直線AB的距離h =4*55y= 2x 2,注 y2= 1,可得 9x2+ 16x + 6 = 0,又 |AB| = “ 1 + k2|x1 X2

7、|=10. 291S = 2|AB|h =4 .'109解法三:令 A(x 1, y1), B(x2, y2),那么 |AF1|= a+ ex1,|BF1|= a+ ex2,其中 a= 2,e亞 e= 2 .F2到直線AB的距離h =字由y= 2x 2,可得 9x2 + 16x + 6= 0,1p/2|AB| = a+ ex1 + a+ ex2= 2a+ e(x1 + X2) = ,x2+y2= 1,活動(dòng)結(jié)果：“解法一是大局部小組的方法.教師應(yīng)加強(qiáng)離心率在求解過程中的應(yīng)用. S"?AB|h = 4"910點(diǎn)評：在利用弦長公式|AB| = .1 + k2|x1 X2|

8、 = " , 1 + ；2|y1 y2|(k為直線斜率)或焦(左)半徑公式|AB| = |PF1|+ |PF2|= a+ ex1 + a+ ex2= 2a+ e(x1 + X2)時(shí)，應(yīng)結(jié)合韋達(dá)定理解決問題.解法一：由題可知：直線Iab的方程為2x + y+ 2 = 0.y= 2x 2, 由竽+ y2= 1，)4/10可得 9y2+ 4y 4= 0, |y1 y2|=y1+ y2 2 4y1y2 = . S 1|FlF2|y1 y2| = 9三、中點(diǎn)問題4中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上的橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離為 2 3，假設(shè)橢圓被直線x + y + 1 = 0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一 2,求

9、橢圓的方程.3活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考，也可以合作討論.多媒體展示學(xué)生解題過程也可教師提示學(xué)生的板演主要提高學(xué)生的動(dòng)手能力.解法一：令橢圓方程為 mx2+ ny2= 1(0<m<n)，橢圓與直線的兩交點(diǎn)為A(x 1, yi), B(x2,y2).由題意得xi+ X222 yi+ y23，213.y=_x 1，22n由可得(m+ n)x2+ 2nx + n 1 = 0, X1 + X2= mx2+ n y2= 1,m+ n43,即 n= 2m.又竿=2 3，即 m = 3，黑_ J，二 m = !，n =4 橢圓方程為jx2+ 4y2 = 1.解法二：令橢圓方程為 mx2+ ny2=

10、1(0<m<n)，橢圓與直線的兩交點(diǎn)為A(x 1, y1), B(X2,X1+ X22y2).由題得一2 =_ 3,y1 + y212 =_ 3.mx2 + n y2= 1, 由2 2mx2 + n y2= 1,作差得m(X1 + X2)=y1 y2M+y2).X1 X2/ n= 2m.2a21又 2a =23，即 m1 1m n24m= 3，n= 3.=1.橢圓方程為fx2+活動(dòng)結(jié)果：對學(xué)生解題過程給予評價(jià)肯定學(xué)生的勞動(dòng)成果，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試.點(diǎn)評：橢圓中心定，焦點(diǎn)定，所以橢圓的位置定，而且由準(zhǔn)線方程可得一個(gè)方程，還有一個(gè)方程怎么找？根據(jù)直線與橢圓相交，可聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理

11、解決， 事實(shí)上就是把交點(diǎn)問題化歸為方程根的問題，有關(guān)中點(diǎn)問題還可設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程相減，式y(tǒng)1 y2中含有X1+ X2, y1+ y2,三個(gè)未知量，但直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，同樣可得到aX1 X2與b的關(guān)系(點(diǎn)差法)從而解決問題，但兩者又各有弊端：韋達(dá)定理解決過程中易漏解，需關(guān) 注直線的斜率問題；點(diǎn)差法那么在確定范圍方面略顯缺乏.課堂小結(jié)1 公共點(diǎn)問題2.中點(diǎn)問題3 弦長問題. 布置作業(yè)教材習(xí)題2.2 B組 3,4.設(shè)計(jì)說明根據(jù)“以人為本，以學(xué)論教的教育理念，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生；把思維的空間留給學(xué)生；把探索的時(shí)機(jī)留給學(xué)生； 把體會成功后的快樂送給學(xué)生； 把課堂的時(shí)間還給學(xué)生.

12、 教 師的作用應(yīng)是給學(xué)生“指點(diǎn)迷津、引導(dǎo)學(xué)生“重點(diǎn)突破、刺激學(xué)生“深化理解、幫助學(xué)生“能力提升 把知識的形成過程轉(zhuǎn)化為自學(xué)、探索、思考、發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用知識的過程， 以學(xué)生為主體，以合作探究、學(xué)練結(jié)合為手段，以提高能力為目的，讓學(xué)生在操作中探索， 在探索中領(lǐng)悟，在領(lǐng)悟中理解，體會數(shù)學(xué)之美，探究之趣設(shè)計(jì)本節(jié)課的目的主要是進(jìn)一步 落實(shí)本節(jié)課所學(xué)知識，以問題為中心，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題，教學(xué)重要表達(dá)分層教學(xué)，讓“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的開展.教學(xué)中把更多的時(shí)間、時(shí)機(jī)留給學(xué)生，讓學(xué)生充分地交流、探究，積極引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考.教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生是否積極地參與到發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的探

13、索 過程中去，是否能夠到達(dá)掌握知識， 提高能力的目的；是否收到了理想的教學(xué)效果教學(xué)過 程中要尊重學(xué)生的自我發(fā)現(xiàn)，多角度地給學(xué)生以鼓勵(lì)和肯定.備課資料P為橢圓上的點(diǎn),Fi為橢圓的左焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn), 當(dāng)PFi丄FiA, PO/ ABO為橢圓中心時(shí)，求橢圓的離心率.分析：求橢圓的離心率，即求a只需求環(huán)c的值或乳c用同一個(gè)量表示此題沒有 具體數(shù)值，因此只需把 a、c用同一量表示，由 PFi丄FiA , PO/ AB易得b= c, a= 2b.解：設(shè)橢圓方程為+ y2= i(a> b>0), Fi(- c,0), c2= a2-b2,b2P(-c, P b - b2 即一 =.b = c.a ac那么 P(-c, b“ , i-字)，即 AB / PO, kAB = koP, 又 T a= b2 + c2 = . 2b,點(diǎn)評：由題意準(zhǔn)確畫出圖形，利用橢圓方程及直線平行與垂直的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.2.Fi、F2是橢圓拿+古=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，/ FiPF2= 90 ° 求橢圓離心率的最小值.分析：求橢圓離心率的最值或取值范圍是解析幾何中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè) 關(guān)于a、b、c的不等式.解：方法一利用余弦定理