正態(tài)分布及其經(jīng)典習(xí)題和答案匯總

1、專題：正態(tài)分布例：1隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，且 E X=2.4 , VX=1.44，那么二項(xiàng)分布的參數(shù) n, p的值為答案：B。解析：E Xnp 2.4，V X np(1 p) 1.44。2正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)到的面積為。A 95% B . 50% C . 97.5% D .不能確定與標(biāo)準(zhǔn)差的大小有關(guān)80,標(biāo)準(zhǔn)差為10,理論上說(shuō)在 80答案：B。解析：由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知。分到90分的人數(shù)是A32B16C8D20答案：B。解析:數(shù)學(xué)成績(jī)是X N(80,102),P(80X 90)p8080Z 90 80P(0 Z 1) 0.3413,48 0.3413 16。3某班有48名同學(xué)，一次考試

2、后的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，平均分為10 104從1, 2, 3, 4, 5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為 答案：8.5。解析：設(shè)兩數(shù)之積為 X,X23456810121520P4 E(X)=8.5.5如圖，兩個(gè)正態(tài)分布曲線圖：1 為 1,1 x , 2 為 2 2x,那么1 2 ,1 2填大于，小于答案： <,>。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。 【課內(nèi)練習(xí)】1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為。A 0 與 1 B . 1 與 0 C . 0 與 0 D . 1 與 1答案：A。解析：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義知。2正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)與，相應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀越扁平。A

3、越大B . 越小 C . 越大 D . 越小答案：C。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。1門(mén)_ 23 .已在n個(gè)數(shù)據(jù)X1,X2, ,Xn，那么Xi x是指n i 1A. B .C .D.4 .設(shè) B(n, p) , E 12, D答案：C。解析：由方差的統(tǒng)計(jì)定義知。答案：4。解析：Enp12 ,Dnp(1 p)45對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)題，甲解出的概率為2乙解出的概率為3兩人獨(dú)立解題。記X為解出該題的人數(shù)，那么E34X=。答案：17。解析:12P(X 0)1 13 4丄122 1,P(X 1)3 41345,P(X 2)4122 3 J3 42。4，貝y n的值是1 51 17E(X)012 -2 122

4、 126設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 N(0,1)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 (1)P(|1 a)P(l 1a)P(l1 a)(a 0)P(|1 a)2P(a)1(a0)P(|1 a)1 2P(a)(a0)P(|1 a)1 P(l1a)(a0)答案：(1),(2),(：4)。解析P(l 1a) 0。7拋擲一顆骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)為X，貝U DX=。答案：35。解析：p(x k) -,k 1,2,6，按定義計(jì)算得E(X) 7,V(X) 35 。12 6 212【作業(yè)本】A組1 袋中裝有5只球，編號(hào)為1 , 2, 3, 4, 5,從中任取3球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，那么EX丨等于 答案：C。解析：X的分

5、布列為答案:f(x)丄 FV21 一f(X) 2.2 e 4X2B.f(x)Ze?2x2吉e2B。解析：選項(xiàng) B是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)。D. f(x)3. 正態(tài)總體為0,1概率密度函數(shù)f(x)是A .奇函數(shù)B .偶函數(shù)C 非奇非偶函數(shù)D 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案：B。解析:f(x)2o4.正態(tài)總體落在區(qū)間0.2,的概率是0. 5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線在x 時(shí)到達(dá)最咼點(diǎn)。X345p故 E X=3 0.1+4 0.3+5 0.6=4.5。2以下函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是答案：0.2。解析：正態(tài)曲線關(guān)于直線x 對(duì)稱，由題意知 0.2。5次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)由40道選擇題構(gòu)成，每道有 4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是

6、正確的，每個(gè)選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選均不得分，總分值120分，某學(xué)生選對(duì)一道題的概率為0.7，求該生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望為；方差為。答案：&解析：設(shè)X為該生選對(duì)試題個(gè)數(shù)，n為成績(jī)，那么XB 50,0.7，n =3X /. E(X)=40 X 0.7=28 V(X)=40xx故 E( n )=E(3X)=3E(X)=84 V( n6某人進(jìn)行一個(gè)試驗(yàn)，假設(shè)試驗(yàn)成功那么停止，假設(shè)實(shí)驗(yàn)失敗，再重新試驗(yàn)一次，假設(shè)試驗(yàn)三次均失敗，那么2放棄試驗(yàn)，假設(shè)此人每次試驗(yàn)成功的概率為，求此人試驗(yàn)次數(shù) X的分布列及期望和方差。3解：X的分布列為故 E(X) 1 |7.甲、乙兩名射擊運(yùn)發(fā)動(dòng)，甲射擊一次命中們獨(dú)

7、立的射擊兩次，設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為2214939910環(huán)的概率為4EX= , Y3X，那么1238第)亦。0.5,乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s,假設(shè)他為甲與乙命中10環(huán)的差的絕對(duì)值求s的值及YX123P221399的分布列及期望答案：解：由可得 X B(2,s)，故EX2s4亍所以s有Y的取值可以是0, 1，2.甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是0次的概率是甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是1次的概率是(H 2甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是2次的概率是136，|)1 12)23)9，所以P(Y 0)13613 ；36 ；甲命中10環(huán)的次數(shù)是2且乙命中10環(huán)的次數(shù)是0次的概率是甲命中10環(huán)的次數(shù)是0

8、且乙命中10環(huán)的次數(shù)是2次的概率是1 2G 3 (-丄)(222 3(2)136，21所以P(Y 2)36151 36，故P(Y 1) 1P(Y 0)P(Y 2)所以Y的分布列是Y123P131_536236所以Y的期望是EY=1.某產(chǎn)品的廢品率為0.05，從中取出B組10個(gè)產(chǎn)品，其中的次品數(shù)X的方差是 V(X) 10 0.05 0.950.475。答案：B。解析：X B 10, 0.05,12假設(shè)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)e2X 1丁 ,(x R)，以下判斷正確的選項(xiàng)是A .有最大值，也有最小值C .有最大值，但沒(méi)最大值B .有最大值，但沒(méi)最小值D .無(wú)最大值和最小值答案：B。3 在一次英語(yǔ)考

9、試中，考試的成績(jī)服從正態(tài)分布(100,36)，那么考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間88,112內(nèi)的概率是A 0 6826 B 0 3174 C. 0 9544 D 0 9974答案：C。解析：由 X N 100, 36,故 P(88 X 112) P(88 ,00 Z112 100)6)P( 2 Z2) 2P(Z 2) 1 0.9544。4 袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取 假設(shè)取到一個(gè)紅球那么得 2分，用X表示得分?jǐn)?shù)，那么2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球得E X=; D(X)=0分，每取到一個(gè)白球得1分,X01234P111111633663614165答案：一 ;-65。解析：由題意知，X可取值是0, 1

10、 , 2, 3, 4。易得其概率分布如下:9 162E(X)=0X - + 1 X -+ 2X+ 3X+ 4X=63366369_ 2 1 .21c：2 1121 21142165V(X)=0 X+1X + 2X 一+ 3 X+ 4 X6336636916211111114注：要求次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，應(yīng)先列出次品數(shù)X的分布列。x 2 25 假設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)是(X)122 e8 ,(xR)，那么 E(2X 1)=答案：-5。解析:2,2, E(2X 1)2E(X)12 ( 2)16 一本書(shū)有500頁(yè)，共有100個(gè)錯(cuò)字，隨機(jī)分布在任意一頁(yè)上，求一頁(yè)上錯(cuò)字個(gè)數(shù)X的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。1

11、 1解： X B(100,), E(X) 1000.2,V(X)500500100 1 (1 )5005000.1996X 的標(biāo)準(zhǔn)差V(X) 0.04468。&一批電池一節(jié)用于手電筒的壽命服從均值為 中任意取一節(jié)，問(wèn)這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于答案：解：電池的使用壽命那么 P(X 40) P(X 空4.4即這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于35.6小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差為4.4小時(shí)的正態(tài)分布，隨機(jī)從這批電池 40小時(shí)的概率是多少？X I40 35.6、)P(Z 1) 1 P(Z 4.440小時(shí)的概率是 0.1587。正態(tài)分布1)0.1587雙基自測(cè)1 設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f (x)的圖象,1

12、f(x)卞e(cuò)-x 丁 ，那么這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A.10 與 8 B 10 與 2 C 8 與 10 D2與10解析由-r=e- 8 nx - 1021-e8.'2 n d2-,可知d = 2, (1 = 10.答案 B2. (2022-湖北)隨機(jī)變量 E服從正態(tài)分布N2 ,d )，且 P( Ev 4) = 0.8，貝U P(0 v E v 2)等于()A. 0.6 B0.4 C . 0.3解析 由 P( EP( E >4) = P( E v 0) = 0.2，故 P(0 v E v2) = 0.3.應(yīng)選 C.答案 C3. (2022 廣東)隨機(jī)變量 X服從正態(tài)

13、分布 N(3,1)，且P(2 w Xw4) = 0.682 6，貝U P(X> 4)等于().A. 0.158 8 B . 0.158 7 C . 0.158 6 D . 0.158 5解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x= 3對(duì)稱， RX>4) = 0.5 如2 w Xw4) = 0.5 24. (2022 山東)隨機(jī)變量 X服從正態(tài)分布 N(0 , (T2)，假設(shè)RX>2) = 0.023，貝U P( 2w Xw2)等于(A. 0.477 B . 0.628 C . 0.954解析 P 2w Xw 2) = 1 2P( X>2) = 0.954.答案 C5. 設(shè)隨

14、機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N(2,9)，假設(shè)P(X>c+ 1) = RX<c 1)，那么c等于().A . 1 B . 2 C . 3 D . 4口 = 2，由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于x = 2對(duì)稱，于是c+ 1 + c 12=2, c = 2.答案考向一正態(tài)曲線的性質(zhì)【例1】？假設(shè)一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(一4,4的概率.解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即1 1+ )，得d = 4,故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是0卩,x ( 8, P(

15、4<Xw 4) = R0 4<Xw 0+ 4) = P( 口一 d <Xw 口+d ) = 0.682 6.【訓(xùn)練1】 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布 N 口 1 , d 2)( d 1> 0)和N( 口 2, d 2)( d 2> 0)的密度函數(shù)圖象如下列圖，那么有().A. 口 1 V 12, d 1V d2B .1 1 V 12, d 1 > d2C. 1 1 > 12, d 1V d2D. 1 1 > 12, d 1 > d2解析 根據(jù)正態(tài)分布N( 1 , d 2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x = 1對(duì)稱，在x = 1處取得最大值的連續(xù)

16、鐘形曲線；d越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái)，d越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，應(yīng)選A.考向二服從正態(tài)分布的概率計(jì)算【例2】？設(shè)XN(1,2 2)，試求 (1) P( 1<Xw 3) ; (2) P(3<Xw 5) ; (3) P(X> 5).2解 XN1,2 ), 1= 1, d = 2. P( 1<Xw 3) = R1 2<Xw 1 + 2) = P( 口一 d <Xw 口) = 0.682 6.1 F(3<X<5) = R 3<XW 1) , P(3<XW5) = 0 R 3<X<5) P( 1<X<

17、;3)1 1=2【R1 4<XW 1 + 4) P(1 2<XW 1 + 2)=艮 R 口一 2 d <XW 口 + 2d ) P( 口一 cr <XW 口 + d )1=2 (0.954 4 0.682 6) = 0.135 9.1 1(3) T F(X> 5) = P(X< 3) , F(X> 5) = 1 F( 3<X< 5) = 01 R1 4<X< 1 + 4)1 1=2【1 P( 口 2d <X< 口+ 2 d ) = 2 X (1 0.954 4) = 0.022 8.【訓(xùn)練2】隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N

18、(1,d2)，P(0) = 0.3，那么R Ev 2) =.解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x= 1對(duì)稱，所以P( E > 2) = P( E v 0) = 0.3 , R E考向三正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】?2022年中國(guó)汽車(chē)銷售量到達(dá)1 700萬(wàn)輛，汽車(chē)耗油量對(duì)汽車(chē)的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車(chē)制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車(chē)制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車(chē)的耗油情況，共抽查了 1 200名車(chē)主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車(chē)的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車(chē)的耗油量 E服從正態(tài)分布 N8 , d2),耗油量E 7,9的概率為0.7，那么耗油量大于 9升的汽車(chē)大約有 輛.解 由題意

19、可知EN(8 , d2)，故正態(tài)分布曲線以 口= 8為對(duì)稱軸，又因?yàn)镻(7 WEW 9) = 0.7，故R7 < E < 9) =2P(8 < E w 9) = 0.7，所以 P(8 < E < 9) = 0.35，而 R E > 8) = 0.5，所以 P( E > 9) = 0.15，故耗油量大于 9 升的汽車(chē)大約有 1 200 X 0.15 = 180輛.1【訓(xùn)練3】 工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N4, 9，問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？1 1解/XN4, 9 , 口= 4, d= 3. 不屬于區(qū)間(3,5的概率為P(X< 3) + RX>5) = 1 P(3 vX< 5) = 1 R4 1v X<4+ 1) = 1 P( 口一3 d vX 口 + 3 d)=1 0.997 4 = 0.002 6 0.003 , 1 000 X 0.003 =3(個(gè)),即不屬于區(qū)間(3,5這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè).閱卷報(bào)告19正態(tài)分布中概率計(jì)算錯(cuò)誤【問(wèn)題診斷】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然