關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)散思維培養(yǎng)的幾點(diǎn)看法

1、關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)散思維培養(yǎng)的幾點(diǎn)看法貴州省盤縣四中 封雙樸聯(lián)系電話次偶然的機(jī)會(huì)，讀小學(xué)一年級(jí)的女兒拿她的一次數(shù)學(xué)測(cè)試卷給我簽字，我順便查看了一下女兒的答題情況，其中的一道題引起了我的注意，原題的是看圖寫算式，畫面上展現(xiàn)的是4只小兔子在一起，旁邊還有一個(gè)蘿卜，不遠(yuǎn)處是一只小兔子和一個(gè)蘿卜。讓學(xué)生看圖寫式子，女兒寫的是51=4，老師打了一個(gè)鮮紅的“×”，老師更正的正確的答案是：4+1=5，意思是圖上一共有5只小兔子，我問女兒為什么寫成51=4？女兒說：“圖上總共有5只小兔子，我減去這邊這只，還剩下4只”。對(duì)于女兒的回答，我在思考，現(xiàn)在很多學(xué)生怕學(xué)數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼心

2、理，特別是高中的文科數(shù)學(xué)，老師學(xué)生都在叫苦，很多家長(zhǎng)問我，數(shù)學(xué)怎樣學(xué)才能學(xué)得好，這些家長(zhǎng)的孩子都在讀高中，且數(shù)學(xué)都不好。我在想，不是數(shù)學(xué)難學(xué)，也并不是學(xué)生不能學(xué)好數(shù)學(xué)，而是我們的教學(xué)出了問題。就拿女兒的這道題來說，4-1=3，（那邊那群小兔子比這邊的幾個(gè)？）1+1=2，（圖中一共有多少個(gè)蘿卜？）·······，為什么就只有4+1=5才是正確答案呢？我們的教育為什么就不能多聽聽的學(xué)生意見了，特別是低年級(jí)學(xué)生，認(rèn)為老師說的都是對(duì)的，老師是完美的，經(jīng)常會(huì)聽到小孩子說：我們老師是這么說的之類的語言。著名的心理學(xué)家吉爾福特指出：“人的

3、創(chuàng)造力主要依靠發(fā)散思維，它是創(chuàng)造思維的主要部分?！?這里所說的發(fā)散性思維是指與集中思維相對(duì)的一種思維方式。發(fā)散思維對(duì)問題從不同角度進(jìn)行探索，從不同層面進(jìn)行分析，從正反兩極進(jìn)行比較，因而視野開闊，思維活躍，可以產(chǎn)生出大量的獨(dú)特的新思想。集中思維是指人們解決問題的思路朝一個(gè)方向聚斂前進(jìn)，從而形成唯一的、確定的答案。發(fā)散性思維的特點(diǎn)是思維的積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地抓住這些特性進(jìn)行訓(xùn)練與培養(yǎng)，既可提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，又是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán)。激發(fā)求知欲，訓(xùn)練思維的積極性。思維的惰性是影響發(fā)散思維的障礙，而思維的積極性是思維惰性的克星。所以，培養(yǎng)思維的積極性是培養(yǎng)

4、發(fā)散思維的極其重要的基礎(chǔ)。而把學(xué)生朝集中思維方向培養(yǎng)，學(xué)生一旦想不出定勢(shì)的方法，學(xué)生就會(huì)感到困惑，從而感到難學(xué)，特別是數(shù)學(xué)學(xué)科，表現(xiàn)極為突出。教育部面向21世紀(jì)教育振興行動(dòng)計(jì)劃明確提出，“創(chuàng)新是一個(gè)民族的靈魂，一個(gè)國家發(fā)展的不竭動(dòng)力”。學(xué)生的創(chuàng)造性思維是集中思維和發(fā)散思維兩種思維方式的溝通和融合，但與發(fā)散思維的關(guān)系更為密切。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要環(huán)節(jié)，也是素質(zhì)教育的基本要求。是創(chuàng)新教育的一個(gè)基點(diǎn)。下面我談?wù)勱P(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)散思維培養(yǎng)的幾點(diǎn)看法：傳統(tǒng)的封閉題條件完備、答案固定、有固定的套路，學(xué)生通過模仿就可以掌握，從一定程度上禁錮了學(xué)生的思維，抑制了學(xué)生的創(chuàng)新靈感

5、。而開放探索性問題的特征是題目的條件不充分或沒有確定的思路、結(jié)論，所以其解題策略往往也是多樣的。它為學(xué)生提供了更多的交流與合作的機(jī)會(huì)，為充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用創(chuàng)造了條件。數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)過程是學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建、積極參與的過程，更有利于激發(fā)學(xué)生的探索欲、求知欲、創(chuàng)新欲，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，真正地學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)的思維”。 1、在“一題多解”中培養(yǎng)發(fā)散思維的靈活性<例>求證：證法1：（運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度） 證法2：（逆用半角公式統(tǒng)一角度） 證法3：（運(yùn)用萬能公式統(tǒng)一函數(shù)種類）設(shè) 證明4：(構(gòu)法分母并促使分子重新組合，在運(yùn)算形式上得到統(tǒng)一) 證法5：可用變更論證法。只要證下式即可。證法6

6、：由正切半角公式，利用合分比性質(zhì)，則命題得證。 通過一題多解引導(dǎo)學(xué)生歸納證明三角恒等式的基本方法：(1)統(tǒng)一函數(shù)種類；(2)統(tǒng)一角度；(3)統(tǒng)一運(yùn)算。 “一題多解”模式,在一定程度上,可以很好的吸引學(xué)生從多角度觀察、思考、聯(lián)想、概括并獲得多種解題途徑,從而不斷掀起學(xué)生的思維浪花,使他們既開闊了視野,又增添了興趣,也感受到數(shù)學(xué)的美妙與情趣,更培養(yǎng)了發(fā)散思維的靈活性。2、在“一題多探”中培養(yǎng)發(fā)散思維的深刻性“一題多探”的教學(xué)模式有如下兩種形式的教學(xué)設(shè)計(jì):結(jié)論開放和條件開放。 “一題多探”的兩種設(shè)計(jì),實(shí)際上就是結(jié)論開放和條件開放兩種類型的數(shù)學(xué)習(xí)題。可以看出這是一種思維能力訓(xùn)練力度較大的教學(xué)設(shè)計(jì),其特

7、點(diǎn)是讓學(xué)生直接參與到數(shù)學(xué)習(xí)題形成的過程之中,這樣,真正收到了由表及里、舉一反三、觸類旁通的功效。通過一題多問、一題多思,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力有積極地作用,同時(shí),還能激發(fā)學(xué)生的探索精神。<例>已知：(1)，(2)，由此可得到哪些結(jié)論？ 讓學(xué)生進(jìn)行探索，然后相互討論研究，各抒己見。 想法一：(1)2(2)2可得（兩角差的余弦公式）。 想法二：(1)×(2)，再和差化積： 結(jié)合想法一可知：想法三：(1)2-(2)2再和差化積：結(jié)合想法一可知：可得 想法四：，再和差化積約去公因式可得：，進(jìn)而用萬能公式可求：、。 想法五：由消去得： 消去可得（消參思想） 想法六：(1)+(2

8、)并逆用兩角和的正弦公式： (1)-(2)并逆用兩角差的正弦公式。 想法七：(1)×3-(2)×4： 即 則、均可求。 開放型題目的引入，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來思考，不僅僅思考條件本身，而且要思考條件之間的關(guān)系。要根據(jù)條件運(yùn)用各種綜合變換手段來處理信息、探索結(jié)論，有利于思維起點(diǎn)靈活性的培養(yǎng)，也有利于孜孜不倦的鉆研精神和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。3、在“一題多變”中培養(yǎng)發(fā)散思維的廣闊性“一題多變”模式是將數(shù)學(xué)問題的條件、結(jié)論同時(shí)發(fā)散,就是對(duì)一個(gè)問題由特殊到一般或由特殊到特殊地推廣,一般是把條件或結(jié)論進(jìn)行相似變換,即在條件元素的數(shù)量上或維數(shù)上進(jìn)行推廣。例如:在幾何方面,常表現(xiàn)為線段或邊數(shù)

9、(角數(shù))的增加或從平面到空間進(jìn)行推廣;在代數(shù)方面常表現(xiàn)為變量個(gè)數(shù)的遞增;在三角方面常表現(xiàn)為角度或含角的三角函數(shù)量的擴(kuò)充等.總之,對(duì)不同側(cè)面的數(shù)量變化的研究,可推出不同方面的命題,有時(shí)也是一種類比性質(zhì)的推廣,往往會(huì)得到一些形式相似地結(jié)論。例5 設(shè)O是三棱錐V-ABC的頂點(diǎn)V在底面上的射影,則O是ABC的垂心的充要條件是三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,對(duì)此命題從不同方向發(fā)散可得如下一系列命題.(在以下的命題中,前題都是O是三棱錐V-ABC頂點(diǎn)V在底面上的射影)命題1：O是ABC的垂心的充要條件是三棱錐的相對(duì)棱垂直;命題2：O是ABC的垂心的充要條件是三棱錐的三個(gè)側(cè)面與其對(duì)棱兩兩垂直;命題3：O是ABC的

10、內(nèi)心的充要條件是三棱錐三條斜高相等; 命題4：O是ABC的內(nèi)心的充要條件是三棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等;命題5：O是ABC的內(nèi)心的充要條件是三棱錐的三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等;命題6：O是ABC的內(nèi)心的充要條件是三棱錐的三條側(cè)棱與其共點(diǎn)的兩棱所成角相等;命題7：O是ABC的外心的充要條件是三棱錐三條側(cè)棱相等;命題8：O是ABC的外心的充要條件是三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成角相等. 例6：對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n1)d，顯然，四個(gè)變量中知道三個(gè)即可求另一個(gè)（解方程）。如“an為等差數(shù)列，a1，d2問9為第幾項(xiàng)”等等。然后，放手讓學(xué)生自己編寫題目。編題過程中學(xué)生要對(duì)公式中變量的取值范圍、

11、變量之間的內(nèi)在關(guān)系、公式的適用范圍等有全面的掌握。否則，信手拈來會(huì)鬧出笑話。上題中，若改d3，則9為第項(xiàng)，顯然荒謬。如此，學(xué)生對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的掌握會(huì)比較全面，而且能站在較高層次來看待問題，提高思維遷移的靈活性。從上述“一題多變”模式的教學(xué)設(shè)計(jì)來看,實(shí)際上就是“變式”訓(xùn)練,這樣由一個(gè)習(xí)題發(fā)散出另一類習(xí)題,形成一浪高過一浪的氣勢(shì),使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的興趣,使他們?cè)谔魬?zhàn)中尋找樂趣,同時(shí)可充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的探索、創(chuàng)新精神。授人以魚,享受一時(shí),授人以漁,終身受益。在平時(shí)教學(xué)中,教師要積極引導(dǎo)鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與,只有長(zhǎng)期堅(jiān)持這種訓(xùn)練,才能提高學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)習(xí)題的層次、拓展認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的視野,從而培養(yǎng)

12、了學(xué)生發(fā)散思維的廣闊性。作為一名數(shù)學(xué)老師，在教學(xué)中我非常喜歡聽取學(xué)生的觀點(diǎn)、看法，為學(xué)生創(chuàng)造自我表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，因?yàn)槟鞘窃谂c學(xué)生共同分享數(shù)學(xué)的思維與靈活，是在體會(huì)數(shù)學(xué)與其它學(xué)科不同的魅力，數(shù)學(xué)的教學(xué)絕對(duì)不能是一言堂，數(shù)學(xué)的教學(xué)必須是把機(jī)會(huì)留給學(xué)生。通迅地址：貴州省盤縣四中 封雙樸聯(lián)系電話編：553532高中數(shù)學(xué)教學(xué)-給學(xué)生留一點(diǎn)空間關(guān)鍵詞：中學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué) 空間內(nèi)容摘要：高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，長(zhǎng)期以來，處在講練模式下進(jìn)行，大部分教學(xué)基本上是一個(gè)模式：教師講，學(xué)生聽，然后學(xué)生練，教師又講，學(xué)生處在一種被動(dòng)情況下接受知識(shí)，在高考指揮棒的作用下，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)是處在大量的題海訓(xùn)練

13、之中，教師的思維控制代替著學(xué)生的思維，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的開發(fā)不利，學(xué)生自主思考、自我發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)相對(duì)較少，從而抹殺了學(xué)生的創(chuàng)新求異思維，因此高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)給學(xué)生留一點(diǎn)空間，給學(xué)生創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)、思考、表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，充分挖掘?qū)W生內(nèi)在的思維潛力。把機(jī)會(huì)還給學(xué)生，學(xué)生會(huì)還給課堂一個(gè)驚喜。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該有兩個(gè)目的：一是延續(xù)學(xué)生的認(rèn)知過程，教給學(xué)生新知識(shí)，使學(xué)生進(jìn)一步站在更高的角度去看待分析問題，二是培養(yǎng)學(xué)生形成良好的具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維，從而解決數(shù)學(xué)問題及實(shí)際問題，進(jìn)一步形成解決分析問題的能力，基于數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須把機(jī)會(huì)留給學(xué)生，給學(xué)生創(chuàng)造維的空間。長(zhǎng)期以來，我們經(jīng)常無形中是在代替學(xué)生思考，

14、幫助學(xué)生解決本不應(yīng)該解決的問題，從而占據(jù)學(xué)生大部分思考的空間，抹殺了學(xué)生的創(chuàng)新求異思維，我們所展示的思維對(duì)學(xué)生的幫助并不大，這些思維永遠(yuǎn)是教師自己的思維，正是我們教師的代替，使得很多具有創(chuàng)造性、獨(dú)特性的的思維消失了，因?yàn)閷W(xué)生是在教師的控制下進(jìn)行學(xué)習(xí)的，學(xué)生自己的思維沒有足夠的空間進(jìn)行展示，筆者認(rèn)為，一個(gè)人必竟只有一個(gè)大腦，再敏捷的思維都必然有一定局限性，對(duì)同一個(gè)問題，想得再全面，終究是一個(gè)大腦在思維，但作為一名教師，面對(duì)的不是一個(gè)學(xué)生，因而決定了不同的思維，作為教師，我們應(yīng)該相信，在這么多的學(xué)生中，必然存在創(chuàng)造性的思維，這是不可否認(rèn)的，有時(shí)學(xué)生的思維，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教師們的想象，遠(yuǎn)遠(yuǎn)出乎教師的意料，

15、它將給教師們帶來意想不到的驚喜。教師，如果不給學(xué)生思考的空間，不去啟動(dòng)學(xué)生的思維，就談不上對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。長(zhǎng)期以來，多數(shù)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，除了講還是講，除了練還是練，學(xué)生練得辛苦，教師埋怨，埋怨學(xué)生講了這么多遍為什么還不會(huì)。作為為教師，講得越多，學(xué)生的負(fù)擔(dān)就越重，學(xué)生的時(shí)間就浪費(fèi)越嚴(yán)重，教師如何做才能使學(xué)生多一份自信，多一點(diǎn)希望，才能使學(xué)生少一點(diǎn)困惑，數(shù)學(xué)教學(xué)，把機(jī)會(huì)留給學(xué)生，是課程改革的一個(gè)導(dǎo)向，是還學(xué)生的一個(gè)公平。一、 給學(xué)生留點(diǎn)希望數(shù)學(xué)教學(xué)，千萬不能站在自己的立場(chǎng)、自己的觀點(diǎn)來要求學(xué)生，以表揚(yáng)鼓勵(lì)為主，切忌挖苦諷刺打擊，讓學(xué)生多一點(diǎn)自信，少一點(diǎn)自卑，教師要以引導(dǎo)啟發(fā)為主，直到學(xué)生發(fā)現(xiàn)

16、為止。二、 把思考的機(jī)會(huì)留給學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)，是教師啟發(fā)學(xué)生參與的教學(xué)，它決不可能是教師個(gè)人的舞臺(tái)，學(xué)生也不能是忠實(shí)的觀眾，它是教師誘導(dǎo)，學(xué)生探究交流，師生共同探討解決問題的過程。一次意外的發(fā)現(xiàn)，讓筆者更加感受到給學(xué)生機(jī)會(huì)的重要性，讓筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維潛力的存在。筆者在講授正射影和三垂線定理（人教版）時(shí)，遇到一例題（見9B版）第23頁例4，原題為：求證：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的角平分線上。教材上的做法是先連接角的頂點(diǎn)與射影，然后證平面內(nèi)的兩個(gè)三角形全等來達(dá)到目的，對(duì)這道題，筆者啟發(fā)，還有其它方法嗎？學(xué)生思維后發(fā)現(xiàn)，教材的證法并不算簡(jiǎn)便，此題可用角

17、平分線的逆定理：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上，而這個(gè)距離恰好就是已知中相等距離在平面上的射影，真所為經(jīng)典。學(xué)生的這一發(fā)現(xiàn)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣將產(chǎn)生不可低估的作用，因?yàn)閷W(xué)生發(fā)現(xiàn)的方法居然比教材上的方法還簡(jiǎn)單。三、 把發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)留給學(xué)生數(shù)學(xué)教學(xué)，其中還有一個(gè)培養(yǎng)方向，那就是培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，如果教師忽略這一點(diǎn)，那將給學(xué)生留下遺憾，給自己留下缺陷。現(xiàn)舉兩例：（1）若函數(shù)f（x）的反函數(shù)f(x)=1+x(x<0)，則f（2）的值為（）、 B、或、此題不需要計(jì)算就知道選哪一個(gè)正確答案，只需要讓學(xué)生觀察，所求為函數(shù)的值域?yàn)榉春瘮?shù)的定義域，已知反函數(shù)的定義域x<0，故答案只有B（）（9遼寧）曲線+=1（m<6）與曲線+=1（5<n<9）的（ ）A焦距相等 B離心率相等 C焦點(diǎn)相同 D準(zhǔn)線相同對(duì)于這道高考題重在考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)及學(xué)生的觀察能力，而不是考察學(xué)生的計(jì)算，對(duì)于這類題，應(yīng)充分組織學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生從所給的信息中很容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)于第一條曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，對(duì)于第二條曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，從這一發(fā)現(xiàn)便可排出B、C、D三個(gè)答案，直接選A總之，高中學(xué)生學(xué)習(xí)的壓力很大，它需要不同的教學(xué)形式加以調(diào)節(jié)，尤其是要調(diào)動(dòng)學(xué)生內(nèi)在的激情、興趣和智力潛能?，F(xiàn)在的高中課堂，教師教得累，學(xué)生學(xué)得苦，師生們一起