中考幾何輔助線精典模型(word版)

1、中點(diǎn)模型【模型1】倍長1、倍長中線；2、倍長類中線；3、中點(diǎn)遇平行線延長相交【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn),構(gòu)造中位線1、直接連接中點(diǎn)；2、連對角線取中點(diǎn)再相連【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中,/ABC=60°,G是DF的中點(diǎn),連接GC、GE.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí),假設(shè)AB=10,BF=4,求GE的長；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí),線段GE、GC有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系,寫出你的猜測,并給予證實(shí)；(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時(shí),(2)問中的關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜測,并給予證實(shí).【解答】(1)延長EG交CD于點(diǎn)H易證實(shí)CHGACEG,那么GE=iV3DHCA

2、BJ(2)延長CG交AB于點(diǎn)I,易證實(shí)BCEAFIE,那么CEI是等邊三角形,GEDC1、AIBF(3)DCJF【例2】如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是E=/BAF.(1)求證：CE=CF;(2)假設(shè)/ABC=120°,點(diǎn)G是線段AF的中點(diǎn),連接.e類似的為什么要延長CG呢,可以延長EGQ嗎？=73GC,且GEXGC,什么是證實(shí)BCEC04FIE你理解嗎？、)廠廠你能寫出解題思二號*路和過程嗎?3C、CD上一點(diǎn),連接DE、EF,且AE=AF,/DAEDG、EG,求證：DGEG.ADBEC【解答】(1)證實(shí)ABEAADF即可；(2)延長DG與AB相交于點(diǎn)H,連接HE,證實(shí)HBEA

3、EFD即可【例3】如圖,在凹四邊形ABCD中,AB=CD,E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),BA交EF延長線于G點(diǎn),CD交EF于H點(diǎn),求證：/BGE=ZCHE.【解答】取BD中點(diǎn)可證,如下圖:BC角平分線模型【模型1】構(gòu)造軸對稱【模型2】角平分線遇平行構(gòu)等腰三角形【例4】如圖,平行四邊形ABCD中,AE平分/BAD交BC邊于E,EFXAE交邊CD于F點(diǎn),交AD邊于H,延長BA至ijG點(diǎn),使AG=CF,連接GF.假設(shè)BC=7,DF=3,EH=3AE,那么GF的長為.【解答】延長FE、AB交于點(diǎn)I,易得CE=CF,BA=BE,設(shè)CE=x,貝UBA=CD=3+x,BE=7-x,3+x=7-x,x=2,A

4、B=BE=5,AE=710,作AJXBC,連接AC,求得GF=AC=312手拉手模型【條件】OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD【結(jié)論】OACOBD,ZAEB=ZAOB=ZCOD即都是旋轉(zhuǎn)角；OE平分/AED【例5】2021重慶市A卷如圖,正方形導(dǎo)角核心圖形：八字形CD上,且DE2CE,連接BE.過點(diǎn)C作CFXBE,垂足是F,連接OF,那么OF的長為ADABCD的邊長為6,點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn),【答案】6/55【例6】如圖,ABC中,/BAC=90°,AB=AC,AD,BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC邊上,連接BE,AGXBE于F,交BC于點(diǎn)G,求/DFG.【答案】45AG是AD

5、延長線假設(shè)BH=8,那么FG【例712021重慶B卷如圖,在邊長為6#的正方形ABCD中,E是AB邊上一點(diǎn),一點(diǎn),BE=DG,連接EG,CF,EG交EG于點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,連接CE、BH.【答案】5.2鄰邊相等對角互補(bǔ)模型【模型1】【條件】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180【結(jié)論】AC平分/BCDA【模型2】【條件】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°【結(jié)論】/ACB=/ACD=45°BC+CD=j2AC例8如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=5,G為CD中點(diǎn),DE=DG,56,8£于5

6、,貝UDF為AB例9如圖,正方形ABCD的邊長為3,延長CB至點(diǎn)M,使BM=1,連接AM,過點(diǎn)B作BNLAM,垂足為N,O是對角線AC、BD的交點(diǎn),連結(jié)ON,那么ON的長為.【例10如圖,正方形ABCD的面積為64,那么DG的長為.BCE是等邊三角形,F是CE的中點(diǎn),AE、BF交于點(diǎn)G,【答案】473+4模型又來了!半角模型【模型1】【條件】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,/EAF=1BBAD,點(diǎn)E在直線BC上,點(diǎn)F在直線CD上2【結(jié)論】BE、DF、EF滿足截長補(bǔ)短關(guān)系【模型2】【條件】如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是邊BC

7、、CD上的點(diǎn),且滿足/EAF=45°,AE、AF分別與對角線BD交于點(diǎn)M、N.【結(jié)論】BE+DF=EF;SabeSadfSaef；AH=AB;Cecf2AB;BM2+DN2=MN2;ANMsdNFsBEMsAEFsBNAsDAM由AO:AH=AO:AB=1:應(yīng)可得到ANM和AAEF相似比為1:應(yīng)SamnS四邊形mnfe；AOMADF;AONsABE;AEN為等腰直角三角形,/AEN=45°,AAFM為等腰直角三角形,/AFM=45°A、M、F、D四點(diǎn)共圓,A、B、E、N四點(diǎn)共圓,M、N、F、C、E五點(diǎn)共圓.【模型2變形】【條件】在正方形ABCD中,E、F分別是CB

8、、DC延長線上的點(diǎn),且滿足/EAF=45【結(jié)論】BE+EF=DF【模型2變形】【條件】在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD延長線上的點(diǎn),且滿足/EAF=45°【結(jié)論】DF+EF=BE【例11如圖,4ABC和DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,/BAC=/EDF=90°,ADEF的頂點(diǎn)E與4ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合,將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,射線EF與線段AB相交于點(diǎn)G,與射線CA相交于點(diǎn)Q.假設(shè)AQ=12,BP=3,那么PG=.BPBE-=TTCECQ【解答】連接AE,題目中有一線三等角模型和半角模型設(shè)AC=x,由BPCsCEQ得c

9、,/上上一3/(x)=2x/(x+12),解得x=12設(shè)PG=y,由AG2+BP2=PG2得32+(123x)2=x2,解得x=5【例12】G,連接【解答】如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點(diǎn)E、F在AB、AD上,且AE=DF.連接BF與DE交于點(diǎn)CG與BD交于點(diǎn)H,假設(shè)CG=1,那么S四邊形bcdq=.一線三等角模型【條件】/EDF=ZB=ZC,且DE=DF【結(jié)論】BDEACFDABDC【例13如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E、F、G分別為AB、BC、CD邊上的點(diǎn),EB=3,GC=4,連接EF、FG、GE恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,那么正方形的邊為.【解答】如圖,構(gòu)造一線三等角模型,EFHAFGI

10、那么BC=BF+CF=HF-BH+FI-CI=GI-BH+HE-CI=和ADHBFCI弦圖模型正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段新構(gòu)成了同心的正方形【例14】如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上一點(diǎn),點(diǎn)F在DE的延長線上,G,/FAB的平分線交FG于點(diǎn)DG=.H,過點(diǎn)D作HA的垂線交HA的延長線于點(diǎn)AF=AB,AC與FD交于點(diǎn)I.假設(shè)AH=3AI,FH=2f2,那么IDAB【例15如圖,ABC中,/BAC=90°,AB=AC,AD,BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AC中點(diǎn),連接BE,作AGLBE于F,交BC于點(diǎn)G,連接EG,求證：AG+EG=BE.【解答】過點(diǎn)C作CH,AC交AG的延長線于點(diǎn)H,易證H最

11、短路徑模型【兩點(diǎn)之間線段最短】1、將軍飲馬A.BT/1*1P.02、費(fèi)馬點(diǎn)【兩邊之差小于第三邊】【例16如圖,矩形ABCD是一個(gè)長為1000米,寬為600米的貨場,A、D是入口,現(xiàn)擬在貨場內(nèi)建一個(gè)收費(fèi)站P,在鐵路線BC段上建一個(gè)發(fā)貨站臺H,設(shè)鋪設(shè)公路AP、DP以及PH之長度和為1,求l的最小值.【解答】600500J3,點(diǎn)線為最短.【例17如圖,E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AE=DF,連接CF交BD于G,連接BE交AG于H,假設(shè)正方形的邊長為2,那么線段DH長度的最小值為.【解答】如圖,取AB中點(diǎn)P,連接PH、PD,易證PH>PD-PH即DH><5-1.【

12、例18如下圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=4<2,E是線段AB的中點(diǎn),F是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),BEF沿直線EF翻折到BEF,連接DB,DB最短為【解答】4哪個(gè)點(diǎn)是圓心？應(yīng)該將圓心與哪個(gè)點(diǎn)相連？用誰減去誰呢？【例19如圖1,DABCD中,AELBC于E,AE=AD,EGXAB于G,延長GE、DC交于點(diǎn)F,連接AF.(1)假設(shè)BE=2EC,AB=J13,求AD的長；(2)求證：EG=BG+FC;(3)如圖2,假設(shè)AF=5<2,EF=2,點(diǎn)M是線段AG上一動(dòng)點(diǎn),連接ME,將GME沿ME翻折到GME,連接DG,試求當(dāng)DG取得最小值時(shí)GM的JADBE<VCB圖1FE【解答】(1)3

13、(2)如下圖ADHF(3)當(dāng)DG最小時(shí)D、E、G三點(diǎn)共線AD4/BEyCFA_DADeWcBeWc到2F備用圖F、y0為什么這樣做輔助線？還后同他方法嗎？-L._T-為什么為什么為什么？(自己去算吧！JT*A.>解得GMGNMN3173課后練習(xí)題ABE,/AEB=90°,AC、BD交于O.已【練習(xí)1】如圖,以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形知AE、BE的長分別為3、5,求三角形OBE的面積.【練習(xí)2】1問題1:如圖1,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,AB=BC=CD,點(diǎn)M,N分別在AD,CD上,/MBN2/ABC,試探究線段MN,AM,CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜測；問題2:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=BC,/ABC+/ADC=180°,點(diǎn)M,N分別在DA,CD延長線,假設(shè)/MBN=1/ABC仍然成立,請你進(jìn)一步探究線段MN,AM,CN又有怎么樣的關(guān)量關(guān)系？寫出你2的猜測,并給予證實(shí).圖1圖2【解答】問題一方法一：如下圖方法二：如下圖問題二方法一方法【練習(xí)3】：如圖1,正方形ABCD中,為對角線BD上一點(diǎn),過E