數(shù)學(xué)相似三角形(競(jìng)賽題專頁)

1、幾何：·GAODBECQPNM2、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OAMN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q求證：APAQ（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：·OQPBDECNM·A設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q求證：APAQ（初二）ODBFAECP4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D求證：ABDC，BCAD（初三）2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBAPDA求證：PABPC

2、B（初二）PADCBEDCBA4、如圖，ABC中，ABCACB800，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DCA300，EBA200，求BED的度數(shù)1. ABC的頂點(diǎn)B在O外，BA、BC均與O相交，過BA與圓的交點(diǎn)K引ABC平分線的垂線，交O于P，交BC于M。求證：線段PM為圓心到ABC平分線距離的2倍。2.在ABC中，AP為A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BHAP于H，AM的延長(zhǎng)線交BH于Q，求證：PQAB。3.菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求證：MQNP。4.ABCD是圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角線

3、交于P，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KPAB。5.以ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點(diǎn)M。求證：AMBC。6.ABC內(nèi)接于O，P是弧 AB上的一點(diǎn)，過P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。7.已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證：O1AO2=M1AM2。5.如圖，已知BAC=90

4、º,ADBC, 1=2,EFBC, FMAC,說明FM=FD的理由6.如圖，已知ABD和ACE是直角三角形，ABD=ACE=90°，BAD=CAE，連接DE，點(diǎn)M為DE邊中點(diǎn)，求證：BM=CM。7.如圖，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC邊中點(diǎn)，求證：BMD為等腰直角三角形。22.如圖，在平行四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E滿足EDAD于D，EBCEDC，ECB45º，請(qǐng)?jiān)趫D中找出與BE相等的一條線段，并予以證明11如圖，ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是ABD和ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證： 20以A

5、BC的邊AB、AC為邊向形外作等邊ABM、CAN，BN和CM交于一點(diǎn)P。試判斷：APM、APN的大小關(guān)系，并加以證明。1、已知：如圖，O1和O2兩個(gè)等圓，過O1、O2的中點(diǎn)M的直線交圓O1于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交O2于點(diǎn)C、點(diǎn)D。求證：AB=CD 2、已知：如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，AB=AC，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線連結(jié)A、D交O于點(diǎn)E。求證：AB·CE=AE·CD。3、已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AC平分BAD，DC的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，如果AC=CE，求證：AD=BE。5、已知：如圖，AB是O的直徑，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過E作O的切線ED，切點(diǎn)為C，ADE

6、D交ED于點(diǎn)D，交O于點(diǎn)F，CGAB交AB于點(diǎn)G。求證：BG·AG=DF·DA。6、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AC是O的直徑，DEAC于E，DE的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線相交于F。求證：CD2=CB·CF。7、已知：如圖，ABC內(nèi)接于O，BAC的平分線交O于點(diǎn)D，交O的切線BF于點(diǎn)F，B為切點(diǎn)。求證（1）BD平分CBF；（2）AB·BF=AF·CD。8.凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作AD的平行線分別交AB、CD于E、F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，解答圖求證：4、在ABC中,ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，M是CD的

7、中點(diǎn)，若，求證：。18如圖，在RtABC中，C=90°，A的平分線AD交BC邊于D，求證：【例1】 （2007年北師大附中試題）如圖，中，于，于，于，交于，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，求證：.【鞏固】（河南省初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接。求證：?！眷柟獭浚?001青島市中考題）已知，如圖正方形內(nèi)接于，在斜邊上，于。求證：（1）；（2）?！玖?xí)題1】 如圖，在直角梯形中，對(duì)角線，垂足為，過的直線交于 ， 23（1）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，ABD=60°，BCD=120°，證明：BC+DC=AC(1) 如圖，四邊形ABCD中，AB=BC

8、，ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且APD=120°，證明：PA+PD+PCBD (江蘇省競(jìng)賽題)18如圖，ABC中，ABC=1000，ACB的平分線交AB于E，在AC上取一點(diǎn)D，使CBD=200，連結(jié)DE求CED的度數(shù)20如圖，P是ABC的BAC的外角平分線上一點(diǎn)(1)求證：PB+PCAB+AC；(2)若P是ABC的BAC的平分線上一點(diǎn)且ACAB，畫出圖形，試分析PB、PC、AB、AC間又有怎樣的不等關(guān)系?如圖，ABC和AlBlC1均為正三角形，BC和B1C1的中點(diǎn)均為D求證：AA1CC1(重慶市競(jìng)賽題)18如圖，正方形ABCD中，M為AD中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作BM

9、N=MBC，MN交CD于N，求證：DN=2NC20如圖，ABC中，ACB=2ABC，求證：AB2=AC2+AC×BC21如圖，AB是等腰直角三角形的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上，沿直線MN將MCN翻折，使點(diǎn)C落在AB上，設(shè)其落點(diǎn)為點(diǎn)P (1)當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：； (2)當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，是否仍然成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論 (2001年北京市宣武區(qū)中考題) 22如圖，若，求證：(武漢市選拔賽試題)【例1】 已知：如圖，、都是等邊三角形，且、共線，求證：也是等邊三角形16、如圖9，ABC中，A=2B，由頂點(diǎn)C作A的平分線AD的垂線CF，垂足為F，求證：CF經(jīng)過AB

10、C的外心。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)講義第十三講 相似三角形 相似三角形的性質(zhì)是幾何證明的重要工具，是證明線段和差問題、相等問題、比例問題、角相等問題的重要方法，本講即探究該問題. 一 競(jìng)賽知識(shí)回顧 1、相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線，角平分線，高線，周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方. 2、相似三角形的判定方法 （1）三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 （2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似 （3）兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似. 3、相似三角形中幾個(gè)的基本圖形 4、由相似三角形得到的幾個(gè)常用定理 定理1 平行于三角形一邊的直線截得的三角形與原三角

11、形形似. 如圖，若,則,或. 定理2 平行切割定理 如圖，分別是的邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于,若,則 定理3 （平行線分線段成比例定理）兩條直線被一組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 如圖，若，則 , 定理4（角平分線性質(zhì)定理） 如圖，分別是的內(nèi)角平分線與外角平分線，則.定理5 射影定理直角三角形斜邊上的高分原三角形成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)三角形與原三角形相似.定理1 角平分線的的性質(zhì)定理 二 賽題講解1 利用相似證明角相等例1 如圖，中，,是邊的中點(diǎn)，垂足為,交于點(diǎn). (1) 求證：(2) 若,求的面積.練習(xí) 在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：.2 利用相似證明線段相等例2 已知點(diǎn)分別在矩形的邊上，分

12、別交于點(diǎn)，求證：.練習(xí) 1、如圖，梯形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線分別交于點(diǎn)，求證.2、如圖，中，于，分別是的中點(diǎn)，于，求證:.3 證明比例（等積）線段例3 如圖，為的兩條角平分線，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，若，求證： 例4 如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，直線平行于，且與及的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)和，求證：練習(xí)1、如圖，在中，是的平分線，的垂直平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).求證:2、是的高線，過作的垂線，垂足為，與及的延長(zhǎng)線分別相交于，求證：3、是的角平分線，求證：4 求線段比例5 是正方形，是的中點(diǎn)，聯(lián)接交于，求.練習(xí) 1、梯形中，,對(duì)角線于點(diǎn)，若，求的值. 2、如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)的直線順

13、次與及的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn),若求的長(zhǎng).5 證明線段（線段比）和差例6 如圖，已知分別是和的中點(diǎn)，過的直線依次交于點(diǎn).求證:.練習(xí) 如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，分別與對(duì)邊交于點(diǎn)，求證：. 6 證明垂直 例7 如圖，分別是正方形的邊上的點(diǎn)，且，過作的垂線，垂足分別為，求證：. 練習(xí)題1、如圖，中，是邊上的高，是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，求證：2、與均為等邊三角形，和的中點(diǎn)均為，求證：7 證明平行例8 如圖，在矩形中，是邊上的點(diǎn)，滿足，又是上的點(diǎn)，滿足與相交于點(diǎn)，與相交于求證：練習(xí)題 如圖，兩個(gè)等邊頂點(diǎn)重合，過點(diǎn)作的平行線，分別交于. （1）求證：平分. (2) 求證：.8 利用相似三角形的面積比 例9 在的內(nèi)部取點(diǎn)，過點(diǎn)作3條分別與的三邊平行的直線，這樣所得的3個(gè)三角形的面積分別為4,9,49，求的面積.練習(xí) 1、是斜邊上的高，求證： 2、梯形中,點(diǎn)在上，且,若直線平分梯形的面積，（1）求的長(zhǎng)，（2）求的值練習(xí)題 1、已知平行四邊形中，為的三等分點(diǎn)，分別