傅立葉變換在圖像處理中的作用

1、傅立葉變換在圖像處理中的作用摘要：本文首先簡述了傅立葉變換的原理及應(yīng)用領(lǐng)域，介紹了傅立葉變換在數(shù)字圖象處理中的重要地位和應(yīng)用,分析了其變換的數(shù)學(xué)原理和方法，特別著重的是二維傅立葉變換和FFT(快速傅立葉變換)的原理，然后介紹了Matlab軟件，分析了Matlab的好處，及其在數(shù)字圖像處理和傅立葉變換計(jì)算上的使用，編出程序?qū)崿F(xiàn)了其變換功能，給出了應(yīng)用于圖象壓縮和圖像去噪的實(shí)例。關(guān)鍵詞： 圖象處理 傅立葉變換 Matlab 正文 傅里葉變換是將時(shí)域信號(hào)分解為不同頻率的正弦信號(hào)或余弦函數(shù)疊加之和。傅立葉變換是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，其通過在時(shí)空域和頻率域來回切換圖像，對(duì)圖像的信息特征進(jìn)行提取和分析，

2、簡化了計(jì)算工作量，被喻為描述圖像信息的第二種語言，廣泛應(yīng)用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。因此，對(duì)涉及數(shù)字圖像處理的工作者，深入研究和掌握傅立葉變換及其擴(kuò)展形式的特性，是很有價(jià)值得。把傅立葉變換的理論通其物理解釋相結(jié)合，將有助于解決大多數(shù)圖像處理問題。傅里葉變換可分為連續(xù)傅里葉變換、離散傅里葉變換、快速傅里葉變換。3.1.1 連續(xù)傅里葉變換函數(shù)f(x)的傅里葉變換存在的條件是滿足狄里赫萊條件，即：1）具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；2）具有有限個(gè)極值點(diǎn)；3）絕對(duì)可積。（1）一維連續(xù)傅里葉變換及反變換： 單變量連續(xù)函數(shù)f(x)的傅里葉變換F(u)定義為：其中，x稱為時(shí)域變量，u為頻率變量。

3、當(dāng)給定F(u)，通過傅里葉反變換可以得到f(x)（2）二維連續(xù)傅里葉變換及反變換：二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換F(u,v) 定義為：x,y為時(shí)域變量，u,v為頻域變量。當(dāng)給定F(u,v)，通過傅里葉反變換可以得到f(x,y)： 離散傅里葉變換連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換是連續(xù)波形分析的有力工具，但要把傅里葉變換應(yīng)用到數(shù)字圖像處理中，就必須要處理離散數(shù)據(jù)，而離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）的提出使得這種數(shù)學(xué)方法能夠和計(jì)算機(jī)技術(shù)聯(lián)系起來。（1）一維離散傅里葉變換及反變換：單變量離散函數(shù)f(x)（x=0，1，2，M-1）的傅里葉變換F(u)定義為： u=

4、0，1，2，M-1當(dāng)給定F(u)，通過傅里葉反變換可以得到f(x)x=0，1，2，M-1由歐拉公式 有： （2）二維離散傅里葉變換及反變換： 圖像尺寸為MN的函數(shù)f(x,y)的DFT為：其中u=0，1，2，M-1， v=0，1，2，N-1；u和v是頻率變量，x和y是空間或圖像變量。當(dāng)給定F(u,v)，通過傅里葉反變換可以得到f(x,y)：其中x=0，1，2，M-1， y=0，1，2，N-1；u和v是頻率變量，x和y是空間或圖像變量。 快速傅里葉變換快速傅里葉變換(FFT)是計(jì)算離散傅里葉變換(DFT)的快速算法。離散傅里葉變換運(yùn)算量巨大，計(jì)算時(shí)間長，即運(yùn)算時(shí)間很長。而快速傅里葉變換的提出將傅里

5、葉變換的復(fù)雜度由降到了，很大程度上減少了計(jì)算量。 令，u=0，1，2，M-1則，3.2 傅立葉變換在圖像處理中的重要作用：1. 圖像增強(qiáng)與圖像去噪絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻噪聲；邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強(qiáng)原始圖像的邊緣；2. 圖像分割之邊緣檢測(cè)提取圖像高頻分量3. 圖像特征提取：形狀特征：傅里葉描述子紋理特征：直接通過傅里葉系數(shù)來計(jì)算紋理特征其他特征：將提取的特征值進(jìn)行傅里葉變換來使特征具有平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性4. 圖像壓縮可以直接通過傅里葉系數(shù)來壓縮數(shù)據(jù)；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實(shí)變換；3.3 Matlab軟件Matlab是一種

6、科學(xué)計(jì)算軟件，專門以矩陣的形式處理數(shù)據(jù)。MATLAB 將高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化集成在一起，構(gòu)成了一個(gè)方便的、界面友好的用戶環(huán)境，并提供了大量的內(nèi)置函數(shù)。從而被廣泛地應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、控制系統(tǒng)、信息處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、小波分析等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計(jì)工作，而且利用 MATLAB 產(chǎn)品的開放式結(jié)構(gòu)，可以非常容易地對(duì) MATLAB 的功能進(jìn)行擴(kuò)充，從而在不斷深化對(duì)問題認(rèn)識(shí)的同時(shí)，不斷完善 MATLAB 產(chǎn)品以提高產(chǎn)品自身的競(jìng)爭能力。MATLAB中的數(shù)字圖像是以矩陣形式表示的，這意味著MATLAB強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算能力用于圖像處理非常有利，矩陣運(yùn)算的語法對(duì)MATLAB中的數(shù)字圖像同樣適用。MATLA

7、B圖像處理工具箱支持四種圖像類型，分別為真彩色圖像、索引色圖像、灰度圖像、二值圖像，由于有的函數(shù)對(duì)圖像類型有限制，這四種類型可以用工具箱的類型轉(zhuǎn)換函數(shù)相互轉(zhuǎn)換。MATLAB可操作的圖像文件包括BMP、HDF、JPEG、PCX、TIFF、XWD等格式。3.4 基于Matlab的圖像傅里葉變換實(shí)例分析實(shí)例1：圖像壓縮對(duì)一副灰度圖像而言，先對(duì)行進(jìn)行DCT變換，然后對(duì)列進(jìn)行DCT變換，其變換結(jié)果的能量將主要集中在左上角的位置，即低頻部分。%DCT%圖像壓縮X=imread('rice.tif');%讀取8bit的灰度圖像figure(1);imshow(X);%DCT變換X2=imre

8、size(X,0.0625);%縮小Y=dct(X2);%結(jié)果輸出figure(2);mesh(Y);colormap(jet);colorbar;實(shí)例2：圖像去噪%圖像抑噪X=imread('rice.tif');m,n=size(X);%讀取圖像尺寸Xnoised=imnoise(X,'speckle',0.01);figure(1);%輸出加噪圖像imshow(Xnoised);Y=dct2(Xnoised);I=zeros(m,n);I(1:m/3,1:n/3)=1;%高頻屏蔽Ydct=Y.*I;Y=uint8(idct2(Ydct);figure(2)

9、;imshow(Y);總結(jié)數(shù)字圖像處理技術(shù)是近年來蓬勃發(fā)展的一門新興學(xué)科，在數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量，遙感圖像處理，地理信息系統(tǒng)中得到應(yīng)用廣泛。傅立葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個(gè)有力工具，它使我們能夠定量地分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)，采樣點(diǎn)，電子放大器，卷積濾波器，噪聲，顯示點(diǎn)等地作用（效應(yīng)）。傅立葉變換（FT）是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，其通過在時(shí)空域和頻率域來回切換圖像，對(duì)圖像的信息特征進(jìn)行提取和分析，簡化了計(jì)算工作量，被喻為描述圖像信息的第二種語言，廣泛應(yīng)用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。MATLAB語言簡潔，可讀性強(qiáng)，工具箱涉及的專業(yè)領(lǐng)域廣泛且功能強(qiáng)大。因此，基于Matlab的圖像傅里葉變換具有很強(qiáng)的實(shí)用性。參考文獻(xiàn)：【1】 呂乃光編著，傅立葉光學(xué)，機(jī)械工業(yè)出版社【2】 陳楊 陳榮娟，郭穎揮等編著，MATLAB6.x 圖形編程與圖像處理，西安電子科技大學(xué)出版社【3】 Kenneth R castlman , Digital Image Processi