2022年1-7兩個(gè)重要極限練習(xí)題

1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -1-7 兩個(gè)重要極限練習(xí)題教學(xué)過(guò)程：引入：考察極限limsin xx0x問(wèn)題 1：觀看當(dāng)x0 時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)：0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.x 弧度 sin x x當(dāng) x 取正值趨近于0 時(shí)，sin x1，即limsin x=1 ；xx0x當(dāng) x 取負(fù)值趨近于0 時(shí)， -x0, - x >0, sin- x >0 于是limsin xlimsinx) x0xx0x 綜上所述，得一 limsin x1xlim0xsi

2、n x1的特點(diǎn)：x0x10 ”型，即如形式地應(yīng)用商求極限的法就，得到的結(jié)果是0 ；它是 “002 在分式中同時(shí)顯現(xiàn)三角函數(shù)和x 的冪推廣假如 limx =0, a 可以是有限數(shù)x 0,或，xa就limsinx= limsinx=1xaxx0x例1求 limtan x x0xsin x解limtan x= limcosxlimsin x1limsin xlim11 11x0xx0xx0xcosxx0xx0 cosx例2求 limsin 3x x0x解limsin 3x= lim3sin 3x令3xt 3limsin t3x0xx03xt0t例3求 lim 1cos x x0x22sin 2 xs

3、in2 xsin xsin x解lim 1cos x2= lim2lim2lim 1221 x0xx0x 2x0 2 x 22x0 2xx222例4求 limarcsinx x0x精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -解令 arcsinx =t ，就 x =sint 且 x0 時(shí) t0所以 limarcsin x = limt1x0xt0 sin t例5求 limtan xsin x x0x 3sin xsin xsin x 1cosx解

4、limtan xsin x= limcosxlimcosxx0x 3x0x 3x0x 3= limsin xlim1lim 1cosx1 考察極限lim 1xx0x1) xe xx0 cosxx0x 22問(wèn)題 2：觀看當(dāng)x+時(shí)函數(shù)的變化趨勢(shì)：1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.x11 xx當(dāng) x 取正值并無(wú)限增大時(shí)，11 xx是逐步增大的，但是不論x 如何大， 11 x 的值x總不會(huì)超過(guò)3實(shí)際上假如連續(xù)增大x 即當(dāng)x+時(shí)，可以驗(yàn)證1定的無(wú)理數(shù)e 2.718281828. 1 x 是趨近于一個(gè)確x當(dāng) x-時(shí)，函

5、數(shù) 1綜上所述，得1 xx有類似的變化趨勢(shì)，只是它是逐步減小而趨向于e 二 lim 11 x =elim 1xx1 x =e 的特點(diǎn)：xx（） lim1+ 無(wú)窮小 無(wú)窮大案 ；（）“無(wú)窮小”與“無(wú)窮大”的解析式互為倒數(shù)推廣（）如limx =,a 可以是有限數(shù)x 0,或，就xalim 11 xlim11 x =e；xa xxx（）如limx =0, a 可以是有限數(shù)x 0,或，就xalim11x x lim11x x =exax011變形令=t ，就 x時(shí) t0，代入后得到lim 1t text0假如在形式上分別對(duì)底和冪求極限，得到的是不確定的結(jié)果1 ，因此通常稱之為1 不定型精選名師 優(yōu)秀名師

6、 - - - - - - - - - -第 2 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -例6求lim 12 x xx解令22x =t ，就 x = t當(dāng) x時(shí) t0，21于是lim 12 x = lim 1tt lim 1t t 2 =e 2xxt0t0例7求lim 3x x x2x解令 32x =1+ u ，就 x =2 1 xu當(dāng) x時(shí) u0，11于是lim 3x x = lim 1u 2 ulim 1u u1u 2 x2xu0u01= lim 1u u 1 lim 1u 2 =e -1u0u0例8求

7、lim 1cot xtan x x0解設(shè) t =tan x，就當(dāng) x0 時(shí) t0，1 cotxt1cot x于是lim 1tan x = lim 1t t=ex0t0小結(jié)：兩個(gè)重要極限在求極限過(guò)程中有著很重要的作用，特殊要留意其變式；作業(yè)：見(jiàn)首頁(yè)精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -§2- 1導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)過(guò)程：引入：一、兩個(gè)實(shí)例實(shí)例 1瞬時(shí)速度考察質(zhì)點(diǎn)的自由落體運(yùn)動(dòng)真空中，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t=0 到時(shí)刻 t 這一時(shí)間段內(nèi)下落的路程s

8、 由公式 s = 1 gt2 來(lái)確定現(xiàn)在來(lái)求t =1 秒這一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度2當(dāng)t 很小時(shí)，從1 秒到 1+ t 秒這段時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度變化不大，可以這段時(shí)間內(nèi)的平均速度作為質(zhì)點(diǎn)在t =1 時(shí)速度的近似t s s ms m/ s t0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度s 隨著tt 變化而變化，當(dāng)t 越小時(shí)，s 越接近于一個(gè)定值9.8m/ s 考察以下各式：ts = 1 g 1+t 2 1 g 12= 1 g

9、2t+t2 ，2s = 1 g 2tt222t t2= 1 g2+t， 2摸索：當(dāng)t 越來(lái)越接近于0 時(shí)，限，得s 越來(lái)越接近于1 秒時(shí)的 “速度 ”現(xiàn)在取t0 的極tlimslim 1 g 2tg=9.8m/ s 0t0 2為質(zhì)點(diǎn)在 t =1 秒時(shí)速度為 瞬時(shí)速度 一般地，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位移規(guī)律是s=f t，在時(shí)刻t 時(shí)時(shí)間有轉(zhuǎn)變量t， s 相應(yīng)的轉(zhuǎn)變量為s =f t+t- f t，在時(shí)間段t 到 t+t 內(nèi)的平均速度為v =sf t ttf t，t對(duì)平均速度取t0 的極限，得vt=limslimf ttf t，t0tt0t稱 v t為時(shí)刻 t 的瞬時(shí)速；爭(zhēng)論類似的例子實(shí)例 2曲線的切線設(shè)方程為

10、y =f x 曲線為 L 其上一點(diǎn)A 的坐標(biāo)為 x 0,f x 0在曲線上點(diǎn)A 鄰近另取一點(diǎn)B ，它的坐標(biāo)是x 0+x , f x 0+x 直線AB是曲線的割線，它的傾斜角記作由圖中的精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -RtACB ，可知割線AB 的斜率tan = CBACyf x 0xxf x 0x在數(shù)量上，它表示當(dāng)自變量從x 變 到 x +x 時(shí)函數(shù) fx 關(guān)于變量 x 的平均變化率增長(zhǎng)率或減小率現(xiàn)在讓點(diǎn) B 沿著曲線 L 趨向于點(diǎn)

11、A ，此時(shí)x0， 過(guò)點(diǎn) A 的割線 AB 假如也能趨向于一個(gè)極限位置直線 AT ，我們就稱L 在點(diǎn) A 處存在 切線 AT 記 ATyf x 0+x BT的傾斜角為，就為的極限，如90，得切線ATA的斜率為Ox 0f x 0Cxtan=limtan =limylimf x 0x f x 0 x 0+xx0x0xx0x在數(shù)量上，它表示函數(shù)f x在 x 處的變化率上述兩個(gè)實(shí)例， 雖然表達(dá)問(wèn)題的函數(shù)形式y(tǒng) =f x 和自變量x 詳細(xì)內(nèi)容不同， 但本質(zhì)都是要求函數(shù) y 關(guān)于自變量x 在某一點(diǎn)x 處的變化率1. 自變量 x 作微小變化x ，求出函數(shù)在自變量這個(gè)段內(nèi)的平均變化率y =x 處變化率的近似；y

12、 ，作為點(diǎn)x2. 對(duì) y 求x0 的極限二、導(dǎo)數(shù)的定義limx0y ，如它存在，這個(gè)極限即為點(diǎn)x 處變化率的的精確值x1. 函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的概念定義設(shè)函數(shù) y =f x在 x 0 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義對(duì)應(yīng)于自變量x 在 x0 處有轉(zhuǎn)變量x ，函數(shù) y =f x 相應(yīng)的轉(zhuǎn)變量為y =f x0+x -f x 0 ，如這兩個(gè)轉(zhuǎn)變量的比yf x 0xxf x 0x當(dāng)x0 時(shí)存在極限，我們就稱函數(shù)y =f x 在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo) ，并把這一極限稱為函數(shù)y =f x 在點(diǎn) x 0 處的 導(dǎo)數(shù) 或變化率 ， 記作 y|x x或 f x 0或dy或df x即xy |=f x 0=limylim0f x0x

13、xdx0x f x 0 dxx 02-1x x 0x0xx0x比值y 表示函數(shù)y =f x 在 x 0 到 x 0+x 之間的平均變化率，導(dǎo)數(shù)xy |xx 0 就表示了函數(shù)在點(diǎn) x 0 處的變化率，它反映了函數(shù)y =f x 在點(diǎn) x 0 處的變化的快慢假如當(dāng)x0 時(shí)y 的極限不存在， 我們就稱函數(shù)y =f x 在點(diǎn) x 0 處不行導(dǎo)或?qū)?shù)不存在x在定義中，如設(shè)x =x 0+x ，就 2-1 可寫(xiě)成f x 0=f xlimf x 02-2xx 0xx 0依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y =f x 在點(diǎn) x 0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟如下：第一步求函數(shù)的轉(zhuǎn)變量y =f x 0+x -f x0 ；其次步求比值yxf

14、 x 0xf x 0 ；x精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -第三步求極限 f x 0=limy x0x例 1求 y =f x =x 2 在點(diǎn) x=2 處的導(dǎo)數(shù)解y =f 2+x-f 2=2+x 2-22=4x +x 2；2y4xx xx所以 y |x =2=4 =4+x ；l i mx0y = limxx04+x =4當(dāng) limf x 0xf x0存在時(shí)，稱其極限值為函數(shù)y =fx 在點(diǎn) x 0 處的 左導(dǎo)數(shù) ，記作x0xfx 0 ；

15、當(dāng)limf x 0xf x 0存在時(shí)，稱其極限值為函數(shù)y =f x 在點(diǎn) x 0 處的 右導(dǎo)數(shù) ，記作 fx0xx 0 據(jù)極限與左、右極限之間的關(guān)系f x 0存在 fx 0 , fx 0 ，且 fx 0 = fx 0 = f x 02. 導(dǎo)函數(shù)的概念假如函數(shù) y =f x 在開(kāi)區(qū)間 a ,b 內(nèi)每一點(diǎn)處都可導(dǎo)， 就稱函數(shù) y =f x 在開(kāi)區(qū)間 a ,b 內(nèi)可導(dǎo)這時(shí)，對(duì)開(kāi)區(qū)間 a,b 內(nèi)每一個(gè)確定的值 x 0 都有對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f x 0，這樣就在開(kāi)區(qū)間 a ,b 內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為 fx 的導(dǎo)函數(shù) ，記作等 f x 或 y 等 依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，就可得出導(dǎo)函數(shù)f

16、 x =y =limylim f xxf x2-3x0xx0x導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)留意（） f x 是 x 的函數(shù)，而f x 0是一個(gè)數(shù)值（） fx 在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f x 0就是導(dǎo)函數(shù)f x 在點(diǎn) x 0 處的函數(shù)值例 2求 y =C C 為常數(shù) 的導(dǎo)數(shù)解由于y =C-C =0，y0=0 ，所以 y =limy =0xxx0x即C =0 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒等于零） 例 3求 y =x n nN, xR的導(dǎo)數(shù)n解由于y =x +x n -x n =nx n -1x + C 2 x n -2x 2+.+x n，ny = nx n -1 + C 2 x n-2x+.+x n -1 ，x從而有y =limx0y

17、 = limxx0 nx n -1 + C 2 x n-2x +.+x n-1= nxn -1n即x n =nx n -1可以證明，一般的冪函數(shù)y =x , R, x>0 的導(dǎo)數(shù)為 x =x -1例如x =11x 2 = 1x221； 12 xx =x-1 =-x-2=-1x 2例 4求 y =sinx, xR的導(dǎo)數(shù)精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -解y = sinx xx sin x x，在§ 1-7 中已經(jīng)求得li

18、mx0y =cosx ，x即sinx =cosx 用類似的方法可以求得y =cosx , xR的導(dǎo)數(shù)為 cosx =-sin x 例 5求 y =log ax 的導(dǎo)數(shù) a >0, a1, x >0解對(duì) a =e、y =ln x 的情形，在§ 1-7 中已經(jīng)求得為lnx = 1 x對(duì)一般的a ，只要先用換底公式得y =log a x = ln xln a，以下與§ 1-7 完全相同推導(dǎo)，可得log ax =1x ln a三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義方程為 y =f x 的曲線，在點(diǎn)A x 0,f x 0處存在非垂直切線AT 的充分必要條件是f x 在 x 0 存在導(dǎo)數(shù)f x

19、 0，且 AT 的斜率 k =f x 0導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y =f x在 x 0 處的導(dǎo)數(shù)f x 0 ，是函數(shù)圖象在點(diǎn)x 0,fx 0 處切線的斜率，另一方面也可立刻得到切線的方程為y -f x 0=f x 0 x-x 02-4過(guò)切點(diǎn) A x 0,f x0 且垂直于切線的直線，稱為曲線y =f x 在點(diǎn) A x 0,f x 0處的 法線 ，就當(dāng)切線非水平 即 f x 0 0時(shí)的法線方程為y -f x 0=-f1x0 x- x02-5例 6求曲線 y =sinx 在點(diǎn) , 1 處的切線和法線方程62解（ sinx ）=cosx=3 2xx66所求的切線和法線方程為y 1 =23 x ，26法線方

20、程y 1 =223 x36例 7求曲線 y =ln x 平行于直線y =2x 的切線方程解設(shè)切點(diǎn)為 A x 0, y 0，就曲線在點(diǎn)A 處的切線的斜率為y x 0，=0，y x 0=ln xx x1x 0由于切線平行于直線y =2x ， 所以故所求的切線方程為1 =2，即 x 0= 1 ；又切點(diǎn)位于曲線上，因而 y 0=lnx 021 =-ln2 2y +ln2=2 x - 1 ，即 y =2x -1-ln2 2四、可導(dǎo)和連續(xù)的關(guān)系假如函數(shù) y =f x 在點(diǎn) x 0 處可導(dǎo)，就存在極限精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - -

21、- - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -limx0y =f x 0，就xy =f x 0+xlimx0=0，或y = f x 0x +x limx0=0，所以limx0y = limx0 f x 0x +x =0 這說(shuō)明函數(shù)y =fx 在點(diǎn) x 0 處連續(xù)但 y =f x 在點(diǎn) x0 處連續(xù)，在x 0 處不肯定是可導(dǎo)的例如：（） y =|x |在 x =0 處都連續(xù)但卻不行導(dǎo)yy =|x |xO（） y = 3 x 在 x =0 處都連續(xù)但卻不行導(dǎo)留意在點(diǎn) 0,0處仍存在切線， 只是切線是垂直的y1-1O1-1y = 3 xx同學(xué)摸索： 設(shè)函數(shù)

22、f x=x2 ,x x1, x0 ，爭(zhēng)論函數(shù)fx 在 x=0 處的連續(xù)性和可導(dǎo)性0小結(jié)：明確導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)相對(duì)于自變量的變化率；作業(yè)：見(jiàn)首頁(yè)精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -§4 2換元積分法教學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)引入1 不定積分的概念；2 不定積分的基本公式和性質(zhì)；新課：一、第一類換元積分法例如：cos 2xdx，積分基本公式中只有：cos xdx=sin x +C為了應(yīng)用這個(gè)公式，可進(jìn)行如下變換：cos2xdx1 sin2 x+C,

23、2cos2x1d 2x 2令 2x =u1u =2x 回代1 cosudu22sin u +C由于 1 sin2 x +C =cos2x ，所以2cos xdx= 1 sin2 x +C 是正確的2定理 1設(shè) f u 具有原函數(shù)F u ， x 是連續(xù)函數(shù)，那么f x x dx=F x+ C證明思路由于 F u 是 f u 的一個(gè)原函數(shù)，所以F u = f u ；由復(fù)合函數(shù)的微分法得：dF x= F u x dx =f x x dx ，所以f x x dx=F x + C基本思想：作變量代換u = x , d x = x dx ，變?cè)e分為f u du，利用已知f u 的原函數(shù)是F u 得到積分

24、，稱為第一類換元積分法例 1求axb 10 dx, a , b 為常數(shù) 解由于 dx = 1 d ax +b ，所以aaxb 10 dx1ax ab 10 d axb令 ax +b=u1au 10 du 111au 11 +Cu= ax +b 回代1 ax +b 11+C 11a例 2求ln x dx x解由于1 dx =d ln x ，所以x原式 =ln xd lnx 令 ln x=uudu1 u 2+C22u =ln x 回代1 ln x 2+C2例 3求xe x dx 精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁(yè)，共 12 頁(yè) - - - - - - - - -

25、-精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -解 由于 xdx = 1 d x 2 ，所以22原式 = 12ex d x2令 x2=u1e u du 2= 1 eu +C 2u =x 2 回代e+C 1x 22例 4求xdx a 2x 2解由于 xdx = 1 d x 2= 21 d a 2- x 2 ，所以2原式 = 121a 2x 2d a 2x 2 令 a 2-x 2=u 121du u= u +C=a2 -x 2 u回代a 2x 2+C 同學(xué)摸索：求sin xdx 1 cos 2 x第一類換元積分法運(yùn)算的關(guān)鍵：把被積表達(dá)式湊成兩部分，一部分為d x ，另一

26、部分為 x 的函數(shù)f x ，且f u 的原函數(shù)易于求得因此，第一類換元積分法又形象化地被稱為 湊微分法 常用微分式：dx = 1 d ax ；xdx = 1 d x 2 ；a1 dx =d ln|x | ；x21dx =2d x ；x21dx = d x1 ；x1dx =d arctanx ；21x11x 2dx =d arcsinx ；exdx =d e x ；sinxdx = d cos x ；cosxdx =d sinx ；sec2xdx =d tan x ；csc2xdx =- d cot x ；secx tan xdx =d sec x ；csc x cot xdx = d csc x 例 6