廣東省番禺區(qū)2020屆高三摸底測試文科數(shù)學試題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上絕密啟用前廣東省番禺區(qū)2020屆高三摸底測試文科數(shù)學試題試卷副標題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三總分得分注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題)請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1已知集合,則（ ）ABCD2設，則（ ）A1B1C-3iD33設，則（ ）ABCD4已知向量,向量在向量上的投影等于（ ）AB9C3D5如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則，的平均數(shù)和方差分別為（ ）A，B，C，D，6如圖，在圓心角為直角半徑為2的扇形區(qū)域中，分別為的中點，在兩點處各有一個通信基站

2、，其信號的覆蓋范圍分別為以為直徑的圓，在扇形內隨機取一點，則能夠同時收到兩個基站信號的概率是（ ）ABCD7已知,則（ ）ABCD8若是函數(shù)兩個相鄰的零點，則（ ）A2BC1D9若拋物線的焦點為，拋物線的準線與軸相交于一點, 為拋物線上一點且,則的面積為（ ）ABCD或10已知函數(shù)，則關于 x 的不等式的解集為（ ）ABCD11已知直線與雙曲線的一條漸近線交于點，雙曲線的左、右頂點分別為，若，則雙曲線的離心率為（ ）ABC2 或D或12 在棱長為6的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是BC的中點，點P是正方形DCC1D1面內(包括邊界)的動點，且滿足APDMPC，則三棱錐PBCD的體積最大值

3、是( )A36B24CD第II卷（非選擇題)請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13若變量x，y滿足約束條件則z=3xy的最大值是_.14曲線在點處的切線方程為則實數(shù) _15設，分別為內角，的對邊.已知，則_.16已知是邊長為4的正三角形，點是的中點，沿 將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的體積為_評卷人得分三、解答題17設數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為若成等比數(shù)列（1）求及；（2）設，求數(shù)列前項和.18某大學就業(yè)部從該校2018年畢業(yè)的且已就業(yè)的大學本科生中隨機抽取100人進行問卷調查，其中有一項是他們的月薪情況.經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，他們的月薪在3000元到10000元之間，根據(jù)

4、統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖：若月薪在區(qū)間的左側，則認為該大學本科生屬“就業(yè)不理想”的學生，學校將聯(lián)系本人，咨詢月薪過低的原因，從而為本科生就業(yè)提供更好的指導意見.其中，分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差計，計算可得元（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代表）.（1）現(xiàn)該校2018屆大學本科生畢業(yè)生張銘的月薪為3600元，試判斷張銘是否屬于“就業(yè)不理想”的學生？（2）為感謝同學們對這項調查工作的支持，該校利用分層抽樣的方法從樣本的前3組中抽取6人，各贈送一份禮品，并從這6人中再抽取2人，各贈送某款智能手機1部，求獲贈智能手機的2人中恰有1人月薪不超過5000 元的概率.19如圖所示，有公共邊的兩個矩形

5、與,現(xiàn)將矩形沿翻折至處，使二面角為直二面角，若 （1）證明：平面平面；（2）若點在直線上運動，當與所成的角為時，求三棱錐的體積20已知點在圓上運動，點在軸上的投影為，動點滿足.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設,過點的動直線與曲線 交于(不同于)兩點.問：直線與的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.21已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為函數(shù).（1）求的值，并求函數(shù)在區(qū)間的最小值（2）證明：22在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（k為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（）曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；（）求曲

6、線C上的點到直線的距離的取值范圍.23設函數(shù)，（1）當時，求不等式的解集；（2）對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍專心-專注-專業(yè)參考答案1B【解析】【分析】求出 后,再求出與 的交集.【詳解】解: .故選:B.【點睛】本題考查了集合的運算.求解集合運算題目時,可通過畫數(shù)軸,數(shù)形結合進行分析.2B【解析】【分析】將整理成復數(shù)的標準形式,求出,進而可求.【詳解】.即.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算,考查了共軛復數(shù)的概念.當已知的復數(shù)是分式形式,且分母中含有 時,如,應運用分數(shù)的性質,將復數(shù)整理成一般形式.3C【解析】【分析】比較、三個數(shù)與和的大小關系，從而可得出、三個數(shù)的大小關系.【詳解】對

7、數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，則；對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，且.因此，.故選C.【點睛】本題考查指數(shù)冪、對數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性，結合中間值法來得出各數(shù)的大小關系，考查推理能力，屬于中等題.4D【解析】【分析】求出以及的值,即可求出向量在向量上的投影.【詳解】解:由題意知, 則 故選:D.【點睛】本題考查了向量投影的概念,考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的模.在求一個向量在另一個向量的投影時,有兩種做題思路:一是直接求,即;另外還可以由向量數(shù)量積的運算可知, .5C【解析】根據(jù)平均數(shù)的概念，其平均數(shù)為，方差為，故選C.6B【解析】【分析】分別求出兩半圓公共區(qū)域面積

8、以及扇形的面積,代入幾何概型概率公式即可求出.【詳解】設事件“同時收到兩個基站信號”，兩半圓公共區(qū)域面積記為.由圖可知, 扇形的面積.由幾何概型知 故選:B.【點睛】本題考查了幾何概型概率求法.對于幾何概型概率問題，一般情況下，涉及到平面圖形區(qū)域時，概率為面積比;涉及到角或射線問題時，一般是角度之比;涉及到幾何體問題時，一般是體積之比；涉及到區(qū)間時，一般是長度之比.7D【解析】【分析】由,代入已知式子中,可求出,再結合即可求解.【詳解】解: , 即.又 , 故選:D.【點睛】本題考查了二倍角公式的應用.熟練掌握二倍角公式以及公式的逆向運用.當求角的三角函數(shù)值時,易錯點在于由限制角的范圍,確定三

9、角函數(shù)值的符號.8A【解析】【分析】由零點分析求出函數(shù)的周期,結合 進而可求.【詳解】解:由題意知,即 . 故選:A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)解析式的求解.求的關鍵是分析出三角函數(shù)的周期.9C【解析】【分析】由已知寫出直線 的方程,與拋物線聯(lián)立,進而求出 的橫坐標,得到的長,代入即可求出結果.【詳解】解:設過點的直線為,斜率為.由題意知: 即的方程為 將方程聯(lián)立 ,整理得,解得或(舍去)所以, 所以的面積為 故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的方程與性質,考查了直線與拋物線的位置關系,考查了直線方程的求解,考查了三角形面積的求解.本題的易錯點是沒能對的兩個結果進行取舍.涉及到三角形面積時,一

10、般代入 進行求解.涉及到拋物線上一點到焦點的距離時,一般將所求距離轉化為該點到準線的距離.10A【解析】【分析】對已知函數(shù)進行分析,可知為奇函數(shù)且在單調遞增.對所求不等式進行整理,結合性質可得,進而求解.【詳解】解:由題意知, 的定義域為,且 所以 為奇函數(shù). 在 單調遞增在 單調遞增.又 在 單調遞增因此在單調遞增. 故而,解得 故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷與應用,考查了復合函數(shù)單調性的判斷,考查了不等式求解.當結合函數(shù)解不等式時,一般應用函數(shù)的性質.判斷函數(shù)的奇偶性時分為兩步,一是求函數(shù)的定義域,判斷定義域是否關于原點對稱;二是判斷 與的關系.判斷復合函數(shù)的單調性時,關鍵

11、是”同增異減”.11D【解析】【分析】用將點的坐標表示出來, 結合,列出關于的方程,從而求出的值,代入求出離心率.【詳解】解:當點是直線與 的交點時,此時, 則,解得.從而 同理,當點是直線與 的交點時, 故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的漸近線,考查了雙曲線的離心率.在求離心率問題時,解題關鍵是求出 的值,或者列出關于 的等式,求出的等量關系.對于橢圓,離心率小于1;對于雙曲線,其離心率大于1.12D【解析】【分析】要求三棱錐的體積最大，只需高最大，通過軌跡得到高的最大值【詳解】易知，則2，欲使三棱錐的體積最大，只需高最大，通過坐標法得到動點運動軌跡(一段圓弧)，進而判斷高的最大值，所以.故

12、選?！军c睛】本題考查了幾何體的體積問題，在計算過程中先找出以哪個三角形為底面，以哪條線為高，通過軌跡求出高的最大值，繼而求出體積最大值。139.【解析】【分析】作出可行域，平移找到目標函數(shù)取到最大值的點，求出點的坐標，代入目標函數(shù)可得.【詳解】畫出不等式組表示的可行域，如圖所示，陰影部分表示的三角形ABC區(qū)域，根據(jù)直線中的表示縱截距的相反數(shù)，當直線過點時，取最大值為9【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最大值問題，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)采取圖解法，利用數(shù)形結合思想解題搞不清楚線性目標函數(shù)的幾何意義致誤，從線性目標函數(shù)對應直線的截距觀察可行域，平移直線進行判斷取最大值還是最小值143【解析

13、】【分析】求出,令,令出此時的導數(shù)值等于切線的斜率,即可求出 的值.【詳解】解:,當 時, 故答案為:3.【點睛】本題考查了函數(shù)的切線問題.關于 在 的切線問題,等量關系為切線斜率為切點處的導數(shù)值; 過的切線問題,往往要設出切點,利用切點同時在直線和函數(shù)圖像上,以及切點處的導數(shù)值為切線斜率列出兩個方程.152【解析】【分析】要求的值，可考慮將已知條件化成三角函數(shù)式的形式，利用三角恒等式化簡計算【詳解】因為， 所以，所以.【點睛】本題考查正弦定理的應用，考查運算求解能力.16【解析】【分析】由二面角可分析出兩兩垂直,即將三棱錐的外接球轉化為長方體的外接球,求出體對角線即為直徑,從而可求球的體積.

14、【詳解】解: 二面角為,且 即 兩兩垂直,且, 將此三棱錐補成一個長方體,則三棱錐外接球即為長方體的外接球球心為長方體的體對角線的中點,則球的半徑 .故答案為: .【點睛】本題考查了外接球問題,考查了二面角的概念,考查了球體積的求法.當三棱錐中有三條棱兩兩垂直時,可將三棱錐的外接球等同于長方體的外接球,求出長方體的體對角線即為直徑.對于三棱錐中,沒有兩兩垂直的三條棱時,則常常設出球心和半徑,列方程求出半徑.注意一點,外接球的球心與底面外接圓的圓心連線與地面垂直.17(1) ,;(2) .【解析】【分析】(1)用基本量表示出,由等比中項列方程,求出首項和公差即可求及.(2)代入的通項公式進行化簡

15、,利用分組求和和裂項相消法求出.【詳解】(1)解:設的公差為,則, 成等比數(shù)列 即, 解得.,.(2)解: 且 【點睛】本題考查了等比中項,考查了等差數(shù)列通項公式,考查了等差數(shù)列求和公式,考查了分組求和,考查了裂項相消求和.對于數(shù)列求和,常用的方法有公式法,分組求和法,裂項相消法,錯位相減法.難點在于化簡計算.18(1)屬于;(2).【解析】【分析】(1)由頻率分布直方圖求出,從而得到具體的,即可判斷.(2)結合分層抽樣的知識點首先求出前三組各抽多少人,然后結合排列組合的思想求出從6人中抽取2人的組合數(shù)以及恰有一人月薪不超過5000 元的組合數(shù),最后由古典概型概率公式即可求出.【詳解】(1)解

16、: 由頻率分布直方圖知則.在的左側，所以張銘屬于“就業(yè)不理想”的學生.(2)解:前三組頻率之比為 所以抽取的6人中,第一組有1人,第二組有2人,第三組有3人.從6人中再抽2人的組合數(shù)為種. 其中,恰有一人月薪不超過5000 元的組合數(shù)為 種.設”恰有1人月薪不超過5000 元”.則 所以獲贈智能手機的2人中恰有1人月薪不超過5000 元的概率為.【點睛】本題考查了由頻率分布直方圖估計樣本平均數(shù),考查了古典概型,考查了分層抽樣,考查了排列組合.本題的難點在于計算.易錯點是記錯求平均數(shù)公式,誤用每個長方形的高與其橫坐標中點相乘.19(1)見解析;(2) .【解析】【分析】(1)由二面角為直二面角可

17、知,進而可證面,即,又有,可知面,由面面垂直的判定定理可證.(2)由與所成的角為求出 的長度,進而求出 到平面 的距離,再算出 的面積,即可求三棱錐的體積.【詳解】(1)證明: 且二面角為直二面角. 面 面.面 面 面,平面平面.(2)解: 與所成角為.面,面 即 到平面 的距離為 .【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理,考查了二面角的概念,考查了三棱錐體積的求法.在證明兩個平面垂直時,一般先證平面內的一條線與另外一個平面垂直.本題的難點在于第二問中線線夾角的利用.20(1) ;(2)是定值為.【解析】【分析】(1)設,根據(jù),用 表示,代入即可求出軌跡的方程.(2)設出直線方程,與軌跡的方程聯(lián)

18、立,由韋達定理求出交點坐標的關系,對斜率之比進行化簡即可判斷.【詳解】(1)解:設,則. 解得 在上, ,整理得故動點的軌跡的方程為.(2)解:由題意知, 的斜率不為0,則設, ,與曲線 方程聯(lián)立得 ,整理得 則 直線的斜率,直線的斜率此時 所以直線與的斜率之比是定值,為.【點睛】本題考查了軌跡方程,考查了直線與橢圓的位置關系.對于過定點的直線問題,一般在設的時候,如果可以確定斜率存在,則可用點斜式;若可以確定斜率不為0,但不確定斜率存在與否,則可設直線方程為.本題難點是,有韋達定理找出.21(1) ;(2)見解析.【解析】【分析】(1)求出,根據(jù)切線的斜率為切點處的導數(shù)值可得,由切點既在直線上又在 上得,進而求出 ,確定.利用導數(shù)求出在區(qū)間的最小值.(2)構造,利用導數(shù)證明 在 恒成立.結合數(shù)學歸納法證明.【詳解】(1)解:,則. 在點處的切線方程為 解得 .所以. 令 ,解得.則 隨 的變化如下表 1 0 0 則 在單調遞增,所以.(2)證明:設 ,則 恒成立即在 單調增減. 所以