10力學(xué)基本問題、方法

1、力學(xué)的一些基本問題和基本方法一、關(guān)于力的作用效應(yīng)1. 力的瞬時作用效應(yīng)。力的瞬時作用效應(yīng)是改變物體的速度，也就是使物體產(chǎn)生加速度。牛頓第二定律F=ma就表示了力和加速度之間的關(guān)系。而加速度是運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)之間的橋梁。因此若已知物體的受力情況，由牛頓第二定律求出加速度，再由運(yùn)動學(xué)公式就可以知道物體的運(yùn)動情況；若已知物體的運(yùn)動情況，知道了加速度，由牛頓第二定律可以求出未知的力。做勻速圓周運(yùn)動物體所受的合外力是向心力，向心力跟向心加速度的關(guān)系也同樣遵從牛頓第二定律。所以綜合運(yùn)用牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)公式是解決力學(xué)問題的基本方法之一。2. 力的時間積累效應(yīng)。力的時間積累效應(yīng)是改變物體的動量。動量定理I

2、= p 就表示了外力的沖量和物體動量變化之間的關(guān)系。在確定了研究對象（系統(tǒng)）后，系統(tǒng)內(nèi)各物體間的相互作用力叫內(nèi)力，內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，而且一對互為作用力反作用力的內(nèi)力在任意一段時間內(nèi)的總沖量一定為零，所以系統(tǒng)的內(nèi)力只能改變系統(tǒng)內(nèi)某一物體的動量，但不會改變系統(tǒng)的總動量。因此動量定理不僅適用于某個物體，也適用于由若干物體組成的系統(tǒng)。在系統(tǒng)所受合外力為零的條件下，該系統(tǒng)的總動量守恒。這就是動量守恒定律。運(yùn)用動量定理和動量守恒定律也是解決力學(xué)問題的基本方法之一。3. 力的空間積累效應(yīng)。力的空間積累效應(yīng)是改變物體的動能。動能定理W= EK 就表示了外力做的功和物體動能變化之間的關(guān)系。和沖量不同的是：系統(tǒng)

3、內(nèi)互為作用力反作用力的一對內(nèi)力在同一時間內(nèi)的位移很可能是不相等的，因此一對內(nèi)力做的總功很可能不是零，從而改變系統(tǒng)的總動能。也就是說，即使合外力對系統(tǒng)不做功，系統(tǒng)的總動能也有可能改變。所以一般情況下，動能定理只能用于單個的物體而不能用于由若干物體組成的系統(tǒng)。如果對某個系統(tǒng)而言只有重力做功 ，那么系統(tǒng)中就只有動能和重力勢能相互轉(zhuǎn)化，而動能和勢能的總和保持不變，這就是機(jī)械能守恒定律。運(yùn)用動能定理和機(jī)械能守恒定律也是解決力學(xué)問題的基本方法之一。速度 v、動量mv、動能mv2都是描述物體運(yùn)動狀態(tài)的物理量。以上三條都體現(xiàn)了“力是改變物體運(yùn)動狀態(tài)的原因。”例 1. 質(zhì)量為 m 的小球從沙坑上方高H 處自由下

4、落，停止運(yùn)動時陷入沙坑深度為h。則在陷入沙坑過程中，沙對小球的平均阻力大小為。 這是一個非常有代表性的題，這個題型在95、 96、 97 年高考中連續(xù)出現(xiàn)3 次，每次設(shè)問的角度都不同。以下從3 個角度分別分析一下該物理過程：（把自由下落過程叫做過程，陷H入沙坑過程叫做過程）95 年定性分析：A.過程中小球動量的改變量等于重力的沖量；B.過程中阻力的沖量大小等于過程中重力沖量的大小；C.過程中小球克服阻力做的功等于過程與過程中小球所減少的重力勢能之和；D.過程中損失的機(jī)械能等于過程中h小球所增加的動能（AC）96 年求過程小球受到合力的沖量大小97年求沙對小球的沖量從牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)角度分析

5、。過程僅受重力，做初速度為零，加速度為g 的勻加速直線運(yùn)動；過程受平均阻力和重力作用，做末速度為零的勻減速直線運(yùn)動。一般思路是先求過程的末速度v，再求過程的加速度a，最后用牛頓第二定律求平均阻力F。如果注意到該過程的特點(diǎn)：過程的初速度和過程的末速度都為零；過程的末速度等于過程的初速度，由v2=2as， a 1/s，于是合外力跟s 成反比，F(xiàn) mg H 可求得F 。mg h從動能定理的角度分析。過程重力做的功等于動能增加，即末動能EK；過程合外力做功使動能減小EK，即mgH=(F-mg)h。如果注意到全過程的始、末狀態(tài)動能為零，取全過程用動能定理，則直接可得到： mh(H+h)=Fh ?？梢钥闯?/p>

6、以上各種解法的結(jié)論都是一樣的。從動量定理的角度分析。如果把已知中的距離H、 h 分別改為對應(yīng)的時間T、 t， 取全過程用動量定理，則直接可得到：mh(T+t)=Ft，也可以很方便地解得平均阻力F?？傊@類題取全過程較為方便。如果、兩過程一個給出時間，一個給出高度，由于過程時間和高度很容易互求，所以要根據(jù)過程給的物理量確定用什么定理。 例 2. 質(zhì)量相等的A、 B兩物體放在同一水平面上，分別受到水平拉力 F1、 F2的作用而從靜止開始做勻加速運(yùn)動。經(jīng)過時間t0和4t0速度分別達(dá)到2v0和 v0 時，分別撤去F1和 F2，以后物體繼續(xù)做勻減速運(yùn)動直至停止。兩物體速度隨時間變化的圖線如右圖所示。若

7、在該過程中F1和 F2所做的功分別為W1和 W2， F1和 F2的沖量分別為I1和I2，試分別比較W1和 W2的大小、I1和I2的大小。 比較功的大小，一般想到W=Fs， s 可以從圖線所圍面積求得，但求F 要利用F-f=ma，還需要跟撤去F 后 的滑動過程相比較，計算量太大。如果考慮到每個物體運(yùn)動的全過程始、末狀態(tài)速度都是零，由動能定理，WF=Wf ，而f大小又相等，因此只要比較全過程物體的位移大小即可。從圖可以得到s1 s2=6 5，所以W1 W2=6 5， W1>W2同理對每個物體在全過程用動量定理，有I F=If ， f 大小相等，因此只要比較全過程運(yùn)動時間t 即可。從圖可以得到

8、t1 t2=3 5，所以I1 I2=3 5， I1<I2由這道題還應(yīng)該體會到v-t 圖象的特別重要性：從v-t 圖象中可以找到v、 t、 a、 s 等各種信息。一定要重視圖象在學(xué)習(xí)物理中的作用。 二、能量守恒定律和動量守恒定律能量守恒和動量守恒是最基本的自然規(guī)律。守恒定律常常被看作為最基本的規(guī)律。它們以確實(shí)的可靠性和極大的普遍性，為我們研究自然規(guī)律提供了最有力的工具?？茖W(xué)研究表明：能量守恒、 動量守恒和 角動量守恒( 高中不學(xué)習(xí)角動量守恒) 是自然界的普遍規(guī)律。從科學(xué)實(shí)踐的角度來看，迄今為止，人們還沒有發(fā)現(xiàn)這些守恒定律有任何例外。相反，每當(dāng)在實(shí)驗(yàn)中觀察到似乎是違反守恒定律的現(xiàn)象時，物理學(xué)

9、家們就會提出新的假設(shè)來補(bǔ)救，最后總是以有新的發(fā)現(xiàn)而勝利告終。如靜止的原子核發(fā)生 衰變放出電子時，按動量守恒，反沖核應(yīng)該沿電子的反方向運(yùn)動。但是實(shí)驗(yàn)中云室照片顯示， 這兩者的徑跡不在一條直線上。為解釋這一反常現(xiàn)象，1930 年泡利提出了中微子假說。由于中微子既不帶電又幾乎無質(zhì)量，在實(shí)驗(yàn)中極難測量，直到 1956 年人們才首次證明了中微子的存在。這個反應(yīng)的核反應(yīng)方程是：2670 Co 6280 Ni 01ee( 2000 年高考綜合題23就是根據(jù)這一歷史事實(shí)設(shè)計的)。又如人們發(fā)現(xiàn)，在兩個運(yùn)動著的帶電粒子的電磁相互作用下，兩個粒子的動量的矢量和似乎是不守恒的。這時物理學(xué)家又把動量的概念推廣到了電磁場

10、，把電磁場的動量也考慮進(jìn)去，總動量就又守恒了。應(yīng)用守恒定律要注意條件。對整個宇宙而言，能量守恒和動量守恒是無條件的。但對于我們選定的研究對象所組成的系統(tǒng)，守恒定律就有一定的條件了。如系統(tǒng)機(jī)械能守恒的條件就是 “只有重力做功”； 而系統(tǒng)動量守恒的條件就是“合外力為零”。例 3. 如圖所示，質(zhì)量分別為m 和 2m 的 A、 B 兩個木塊間用輕彈AB F簧相連，放在光滑水平面上，A 靠緊豎直墻。用水平力F 將 B 向左壓， 使彈簧被壓縮一定長度，靜止后彈簧儲存的彈性勢能為E。這時突然撤去F，關(guān)于A、 B和彈簧組成的系統(tǒng)，下列說法中正確的是BDA. 撤去F 后，系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能守恒B.撤去F 后，

11、A離開豎直墻前，系統(tǒng)動量不守恒，機(jī)械能守恒C.撤去F 后，A離開豎直墻后，彈簧的彈性勢能最大值為ED.撤去F 后，A離開豎直墻后，彈簧的彈性勢能最大值為E/3A 離開墻前墻對A 有彈力，這個彈力雖然不做功，但對A 有沖量，因此系統(tǒng)機(jī)械能守恒而動量不守恒；A離開墻后則系統(tǒng)動量守恒、機(jī)械能守恒。A 剛離開墻時刻，B 的動能為E，動量為p= 4mE 向右；以后動量守恒，因此系統(tǒng)動能不可能為零，當(dāng)A、 B 速度相等時，系統(tǒng)總動能最小，這時的彈性勢能為E/3。 深刻理解守恒的本質(zhì)，靈活選用守恒定律的各種表示形式。例如機(jī)械能守恒定律就有多種表達(dá)形式：EK+EP=EK/ +EP， EK+ EP=0。它們的實(shí)

12、質(zhì)是一樣的，但在運(yùn)用時有繁簡之分。因?yàn)橹亓菽艿挠嬎阋x定參考平面，而重力勢能變化的計算跟參考平面的選取無關(guān)，所以用后者往往更方便一些。在運(yùn)用更廣義的能量守恒定律解題時，可以這樣分析：先確定在某一過程中有哪些能量 參與了轉(zhuǎn)化；哪些能量增加了，哪些能量減少了；然后根據(jù)能量守恒的思想，所有增加了的能量之和一定等于所有減少了的能量之和，即 E 增 = E 減 。例 4. 長為 L 寬為 d 質(zhì)量為 m 總電阻為R 的矩形導(dǎo)線框上下兩邊保持水平，在豎直平面內(nèi)自由落下而穿越一個磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 寬度也是d 的勻強(qiáng)磁場區(qū)。已知線框下邊剛進(jìn)入磁場就恰好開始做勻速運(yùn)動。則整個線框穿越該磁場的全過程中線框中產(chǎn)生的

13、電熱是。22 若直接從電功率計算，就需要根據(jù)mg B L v 求勻速運(yùn)動的速度v、 再求電動勢E、 電功率P、gR時間t，最后才能得到電熱Q。如果從能量守恒考慮，該過程的能量轉(zhuǎn)化途徑是重力勢能EP電能E電熱Q，因此直接得出Q=2mgd 例 4. 如圖所示，一固定的契形木塊，其斜面光滑，傾角 30°，另一邊與水平地面垂直，頂端有一個定滑輪，一根柔軟的輕繩跨過定滑輪，兩端分別與物塊A和 B 連接。 A的質(zhì)量為4m， B 的質(zhì)量為m，開始時將B按在地面A上不動。放手后，A 沿斜面下滑L 距離后，細(xì)線突然斷了，求B 能上升的最大高度H。B 繩斷以前，對A、 B 系統(tǒng)用機(jī)械能守恒，該過程B 的

14、動能、勢能和A 的動能都是增加的，只有A 的勢能是減小的，于是有mv2+4mv2+mgl=4mgl；繩斷以后，再對B 用運(yùn)動學(xué)方程 v2=2gh，求得B 繼續(xù)上升的高度h=0.2l，因此H=1.2l - 6 -三、功和能的關(guān)系功和能是兩個密切相關(guān)的物理量。正確認(rèn)識和理解功和能的關(guān)系是解決力學(xué)問題以及物理學(xué)科內(nèi)和跨學(xué)科綜合問題的一個重要的思路。做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能的轉(zhuǎn)化的量度。在研究物體的動能、重力勢能和機(jī)械能問題時，有以下重要關(guān)系：物體動能的增量用外力對物體做的總功來量度，即 Ek=W外 ，這就是 動能定理；物體重力勢能的增量用重力做的功來量度，即 E p=-WG（這可以叫做勢

15、能定理，對任何勢能都適用）；由以上兩式相加可得：物體機(jī)械能的增量用除重力以外的其它力做的功來量度，即 E 機(jī) =W其 ，這就是機(jī)械能定理。顯然，在只有重力做功的情況下，機(jī)械能增量為零，即機(jī)械能守恒。還有一個經(jīng)常用到的功能關(guān)系：在相對滑動過程中，一對 滑動摩擦力做的總功等于系統(tǒng)機(jī)械能的減少量，也等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加量，即Q=fd，其中Q 表示摩擦生熱，也就是內(nèi)能增量；f表示每一個滑動摩擦力的大?。籨 表示兩物體相對滑動的路程 。例 6. 一個質(zhì)量為m 的物體以加速度a= g 勻加速下降h 過程中其動能增加量為，重力勢能減少量為，機(jī)械能減少量為。P 由 a= g 可以推斷運(yùn)動中所合外力大小為F= m

16、g， 阻力大小為f= mg，由功能關(guān)系直接可得：動能增加量為Fh= mgh，重力勢能減少量為mgh，機(jī)械能減少量為fh= mgh 例 7. 如圖所示，在勁度為k 的輕彈簧兩端分別連接兩個質(zhì)量均為m 的相同木塊P、 Q，開始系統(tǒng)靜止在水平面上。用豎直向下的力F 緩慢向下壓P 木塊到某一位置，使系統(tǒng)又處于靜止。這時突然撤去力F，發(fā)現(xiàn)P 木塊開始做簡諧運(yùn)動，而 Q 木塊恰好始終沒有離開水平面。求： P 做簡諧運(yùn)動的振幅A。振動過程中P的最大加速度am。在緩慢向下壓P 的過程中，壓力F 所做的功W。 做這種題一定要畫好示意圖，標(biāo)明各個位置彈簧的形變量。從圖中將會得到很多有用的信息。還要注意到簡諧運(yùn)動的

17、一些基本規(guī)律， 如關(guān)于平衡位置為對稱的兩點(diǎn)，振子的位移大小、速度大小、加速度大小都是相等的。右圖依次畫出了：未放P 時、未加F 系統(tǒng)靜止時、加F 系統(tǒng)再次靜止時、撤去F 后 P 到達(dá)最高點(diǎn)時的示意圖。圖中x1=mg/k，圖中Q 受到的拉力大小等于mg，因此此時P 受到的拉力大小也等于mg，與圖相比可知x2=x1=mg/ k，因此A=2mg/k。同時可得P的最大加速度am=2g。在過程中除重力外只有壓力 F 對系統(tǒng)做功，而系統(tǒng)在、狀態(tài)的動能和彈性勢能是相同的，只是重力勢能增加了mgA，即系統(tǒng)機(jī)械能增加了mgA，由機(jī)械能定理得 WF= mgA =2m2g2/k。 四、碰撞兩個物體在極短的時間內(nèi)發(fā)生

18、相互作用，速度都發(fā)生了變化，這種情況稱為碰撞 。由于作用時間極短，一般情況都可以認(rèn)為系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，所以可以認(rèn)為動量守恒。碰撞又分彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞三種。/v1vv1v2-A4 -B A B A B下面分析一下碰撞的詳細(xì)過程，以及每個分過程中的能量轉(zhuǎn)化情況：設(shè)光滑水平面上，質(zhì)量為m1 的物體A 以速度v1 向質(zhì)量為m2的靜止物體B 運(yùn)動， B 的左端連有輕彈簧。在位置A、 B 剛好接觸，彈簧開始被壓縮，A 開始減速，B 開始加速；到位置A、 B 速度剛好相等（設(shè)為v） ，彈簧被壓縮到最短；再往后A、 B 開始遠(yuǎn)離，彈簧開始恢復(fù)原長，到位置彈簧剛好為原長，A、B 分開，這時

19、A、 B 的速度分別為v1/和v2/。全過程系統(tǒng)動量一定是守恒的；而機(jī)械能是否守恒就要看彈簧的彈性如何了。第種情況：彈簧是完全彈性的。過程系統(tǒng)減少的動能全部轉(zhuǎn)化為彈性勢能，狀態(tài)系統(tǒng)動能最小而彈性勢能最大；過程系統(tǒng)減少的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為動能；因此、狀態(tài)系統(tǒng)動能相等。這種碰撞叫彈性碰撞。列方程組可以解得A、 B 的最終速度分別為：v1m1 m2 v1,v22m1 v1（這個公式最好背下來，以后會經(jīng)常用到。）m1 m2m1m2第種情況：彈簧不是完全彈性的。過程系統(tǒng)減少的動能一部分轉(zhuǎn)化為彈性勢能，狀態(tài)系統(tǒng)動能最小而彈性勢能仍最大；過程系統(tǒng)減少的彈性勢能一部分轉(zhuǎn)化為動能，一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能 ；全過程系統(tǒng)

20、機(jī)械能有損失（一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能），這種碰撞叫非彈性碰撞。第種情況：彈簧完全沒有彈性。系統(tǒng)減少的動能全部轉(zhuǎn)化為 內(nèi)能 ，狀態(tài)系統(tǒng)動能最?。挥捎跊]有彈性A、 B 將共同運(yùn)動不再分開，不再有過程。這種碰撞叫 完全非彈性碰撞。計算可得A、 B 最終的共同速度為v vm1v 。在完全非彈性碰撞過程121m1 m2中，系統(tǒng)的動能損失最大，為：Ek 1 m1v121 m1 m2 v 2m1m2v12 。 （這個公式最好背下來，以后會經(jīng)常用到。）例 8. 如圖所示，兩根足夠長的固定平行光滑金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，導(dǎo)軌間的距離為l，導(dǎo)軌上橫放有長度都是l 而橫截面積之比為2 1 的兩根銅幫棒ab 和 c

21、d。 已知 cd 棒的質(zhì)量為m， 電阻為r， 回路中其余部分的電阻不計?？臻g有垂直與導(dǎo)軌平a c面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的勻強(qiáng)磁場。開始時 cd 靜止， ab 以初B速度v0向右運(yùn)動。設(shè)導(dǎo)軌足夠長，兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動過程中始終不lv0接觸，求cd 中產(chǎn)生的焦耳熱Q 最多是多少？b d 由于回路所圍面積內(nèi)的磁通量減少，產(chǎn)生感應(yīng)電流，使ab 減速 cd 加速，當(dāng)它們速度相同時回路中磁通量不再發(fā)生變化，因此將保持共同運(yùn)動。相當(dāng)于完全非彈性碰撞，損失的動能轉(zhuǎn)化為電能，接著轉(zhuǎn)化為ab 和 cd 的電熱。由已知cd 的質(zhì)量是ab 的一半而電阻是ab 的 2 倍，因此全過程系統(tǒng)損失的動能為mv02/3， cd

22、中產(chǎn)生的焦耳熱占其中的2/3，因此Q=2mv02/9。 例 9. 1919年盧瑟福用 粒子轟擊14N發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子。該核反應(yīng)的過程是：高速運(yùn)動的 粒子擊中靜止的14N， 它們暫時形成一個復(fù)核，這個復(fù)核迅速轉(zhuǎn)化成一個質(zhì)子和另一個原子核。已知復(fù)核發(fā)生轉(zhuǎn)化需要吸收1.19MeV 的能量。那么要想發(fā)生上述核反應(yīng)，入射的 粒子的動能至少應(yīng)是多大？ 粒子轟擊14N 形成復(fù)核的過程相當(dāng)于一個完全非彈性碰撞，損失的動能至少為1.19MeV 。由2EkMm v M EK 可以求得EK=1.53MeV。 2M m M m五、力學(xué)的一些基本方法1. 靈活地確定研究對象。分析力學(xué)問題時的第一步應(yīng)該是確定研究對象。一般來說

23、研究對象可以是單個的物體，也可以是保持相對靜止的一組物體。但是在運(yùn)用牛頓第二定律時，還可以取有相對運(yùn)動的一組物體(稱為質(zhì)點(diǎn)組)為研究對象，這時質(zhì)點(diǎn)組所受的合外力F (不包括質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)物體間的相互作用力)和質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)各物體的質(zhì)量和加速度的關(guān)系為：F=m1a1+ m2a2, + mnan 用這個方法解題非常簡潔。該式的證明也很簡單：先以質(zhì)點(diǎn)組中的每個物體為研究對象，有： F1=m1a1， F2=m2a2， , Fn=mnan，將以上各式等號左、右分別相加，其中左邊所有力中，凡屬于系統(tǒng)內(nèi)力的，都應(yīng)該是成對出現(xiàn)的，矢量和必為零，所以得到所有外力之和，即合外力F 。在運(yùn)用動量定理解題時，也可以取質(zhì)點(diǎn)組為研究

24、對象。因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組內(nèi)部物體間的相互作 用力總是等值反向的，它們的總沖量一定為零，因此不會改變質(zhì)點(diǎn)組的總動量。在運(yùn)用動能 定理解題時，就不能說合外力做的功等于質(zhì)點(diǎn)組動能的增量了，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組內(nèi)部物體間的相 互作用力雖然是等值反向的，但在同一過程中它們的位移可能是不同的，所以它們做的總功 可能不為零，因而會改變質(zhì)點(diǎn)組的總動能。m例 10. 質(zhì)量為 M 傾角為 的斜面體靜止在粗糙水平面上。質(zhì)量為的木塊以初速度v0從斜面底端沖上斜面。已知斜面跟水平面、斜面跟木塊間的動摩擦因數(shù)都是 ，斜面始終保持靜止。求木塊向上滑行過程水平面對斜面的支持力F 和摩擦力f。 先明確木塊的加速度a=g(sin + cos )，

25、方向沿斜面向下。然后分別在水平、豎直方向?qū)ο到y(tǒng)用牛頓第二定律：f=macos=mg(sin+cos) cos； (M+m)g-F=masin ，F(xiàn)=Mg+mg(cos-sin) cos例 11. 長 L 的輕桿兩端分別固定有質(zhì)量為m 的小鐵球，桿的三等分點(diǎn) O 處有光滑的水平轉(zhuǎn)動軸。用手將該裝置固定在桿恰好水平的位置，然后由靜止釋放，當(dāng)桿到達(dá)豎直位置時，求軸對桿的作用力F的大小和方向。根 據(jù) 機(jī) 械 能 守 恒 求 出 小 球 1 在 最 高 點(diǎn) 的 速 度 ：mg L=mg L+ mv2+m(2v)2， 在豎直位置對系統(tǒng)用牛頓第二定律，以向下為正方向，設(shè)軸對系統(tǒng)的作用力F 向上，mv2 m 2v 2 ，得 F=2.4mg 2mg FL/32L/32. 注意物體的動量大小p 跟動能