帶電粒子在磁場中的運動解題技巧

1、優(yōu)秀教案歡迎下載帶電粒子在磁場中的運動帶電粒子在勻強磁場中作圓周運動的問題是近幾年高考的熱點， 這些考題不但涉及到洛 倫茲力作用下的動力學問題， 而且往往與平面圖形的幾何關系相聯(lián)系， 成為考查學生綜合分 析問題、 運用數(shù)字知識解決物理問題的難度較大的考題。但無論這類問題情景多么新穎、 設問多么巧妙， 其關鍵一點在于規(guī)范、 準確地畫出帶電粒子的運動軌跡。 只要確定了帶電粒子 的運動軌跡，問題便迎刃而解。下面舉幾種確定帶電粒子運動軌跡的方法。一、對稱法帶電粒子如果從勻強磁場的直線邊界射入又從該邊界射出， 則其軌跡關于入射點和出射 點線段的中垂線對稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如

2、圖1）；帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓形邊界的勻強磁場，則其射出磁場時速度延長線必過圓心 （如圖 2）。利用這兩個結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運動軌跡，找出相應的幾何關系。例 1 如圖 3 所示，直線 MN上方有磁感應強度為 B的勻強磁場。正、負電子同時從同 一點 O以與 MN成 30 °角的同樣速度 v 射入磁場（電子質(zhì)量為 m，電荷為 e），它們從磁場 中射出時相距多遠？射出的時間差是多少？解析： 正、負電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡（如圖 4），由對稱性知：射入、射出點和圓心恰好組成正三角形。所以兩個射出點相距 s=2r =，由圖還看出經(jīng)

3、歷時間相差，所以解此題的關鍵是找圓心、找半徑和用對稱。例 2如圖 5 所示，在半徑為 r 的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個勻強磁場。一帶電粒子以速度v0從 M點沿半徑方向射入磁場區(qū)，并由 N 點射出， O點為圓心。當 MON 120°時，求：帶電 粒子在磁場區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑 R 及在磁場區(qū)中的運動時間。解析： 分別過 M、 N點作半徑 OM、ON的垂線，此兩垂線的交點 O'即為帶電粒子作圓周 運動時圓弧軌道的圓心，如圖 6 所示。由圖中的幾何關系可知，圓弧 MN所對的軌道圓心角為 60°， O、O'的邊線為該圓心角 的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為R=r/tan30

4、 ° =又帶電粒子的軌道半徑可表示為：故帶電粒子運動周期：帶電粒子在磁場區(qū)域中運動的時間二、旋轉(zhuǎn)圓法在磁場中向垂直于磁場的各個方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時， 帶電粒子的運動軌 跡是圍繞發(fā)射點旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動態(tài)圓（如圖7），用這一規(guī)律可快速確定粒子的運動軌跡。例 3如圖 8 所示， S為電子源， 它在紙面 360°度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為 v0，質(zhì)量為 m， 電量為 q 的電子（ q<0）， MN是一塊足夠大的豎直擋板，與 S的水平距離為 L，擋板左側(cè)充 滿垂直紙面向外的勻強磁場， 磁感應強度大小為 mv0/ qL，求擋板被電子擊中的范圍為多大？解析： 由于粒子從同

5、一點向各個方向發(fā)射， 粒子的軌跡為繞 S點旋轉(zhuǎn)的動態(tài)圓， 且動態(tài) 圓的每一個圓都是逆時針旋轉(zhuǎn)， 這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡， 如圖 9所示， 最 高點為動態(tài)圓與 MN的相切時的交點 P，最低點為動態(tài)圓與 MN相割，且 SQ為直徑時 Q為最得：低點，帶電粒子在磁場中作圓周運動，由洛侖茲力提供向心力，由SQ為直徑，則：SQ=2L，SO=L ，由幾何關系得：P為切點，所以OPL ，所以粒子能擊中的范圍為。例 4（2010 全國新課程卷）如圖 10所示，在 0xA0y 范圍內(nèi)有垂直于 xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。坐標原點 O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為 m、電荷量為

6、 q 的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在 xy 平面內(nèi)，與 y 軸正方向的夾角分布在 0 90°范圍內(nèi)。 己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到a 之間， 從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的 四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的：1）速度大?。唬?2）速度方向與 y 軸正方向夾角正弦。解析：設粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運動的半徑為力公式得：，解得：。R，由牛頓第二定律和洛侖茲從 O點以半徑 R（ < R< a）作“動態(tài)圓”，如圖 11 所示，由圖不難看出，在磁場中 運動時間最長的粒子， 其軌跡是圓心為 C 的

7、圓弧， 圓弧與磁場的邊界相切。 設該粒子在磁場 中的運動時間為 t ，依題意，所以 OCA 。設最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與 y 軸正方向的夾角為 ，由幾何關系得：， ，再加上 ，三、縮放圓法帶電粒子以大小不同， 方向相同的速度垂直射入勻強磁場中， 作圓周運動的半徑隨著速 度的變化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動態(tài)圓（如圖12），利用縮放的動態(tài)圓，可以探索出臨界點的軌跡，使問題得到解決。例 5如圖 13 所示，勻強磁場中磁感應強度為 B，寬度為 d，一電子從左邊界垂直勻強 磁場射入，入射方向與邊界的夾角為 ，已知電子的質(zhì)量為 m，電量為 e，要使電子能從軌 道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范

8、圍。解析： 如圖 14 所示，當入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射 出，速率越大，軌道半徑越大，當軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當速率大于這個臨界值時便從右邊界射出， 幾何關系得： r+r cos =d設此時的速率為 v0，帶電粒子在磁場中作圓周運動， 由電 子 在 磁 場 中 運 動 時 洛 倫 茲 力 提 供 向 心 力 ： ， 所 以 ：聯(lián)立 解 得： ，所以電子 從另一 側(cè)射 出的 條件是 速度大 于。例 6（ 2010 全國 II 卷）如圖 15 所示，左邊有一對平行金屬板，兩板的距離為d，電壓為 U，兩板間有勻強磁場，磁感應強度為B0，方面平行于板

9、面并垂直紙面朝里。圖中右邊有一邊長為 a 的正三角形區(qū)域 EFG（EF邊與金屬板垂直） ，在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強 磁場，磁感應強度大小為 B，方向垂直紙面向里。假設一系列電荷量為q 的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng) EF 邊中點 H 射入磁場區(qū)域。不計重力。（ 1）已知這些離子中的離子甲到達邊界EG后， 從邊界 EF穿出磁場， 求離子甲的質(zhì)量；2）已知這些離子中的離子乙從 EG邊上的 I 點（圖中未畫出）穿出磁場，且 GI 長為3a/4 ，求離子乙的質(zhì)量；3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大

10、的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達？解析： 由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，則有：qvB0 =qU/ d，解得離子的速度為： v=U/B0d（為一定數(shù)值）。雖然離子速度大小不變， 但質(zhì)量 m改變， 結(jié)合帶電離子在磁場中做勻速圓周運動的半徑公式 R=mv/qB分析，可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場中的運動軌跡，如圖 16 中的動態(tài)圓。（1）由題意知，離子甲的運動軌跡是圖17 中的半圓，半圓與 EG邊相切于 A點，與 EF邊垂直相交于 B點，由幾何關系可得半徑： R甲=acos30 ° tan15 °=（） a，從而求得離子甲的質(zhì)量m甲=2）離子乙的運動軌

11、跡如圖 18 所示，在 EIO2 中，由余弦定理得：，解得 R乙 =a/4 ，從而求得乙離子的質(zhì)量 m乙 =3）由半徑公式R=mv/qB可知 R m，結(jié)合（ 1）2）問分析可得：若離子的質(zhì)量滿足 m甲/2 m m甲，則所有離子都垂直 EH邊離開磁場， 離開磁場的位置到 H 的距離介于 R甲到 2R甲之間，即；若離子的質(zhì)量滿足 m甲m m乙，則所有離子都從 EG邊離開磁場，離開磁場的位置介 于 A到 I 之間，其中 AE的距離 AE=，IE 距離 IE= 。四、臨界法以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口，借助半徑 r 和速度 v 以及磁場 B 之間的約束關系進行動態(tài)軌跡分析，

12、 確定軌跡圓和邊界的關系， 找出臨界點， 然 后利用數(shù)學方法求解極值，畫出臨界點的軌跡是解題的關鍵。例 7長為 L 的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場，如圖19 所示，磁感應強度為 B，板間距離也為 L，兩極板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為 m電量為 q 的帶負電粒子（不計重力） 從左邊極板間中點處垂直磁感線以水平速度 v 射入磁場， 欲使粒子打到極板上， 求初速度的 范圍。解析： 由左手定則判定受力向下，所以向下偏轉(zhuǎn)， 恰好打到下板右邊界和左邊界為兩個臨界狀態(tài)， 分別作出兩個狀態(tài)的軌跡圖，如圖 20、圖 21 所示， 打到右邊界時， 在直角三角形 OAB中，由幾何關系得：解得軌道半徑電子在磁場中運動

13、時洛倫茲力提供向心力 因此打在左側(cè)邊界時，如圖 21 所示，由幾何關系得軌跡半徑電 子在磁場中運動時 洛倫茲力提供 向心力 ， 所以所以打在板上時速度的范圍為 v例 8如圖 22 ，一足夠長的矩形區(qū)域 abcd 內(nèi)充滿磁感應強度為 B，方向垂直紙面向里 的勻強磁場，現(xiàn)從矩形區(qū)域 ad 邊中點 O射出與 Od邊夾角為 30°，大小為 v0 的帶電粒子， 已知粒子質(zhì)量為 m, 電量為 q，ad 邊長為 L， ab 邊足夠長，粒子重力忽略不計。求：（1）試求粒子能從 ab 邊上射出磁場的 v0的大小范圍；2）粒子在磁場中運動的最長時間和在這種情況下粒子從磁場中射出所在邊上位置的范圍。解析：（1）畫出從 O點射入磁場的粒子運動軌跡的動態(tài)圓，能夠從ab 邊射出的粒子的臨界軌跡如圖 23 所示，軌跡與 dc 邊相切時，射到 ab 邊上的 A點，此時軌跡圓心為 O1，則軌道半徑 r 1=L，由得最大速度軌跡與 ab 邊相切時，射到 ab 邊上的 B 點，此時軌跡圓心為O2，則軌