均值不等式及其證明.

1、1 平均值不等式及其證明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置。平均值不等式的證明有許多種方法，這里，我們選了部分具有代表意義的證明方法，其中用來證明平均值不等式的許多結(jié)論，其本身又具有重要的意義，特別是，在許多競賽的書籍中，都有專門的章節(jié)介紹和討論，如數(shù)學(xué)歸納法、變量替換、恒等變形和分析綜合方法等，這些也是證明不等式的常用方法和技巧。1.1 平均值不等式一般地，假設(shè)a1 ,a2 ,., an為 n 個非負實數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為a1a2. anAn幾何平均值記為1Gn（ a1a2 .an ） n n a1a2.a算術(shù)平均值與幾何平均值之間有如下的關(guān)系。

2、a1a2 . ann a1a2 .an ，即AnGn，當且僅當a1a2. an時，等號成立。上述不等式稱為平均值不等式，或簡稱為均值不等式。平均值不等式的表達形式簡單，容易記住，但它的證明和應(yīng)用非常靈活、廣泛，有多種不同的方法。為使大家理解和掌握，這里我們選擇了其中的幾種典型的證明方法。供大家參考學(xué)習(xí)。1.2 平均值不等式的證明證法一（歸納法）（ 1 ）當n2 時，已知結(jié)論成立。（ 2）假設(shè)對 n k （ 正 整 數(shù) k 2 ） 時 命 題 成 立 ， 即 對ai0,i 1,2,.,k,有a1a2. akk12 k（a1a2.an）k 。kAk 1a1a2. ak 1k1關(guān)于a1,a2,.,a

3、k 1是對稱的，任意對調(diào)ai 與 aj （i j），Ak 1 和 Gk 1 的值不改變， 因此不妨設(shè)a1mina1,a2 ,., ak1 ，ak1 maxa1, a2,., ak 1顯然a1Ak1ak1 ，以及(a1Ak1 )(ak1Ak1 )0 可得Ak 1 (a1ak 1Ak 1 ) a1ak 1 .所以 Ak 1 kAk 1 ka2. ak(a1 ak 1Ak 1)k a2.ak (a1ak 1 Ak 1 )(k 1)Ak 1Ak 1a1 a2 . ak 1Ak 1即Akk1a2.ak(a1ak 1Ak1) 兩邊乘以Ak1 ，得Ak1a2.ak Ak1(a1ak1Ak1)a2 .ak (

4、 a1ak 1)Gk1 。從而，有Ak 1 Gk 1證法二（歸納法）（ 1 ）當n2 時，已知結(jié)論成立。（ 2）假設(shè)對 n k （ 正 整 數(shù) k 2 ） 時 命 題 成 立 ， 即 對ai 0,i 1,2,.,k,有a1a2. ak kk a1a2.ak 。那么，當n k 1 時，由于a1 a2.akak 1a1a2.ak(ak 1Gk1 .Gk1) (k1)Gk1k k a1a2.akk k ak 1Gk 1 (k 1)Gk 12k k a1 a2.ak k ak 1Gkk 11(k 1)Gk 12k2kGkk11Gkk11 (k 1)Gk 1 (k 1)Gk 1從而，有Ak 1 Gk 1

5、證法三（歸納法）（ 1 ）當n2 時，已知結(jié)論成立。時命題成立，即對（ 2）假設(shè)對 n k （ 正 整 數(shù) k 2ai 0,i 1,2,.,k,有a1a2.akkk a1a2.ak 。那么，當n k 1 時，由于a1a2.akak 1證法四（歸納法和變換）證法五（利用排序不等式）設(shè)兩個實數(shù)組a1 ,a2,., an和b1,b2,., bn 滿足a1a2.an; b1b2.bn ，則a1b1a2b2.anbn（同序乘積之和）a1bj 1 a b2j 2 .anbjn（亂序乘積之和）a1bna 2bn1 .anb （反序乘積之和）1其中 j1, j 2,., jn是 1,2,., n 的一個排列，

6、并且等號同時成立的充分必要條件是a1a2.an 或b1b2.bn 成立。證明：切比雪夫不等式（利用排序不等式證明）楊森不等式(Young) 設(shè) 1 0, 2 0, 12 1 則對x1,x2 0有x1 1x2 21x12x2等號成立的充分必要條件是x1x2。琴生不等式(Jensen)設(shè) y f (x), x ( a, b)為上凸(或下凹)函數(shù)，則對任意xi(a,b)(i1,2,., n)，我們都有1 f (x1)2 f (x2).n f(xn)f (1x12x2.nxn)或1 f (x1)2 f (x2).n f(xn)f (1x12x2.nxn)n其中 i 0(i1,2,., n) i 1i1

7、習(xí)題一111. 設(shè) a, b R ,1 。求證：對一切正整數(shù)n ，有ab(a b)n anbn22n2n 12. 設(shè) a, b, c R , 求證：a b c abc(1)(1)(1) 2(13)b c aabc3. 設(shè)x1 , x2, x3為正實數(shù)，證明：x2x3x1(x1)2(x2)2 (x3) 2x1x2x3x2x3x14. 設(shè) a, b, c R , a b c 1 ，求證：(1 a)(1 b)(1 c) 8(1 a)(1 b)(1 c)5. 設(shè) x, y, z R ，且 x yz ，求證：222x y y z z xx2y2z2zxy222ab bc ca6. 設(shè) a, b, c R ，滿足a2 b2 c21 ，求證：3cab7. 設(shè) a, b, c, d 是非負實數(shù)，滿足ab bc cd da 1 ，求證：3333 abcd1b c d