2019年高考(理科)數(shù)學(xué)經(jīng)典母題30題(解析版)

1、yjy1 .1-2/ olx-2 oy|1 一 /一-2 O / 2 x , ' 1 :A.yyi. 11 LIJ2x-2、'。/，2xB.C.母題4【函數(shù)的圖象】（2016乙卷理7）函數(shù)y=2x2 J”在12,2的圖像大致為（）.圖象和性質(zhì)】（2016角形函數(shù)的全國乙理12 ）已知函數(shù)D.母題512019年高考（理科）數(shù)學(xué)經(jīng)典母題 30題母題1【集合運算】（2017北京卷理1）若集合A=x| - 2 <x<1 , B=xx< - 1或x>3,則 A - B=A. x| -2<x< -1 B. x| - 2<x<3C. x| -

2、1 <x <1 D. x|1 <x <3母題21充分條件和必要條件】（2017天津卷5）設(shè)8W R ,則“日_<一”是“ sin日<-"12122的（）.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件一.2母題31函數(shù)的性質(zhì)】（2016山東卷理12）已知當(dāng)xW 0,1時，函數(shù)y=（mx 1）的圖象與y=Jx+m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是A. 0,1 L 33,二 B. 0,1 .L 二C. 0, '，一2 ,3，二 D. 0,、，2 七3,二2019年高考（理科）數(shù)學(xué)經(jīng)典母題30題（解析版） 第

3、（9）頁x = 一為y = f (x)圖像4f (x) =sin(x +中)|缶 >0,中，j I， x = 一;為 f (x)的零點,5的對稱軸，且 f（x）在上單調(diào)，則 0的最大值為（118 36 ）A. 11B.C.D.母題61平面向量數(shù)量積】（2016天津理7）已知 ABC是邊長為51的等邊三角形，點D ,E分別是邊AB ,BC的中點，連接DE并延長到點F ,使得DE =2EF ,則元GC的值為（）A. -8B.C.D.11母題7【內(nèi)切球】（2016全國丙理10)在封閉的直三棱柱ABC _AiBiCi 內(nèi)有一個體積為V的球，若 AB _L BC , AB =6,BC =8, AA

4、1 =3,則V的最大值是（A. 4冗B.2C. 6冗D.母題81平面與平面平行的判定】（2016全國乙理11）平面a過正方體 ABCD ABC1D1的頂點A , a/平面CBD1 , aH平面ABCD =m , a H平面ABB A =n ,則m , n所成角的正弦值為（A 3 BA.B.2 c C.2D.母題9【直線和雙曲線位置關(guān)系】22（2017天津卷理6）已知雙曲線 與七=1（a>0,b>0）的 a b左焦點為F ,離心率為夜.若經(jīng)過F和P（0,4 ）兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為22A. -144B.22xyd一 =188C.22xyd一 一=148D

5、.22xyd一=184母題101直線和拋物線位置關(guān)系】（2016四川理8）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2 = 2 px( p> 0）上任意一點,M是線段PF上的點，且PM =2MF，則直線OM的斜率的最大值為（).A立 八.3B.C.D.母題11【程序框圖】（2016山東卷理7）執(zhí)行兩次下圖所示的程序框圖，若第一次輸入的x的值為7,第二次輸入的x的值為9,則第一次、第二次輸出的 a的值分別為（）A. 0,0 B. 1,1 C. 0,1A.24 B.18 C.12 D.9D. 1,0母題121排列和組合】（2016全國甲理5）如圖所示，小明從街道的 E處出發(fā)，先到F處與小紅會合

6、，再一起到位于 G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的 最短路徑條數(shù)為（）.母題13【幾何概型】（2017全國卷1理8）如圖，正方形 ABCDJ的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨 機取一點，則此點取自黑色部分的概率是B.A.母題141復(fù)數(shù)的運算及概念】（2017全國理2）已知aWR, i是虛數(shù)單位，z= a + V3i ,A. 1 或1B. "或" C.-73D.33母題151導(dǎo)數(shù)的幾何意義】（2016甲卷理16）若直線y = kx+b是曲線y = lnx + 2的切線,也是曲線y =ln

7、 （x+1）的切線，則b =.一一一一.、一一,、， 一， 一.3o母題161二項式定理】（2017浙江卷理）已知多項式（x + 1）（x + 2） =54321x +x +a2x +a3x +adx +a§ ,貝 1 a4=,a§=母題17【直線和圓】（2016全國丙理16）已知直線l : mx+ y +3mJ3 = 0與圓x2 + y2 =12交于A, B兩點，過A, B分別做l的垂線與x軸交于C , D兩點，若AB=2j3,則CDJx 2 y < 1母題18【線性規(guī)劃】（2017全國卷1理）設(shè)x, y滿足約束條件<2x + y >-1,貝U z=3x

8、 2yx - y 工 0母題191平面向量坐標(biāo)運算】（2017新課標(biāo)3理13）已知向量a=（2,3）,b = （3,m）,且a，b,貝 U m=.母題20【等比數(shù)列通項公式和性質(zhì)】（2016全國乙理15）設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+% =10 , a2 +a4 = 5,則a1a2 an的最大值為母題21【立體幾何與空間向量】 12014高考北京理第17題】如圖，正方體 MADE的邊長 為2, B, C分別為AM , MD的中點，在五棱錐 P ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點， 平面ABF與棱FD , PC分別交于G , H .（1）求證：AB/FG；（2）若PA_L底面ABCDE ,且PA = AE

9、,求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求 線段PH的長.母題22【解三角形】（2017全國卷3理17） ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,已知 sinA+ M，cosA=0, a=24；，b=2 .(1)求 c;(2)設(shè)D為BC邊上一點，且 AD- AC,求 ABD的面積.母題231等差數(shù)列通項公式和數(shù)列求和】 （2016全國甲理17） &為等差數(shù)列（a的前n項 和，且ai =1 , $ =28 .記bn =Man，其中X表示不超過的最大整數(shù)，如0.9=0，加991=1 .（i）求 b1, h1, ho1 ；（2）求數(shù)列bn的前1 000項和.母題24【數(shù)列遞推公

10、式和數(shù)列求和】（2016山東理18）已知數(shù)列an的前n項和_2Sn =3n +8n , bn是等差數(shù)列，且 an =bn +bn卅.（1）求數(shù)列6的通項公式；(a 1)n 1 .(2)令cn =(a_4.求數(shù)列cn的前n項和Tn.(bn 2)n母題251空間向量與立體幾何】（2016全國乙理18）如圖所示，在以A , B , C , D , E , F為頂點的五面體中，面 ABEF為正方形,AF =2FD , /AFD =90，',且二面角D - AF E 與二面角 C BE -F 都是 60 .（1）求證：平面 ABEF _L平面EFDC ;（2）求二面角E -BC A的余弦值.母題

11、261離散型隨機變量的分布列和期望】（2016全國卷3理19）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫 （單位：C） 有關(guān).如果最高氣溫不低于 25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間 20, 25）,需求 量為300瓶；如果最高氣溫低于 20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10 , 15)15 , 20)20 , 25)25 , 30)30 , 35)35 , 40)天數(shù)2163

12、62574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。（1）求六月份這種酸奶一天的需求量 X （單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y （單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量n （單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？母題271直線和橢圓位置關(guān)系】（2017新課標(biāo)2卷理20）設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點 M在橢圓C十/=上，過m作x軸的垂線，垂足為 N,點P滿足=.2（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點Q在直線，=-m上，且加-刖二.證明：過點 P且垂直于 OQ的直線I過C的左焦 點F.母題281導(dǎo)數(shù)的綜合運用】（2017山東卷理21）已知函數(shù)f （x） =

13、x2 +2cosx ,g（x）=ex（cosxsinx十2x2）,其中 e =2.71828|是自然對數(shù)的底數(shù).（I）求曲線y = f （x ）在點g f （x ）處的切線方程；（n）令h（x）=g x）旬 x a五），討論h（x）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求 出極值.母題29【坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（2016全國乙理23）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方x = a cost程為«（ t為參數(shù)，a>0）.在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐y =1 asint標(biāo)系中，曲線C2 : P =4cos.（1）說明C1是哪一種曲線，并將 C1的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）直線

14、C3的極坐標(biāo)方程為0 =%,其中口°滿足tana。=2,若曲線G與C2的公共點2f ( x)= -x + ax 7 ,都在C3上，求a.母題30【不等式選講】（2017新課標(biāo) 1卷理24）已知函數(shù)g (x )= x +1 + x 1 .(1)當(dāng)a =1時，求不等式f (x心g(x)的解集；(2)若不等式f (x)之g(x)的解集包含-1, 1,求a的取值范圍.2019年高考(理科)數(shù)學(xué)經(jīng)典母題 30題答案及解析母題1【集合運算】（2017北京卷理1）若集合A=x| - 2<x<1 , B=x| xc - 1或x>3, 則 A - B=A. x| - 2 <x&

15、lt; - 1 B. x| - 2<x<3C. x| - 1 <x<1 D. x|1 <x <3【答案】A【解析】試題分析：利用數(shù)軸可知Ac B =x| 2 < x< 1 ，故選A.母題21充分條件和必要條件】（2017 天津卷 5）設(shè)8 w R ,則“日一- <二”是“ sinQ <- "12122的（）.必要不充分條件既不充分也不必要條件A.充分不必要條件B.C.充要條件D.【答案】A【解析】e -日-12（一，所以是充分不必要條件，選12A.2019年高考（理科）數(shù)學(xué)經(jīng)典母題30題（解析版） 第（19）頁，一，2時，函

16、數(shù)y=（mx 1）的圖象母題31函數(shù)的性質(zhì)】（2016山東卷理12）已知當(dāng)與y=Jx+m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是A. 0,1 L 2 3,二 B. 0,1 L a 二C. 0,.2 L e,3,二 D. 0, 2 ."3,二【答案】B【解析】當(dāng)VI時 >1 , y =（jmx-1）3單調(diào)遞減出y =（皿-1）建（加-1）11 7 , = &+刑單調(diào)遞熠，目7 = 4。+瀏曰科1 +冽，此時有且僅有一個交點d當(dāng)加>1時，,尸二（他X-。m在，j上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個交點，需（附A1+涉=5之3選B一母題4【函數(shù)的圖象】（2016乙卷理7

17、）函數(shù)y=2x2 -ex在12,2的圖像大致為（）.A.B.C.D.【答案】D分析對于函數(shù)圖像識別題一般是利用函數(shù)性質(zhì)排除不符合條件的選項【解析】 設(shè)八算）=2/0,由"2） = 8 可排除A （小于0）, B （從趨勢上超過1卜又 工0,2）時，r（x） = 4x-e，（0） /"）=（4司（3所以/（k）在（0/）上不是單調(diào)函數(shù)，排除C.故選D.評注 排除£選項的完整論述，設(shè)£（，）=/（注則注卜）二4一£.由W0A。, /（2）%可知存在不«L2）使得翅%）=0且X«%2）時叁幻0,所以/（用在（%2）是減函數(shù)，即/人

18、飛2）時力切線斜率隨x的增大而減小，排除B.母題51角形函數(shù)的圖象和性質(zhì)】（2016 全國乙理12 ）已知函數(shù)f (x) = sin® x + 毋產(chǎn) > 0,中冗， 一, 、,，一，x = 一一為f （x）的零點, 4冗-一, 、一x =一為y = f （x）圖像4的對稱軸，且 f（x）在，5i上單調(diào)，則18 360的最大值為（A.11【答案】B.C.D.【解析】依題意，可得= 4"),日-36 18T 口下 九 二，即T二 2611_故 2k *1, 12, k 匚 N,即 k, , k = N .當(dāng) k=5 時，T一.又11冗 冗<18 41144 36 &

19、#39;因此f（x）在請,3|上不單調(diào).當(dāng)k=4時，T =i二5jt j18,36工兀5兀 eI4 9 361836，因此 f (x )在 7t 57t18,36上單調(diào)，則O的最大值為9.故選B.母題61平面向量數(shù)量積】（2016天津理7）已知 ABC是邊長為1的等邊三角形，點D ,E分別是邊AB ,BC的中點，連接DE并延長到點F ,使得DE =2EF ,則銀,品的值為（A. -8B.C.D.11【解析】由題意作圖,，.一T- T 1T 如圖所本.則 AF .BC =（AE +EF >BC = ACBCcos60 =-.48故選B.母題7【內(nèi)切球】（2016全國丙理10）在封閉的直三棱

20、柱 ABC _ A1 B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB _L BC , AB =6,BC =8, AA1 =3，則V的最大值是（A. 4冗B.C. 6冗D.如圖所示，假設(shè)在直三棱柱 ABC- ABC1中，有一個球與平面 ABBA,平面BCCB ,平AAGC面相切，其俯視圖如圖所示.設(shè)其球的半徑為r,1 c cC6 8=2,且 2r, AA =3,得 r,W.因此，直三棱柱內(nèi)球的2則 r = S=BC = _21 -12c2M（6+8+1。）4-/31 =” .故選 B.322母題81平面與平面平行的判定】半徑最大值為3 ,則Vmax2（2016全國乙理11）平面a過正方體 ABCD ABC

21、1D1的頂點A , a/平面CBD1, 口|平面ABCD =m ,平面ABBA=n,則m, n所成角的正弦值為（A. _3B.C._3D.3【答案】A【解析】解法一：將圖形延伸出去j構(gòu)造一個正方體，如圖所示.通過尋找線線平行構(gòu)造出平面a ，即平 面/即，艮陶究幺后與-4F所成角的正弦值,易知上西尸二?所以其正弦值為 坐.故選A.解法二（原理同解法一）：過平面外一點力作平面口，并使S"平面C5曾不妨將點變換成5,作 使之滿足同等條件，在這樣的情況下容易得到月，即為平面如圖所示，即研究4刀與ED所成角的正弦值，易知4聲口 = ?，所以其正弦值為小.故選機 -JJu22母題9【直線和雙曲線

22、位置關(guān)系】（2017天津卷理6）已知雙曲線 今3=1（a>0,b>0）的a b左焦點為F ,離心率為J2.若經(jīng)過F和P（0,4 ）兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為22x yA. -=144B.2y =18C.2y =18D.22xy-184422【解析】由題意得 a = b, = 1=c = 4, a = b = 2 J2=- = 1 ，選B.-c88母題101直線和拋物線位置關(guān)系】 （2016四川理8）設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的 拋物線y2 = 2px（p >0）上任意一點，M是線段PF上的點，且PM|=2MF，則直線OM 的斜率的最大值為（）.V

23、 B. 2 C 年 D. 1【解析】 設(shè)P（2”,2M , MQj）,尸傳。）（不妨設(shè)f>。卜I上 J因為屈w而，所以V P 2P 2 P M f -二"（當(dāng)且僅當(dāng)工=;時,即時取”二”），所以（）“二¥j£r£故選c.母題11【程序框圖】（2016山東卷理7）執(zhí)行兩次下圖所示的程序框圖，若第一次輸入的x的值為7,第二次輸入的x的值為9,則第一次、第二次輸出的a的值分別為（）人正整期/A. 0,0 B. 1,1 C. 0,1 D. 1,0 【答案】D【解析】第一次 x=7,22（7,b=3,32）7,a=1 ；第二次 x = 9,22 < 9

24、,b =3,32 = 9,a = 0 ,選D.母題121排列和組合】（2016全國甲理5）如圖所示，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）.A.24 B.18 C.12 D.9【解析】從E->F的最短路徑有6種走法，從F T G的最短路徑有3種走法，由乘法原理知，共6父3 =18種走法.故選b母題13【幾何概型】（2017全國卷1理8）如圖，正方形 ABCDJ的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A.

25、 1B. -C. 1D. -4824【答案】B【解析】不妨設(shè)正方形邊長為a.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即所各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，所求概率為母題141復(fù)數(shù)的運算及概念】（2017全國理2）已知aw R , i是虛數(shù)單位，若z= a +J3i ,【答案】a【解析】由z = a + J3i,z 'Z =4得a2 +3 = 4 ,所以a = ±1 ,故選A.母題151導(dǎo)數(shù)的幾何意義】（2016甲卷理16）若直線y = kx+b是曲線y = lnx + 2的切線,也是曲線y=ln（x+1 ）的切線，則b =.【答案】1 _ ln 2【解析】

26、7 =由,+2的切點為（為后百+2），貝后的切線為3=+ m再+ i 3 = E（，+1）的切點為 項巧 巧+ 1Id+1 = in +1) （引口出+2）,貝危蒯線為：,=荷*皿%+ 1）一言,巧二一一 > 所以b = lu均+1 =1In 2. 232母題161二項式定理】（2017浙江卷理）已知多項式（x + 1）（X + 2） =54321x +x +a2x +a3x +a4x +a5 ,貝 1 a4=, a5=.【答案】16 4【解析】由二項式展開式可得通項公式為：C；xrC2mxm 225 =C3r C2m -22H，xr，分別取 r =0,m=1 和 r =1,m=0 可得

27、 a4 = 4 + 12 = 16, B r = m ,可得 a5 =1父 22 = 4 .母題17【直線和圓】（2016全國丙理16）已知直線l : mx+y+3m J3 = 0與圓x2 + y2=12交于A, B兩點，過A, B分別做l的垂線與x軸交于C , D兩點，若AB=2j3,則CD =【解析】 解法一：根據(jù)直線與圓相交弦長公式有ab =23-d2 =2向,得r2-d2 = 3,又r2=12,彳導(dǎo)d =3.因此圓心0（0,0）到直線i： mx+y + 3m73 = 0的距離3m - 3-332d =3,解得m =.m2 13因此直線l的方程為y =3x + 2j3.所以直線1的傾斜角

28、為30，.如圖所示，過點C作3CE -L BD 于點 E ,則 |CD= =旦=攣=4.cos30 cos30"332解法二：直線心 血+尸十筋一幣=0,知直線/過定點/（3,出），又|期|=2行二所以（?疑為等邊三角形，因為一小3括）所以a0C二即，又知4® = 601所以點出在丁軸上直線，的斜率存在）.所以得直線J的傾斜角為30,則|CD| =CE _網(wǎng)二小cos 30* cos304 力2的最小值為 【答案】-5【解析】如圖所示，不等式組表示的可行域為AABCx 2y . 1母題18【線性規(guī)劃】（2017全國卷1理）設(shè)x, y滿足約束條件,2x + y之1,則z=3x

29、 2yx - y _ 0直線z =3x-2y在x軸上的截距越小，z就越小,所以，當(dāng)直線直線z=3x-2y過點A時，z取得最小值，所以z取得最小值為3 （-1）- 2 1 5母題191平面向量坐標(biāo)運算】（2017新課標(biāo)3理13）已知向量a =（-2,3 ）,b = （3,m）,且a，b,貝 U m=.【答案】2【解析】由題意可得 2父3 +3m = 0,解得m = 2 .母題20【等比數(shù)列通項公式和性質(zhì)】（2016全國乙理15）設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a=10, a2 +& = 5,則a1a2 '"an的最大值為【答案】64【解析】由/+4 =0組+學(xué)與=4（6 +q）

30、=1）4 = 5 ,得4 =三二"(1 + q ) =10,故4 = 8/ 、z(keN),1解法一：由an1,得_2n _41,得n , 4,且a4 =1.故當(dāng)n =3或4時,aazlllan 取得最大值,即 a1a2Ilian max =a1a2a3 =022304 =L二64.a1a2II |an = a1nq0HH2 卞吹)=8貨 1 2 7 2_ n n=2 2 2 .故當(dāng)n=3或4時，0閏2|小取得最大值26 =64.母題21【立體幾何與空間向量】 12014高考北京理第 為2, B, C分別為AM , MD的中點，在五棱錐 平面ABF與棱FD , PC分別交于G , H

31、 .17題】如圖，正方體 MADE的邊長P - ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點，（1）求證：AB/FG；（2）若 PA_L 底面 ABCDE 線段PH的長.,且PA = AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求2019年高考(理科)數(shù)學(xué)經(jīng)典母題30題(解析版) 第(23)頁【解析】(1)在正方形中,因為方是4M的中點，所以四因為血8平面PDE、所以血力平面PDE,因為dSu平面4BF,且平面45尸。平面FDE = FG,所以4S"嚴(yán)G.(2)因為產(chǎn)W_L底面 4BCDE j 所以 F/_L4B , PA1AE,如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)則速Q(mào)QO)”QRO), C(2,LS,P(

32、0q2), F(OX1),BC =(1,1,0) 設(shè)平面尸的法向量為n=(xj：z),9 AB =0 x-d則 .，即 c，令Z=L則二一1,所以H=(OLD,|.a 尸=0ly+z=。設(shè)直線SC與平面ABF所成的角為區(qū)則cos a =| 8& |= "'"I = !下| |&C| 27T因此直線EC與平面4BF所成的角為£, 6設(shè)點Hg2w),因為點4在棱尸c上，所以可設(shè)麗=/而(。丸1), 即（以y,w-2）=4ZL-2），所以度= 24）= Zw = 2-2區(qū)，因為向量是平面Hff尸的法向量,所以,&=(), KP(0-l,l

33、)*(2A,A,2-2Z) = 0,解得人=j所以點H的坐標(biāo)為 所以PH =檢+(孑+(孑=2 .母題22【解三角形】(2017全國卷3理17) ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c, 已知 sinA+ AcosA=0, a=2/，b=2 .(1)求 c;(2)設(shè)D為BC邊上一點，且 AD- AC,求 ABD的面積.【解析】（1）由已知得tanA= _J3,所以a=在 ABC中，由余弦定理得c2+2c-24=028 =4+c24ccos空，即 3解得c = -6(舍去)，c=4（2）有題設(shè)可得 ZCAD="2= BAC - /CAD1 ABADsin - 26 _ 1

34、故 ABD面積與ACD面積的比值為1= 11 ACAD21八又 ABC的面積為m 4 m 2 sin N BAC2=2、,3ABD勺面積為 ,3.母題231等差數(shù)列通項公式和數(shù)列求和】（2016全國甲理17） &為等差數(shù)列（a的前n項和，且a1 =1S7=28 .記 bn=|gan,其中W表示不超過的最大整數(shù)，如09 = 0 ,加99】=1bl1 ,bl01 ；（2）求數(shù)列bn 的前1 000項和.【解析】（1）設(shè)%的公差為d , S =7a4=28,所以a4=4,所以d =1,所以an =a1 +(n -1)d =n .所以 bi=Kg a】=Hg1 =0 ,bn=Hg an=Hg1

35、11=1,>01 = Ig <011=Hg101 1=2 .(2)當(dāng) 0w lg，<1 時，n =1, 2 ,一，9；當(dāng) 1 w Iga” <2時，n=10, 11,，99；當(dāng) 2< lg4 <3時,n =100, 101,999；當(dāng) lgan =3時，n =1000 .母題24S =3n2T1b=0g a1【數(shù)列遞推公式和數(shù)列求和】（2016山東理18）已知數(shù)列an的前n項和+ 8n , bn是等差數(shù)列，且an也bn 1.（1）求數(shù)列bn的通項公式;（2）令Cn =（an ,Dn .求數(shù)列Cn的前n項和Tn .（bn 2）時，a = 6 =11,【解析】（

36、1）由題意知當(dāng)n2時，an = Sn - Sn口 = 6n+5 ,當(dāng)n = 1*所以 an = 6n 5 n 二 N設(shè)數(shù)列%的公差為d ,由卜1 =5+b2 ,即11 = 2b1+d ,解得卜=4, d =3,所 a2 3 b317 =2bi 3d *以 bn -3n 1 n N .(2)由(1)知cn=-6)n = 3(n +1)2n* ,又Tn = g+ c2 +c3 +-，+cn,(3n 3)得Tn =3父2父22 +3父23 +4黑24 +，+(n+1)乂2口卡,2Tn =3父2父23 +3父24+4父25十十(n+1)父2n形,兩式作差，得：-Tn =3 2 22 23 242n1

37、-(n 1) 2n 2=3M4 +4(2 1)-(n +1/2n也= -3n 2n也，2 -1所以 Tn =3n 2n ：母題251空間向量與立體幾何】(2016全國乙理18)如圖所示，在以A , B , C , D , E ,F為頂點的五面體中，面 ABEF為正方形,AF =2FD , /AFD =900,且二面角D - AF -E 與二面角 C BE -F 都是 60 .2019年高考（理科）數(shù)學(xué)經(jīng)典母題30題（解析版） 第（25）頁（1）求證：平面 ABEF _L平面EFDC ;（2）求二面角E -BC A的余弦值.【解析】（1）由已知可得AFVFE,所以，F(xiàn)J平面EEDC.又XF仁平面

38、ABEF *故平面ABEF J平面EFDC.（2）過口作DG1E尸，垂足為G,由（1）知DG_L平面.迎產(chǎn).以G為坐標(biāo)原點，聲的方向為工軸正方向，|而|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-型.由（1）知/DE為二面角DAFE的平面角,故/DFE=60：則 DF =2, DG =百，可得A（1,4, 0）, B（與，4,0）, E（4,0, 0）, D（0,0,布）.由已知，人8乙上5,所以人8乙平面EFDC .又平面 ABCD。平面 EFDC =CD ,故 AB 乙 CD , CD E EF .由BE AF ,可得BE_L平面EFDC ,所以/CEF為二面角C _ BE _ F的平面角，

39、故/GEF = 60, 從而可得C2,0,店）.所以就= （L0,右），麗=（0,4用），衣=（-3廠4,而），方=（T ,0,0）,設(shè)m,是平面BCE的法向量，則卜即卜粒二°,所以可?。?.內(nèi)前邸=0 4j = 0ZA設(shè)M是平面數(shù)CD的法向量，貝1格前二0m* AB = 0同理可取利=（0, Wl4）,則cos, 同=用JK1«11«2M19故二面角E-的余弦值為一嚕.母題261離散型隨機變量的分布列和期望】（2016全國卷3理19）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.

40、根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫 （單位：C） 有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間 20, 25）,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于 20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10 , 15)15 , 20)20 , 25)25 , 30)30 , 35)35 , 40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。（1）求六月份這種酸奶一天的需求量 X （單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y （單位：元），當(dāng)六月份這種

41、酸奶一天的進貨量n （單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值？【解析】(1)由題意知，X所有的可能取值為 200,300,500 ,由表格數(shù)據(jù)知2 1636P X =200 = =0.2 P X =300 = =0.490902019年高考(理科)數(shù)學(xué)經(jīng)典母題30題(解析版) 第(27)頁P X =500 =25 7 4 八，=0.490因此X的分布列為X200300500P0.20.40.4由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮200 < n < 500當(dāng) 300 < n < 500 時, 若最高氣溫不低于 25,則Y=6n-4n=

42、2n若最高氣溫位于區(qū)間 加°, ,25 ),則 丫=6>< 300+2 ( n-300) -4n=1200-2n;若最高氣溫低于 20,貝U Y=6X 200+2 ( n-200 ) -4n=800-2n;因止匕 EY=2nX 0.4+ ( 1200-2n) X 0.4+(800 -2n ) X 0.2=640 -0.4n當(dāng) 200 < n <300 時，若最高氣溫不低于 20,則Y=6n-4n=2n;若最高氣溫低于 20,貝U Y=6X200+2 (n-200 ) -4n=800-2n;因此 EY=2nx (0.4+0.4)+(800-2n) X0.2=16

43、0+1.2n所以n=300時，Y的數(shù)學(xué)期望達到最大值，最大值為520元。母題271直線和橢圓位置關(guān)系】(2017新課標(biāo)2卷理20)設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點 M在橢圓C +/= 1±,過M作x軸的垂線，垂足為 N,點P滿足心=姆皿. £t(1)求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線，=-m上，且宓-網(wǎng)？=1.證明：過點 P且垂直于 OQ的直線過C的左焦 點F.【解析】：(1)轉(zhuǎn)移法求軌跡：設(shè)所求動點坐標(biāo)及相應(yīng)已知動點坐標(biāo)，利用條件列兩種坐標(biāo) 關(guān)系，最后代入已知動點軌跡方程，化簡可得所求軌跡方程；(2)證明直線過定點問題，一般方法是以算代證：即證 的一師=0,先設(shè)P (m n),則需

44、證3 +即根據(jù)條件cfp 一兩二，可得 一mm-E* + tn-n2 = 1 ,而 m* 十 八 = 2 ,代入即得 3 + 加一七抑=。.試題解析：解：(1)設(shè)P (x, y), M(%M),則N(,用0),加=57就，血二(。小 由=淄皿得，0 = 0, y產(chǎn)當(dāng).22因為M(/%)在C上，所以上十匕二1.22因此點P的軌跡為/十/ = 2.由題意知F (-1,0 )，設(shè)Q (-3, t), P (3n),則例二(-3, 口，府=(-l-m* -n),的 用=3 +3m-E,(fP= (m, =(-3 - m, t 一茸).由6-盧2 = 1得-3m-/+tn-M=1,又由(1)知/十=2,

45、故3+3m-tn=0.所以 的-加=0,即，例1亦.又過點P存在唯一直線垂直于 OQ所以過點P且垂直于OQ 的直線l過C的左焦點F.母題281導(dǎo)數(shù)的綜合運用】(2017山東卷理21)已知函數(shù)f (x)=x2 +2cosx ,g(x)=ex(cosxsinx + 2x2),其中 e = 2.71828|是自然對數(shù)的底數(shù).(I)求曲線y = f (x)在點(兀，f (x )處的切線方程；(n)令h(x )=g x )-af x a近)，討論h(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.【解析】(I )由題意笈)=12X fr(x) 2工一 2sinx,所以7(笈)=2因此 曲線丁 = /(%)

46、在點(漢/(浦)處的切線方程為p( / 2)= 2 "(工笈),即 y = 2x12,(n)由題意得 h(x )=ex(cosxsinx + 2x 2 )a(x2+2cosx ),因為 h x =ex cosx - sinx 2x -2 ex -sinx-cosx 2 -a 2x-2sinx= 2ex x -sinx -2a x -sinx=2 (ex -a )(x -sinx ),令 m x = x -sinx貝U m x =1 -cosx 一 0所以m(x肝R上單調(diào)遞增.因為m 0 =0,所以當(dāng)x>0時，m(x)>0,當(dāng) x<0時，m(x)<0(1)當(dāng) a

47、 E0時，ex -a >0當(dāng)x<0時，h'(x)<0, h(x浮調(diào)遞減，當(dāng)xa0時，h'(x)>0, h(x加調(diào)遞增，所以 當(dāng)x = 0時h(x)取得極小值，極小值是h(0)=-2a-1；(2)當(dāng) a >0 時，h'(x )=2(exe1na Mxsinx )由 h'(x)=0 得 x1=1na, x2=0當(dāng) 0 <a <1 時，Ina <0 ,當(dāng) xw (Q,1na )時，ex e1na (° h'(x0 , h(x)單調(diào)遞增;當(dāng) xw (1na,0 )時，ex elna >0,hx )&

48、lt;0 , h(x)單調(diào)遞減；當(dāng) xw (0,收)時，ex -ena A0,h'(x)A0 , h(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x = 1na時h( x )取得極大值.極大值為 h(1na )= -a 1n2a -21na +sin(1na )+cos( 1na )+ 2 I,當(dāng)x=0時h(x)取到極小值，極小值是h(0)=2a1 ；當(dāng) a =1 時，1na =0,所以 當(dāng)xw(-«,y)時，h'(x)2 0,函數(shù)h(x )在(8")上單調(diào)遞增，無極值;當(dāng)a >1時，1na >0所以當(dāng) xj*,0)時，exe1na<0, h'(x)>0,h(x 彈調(diào)遞增；當(dāng) xw (0,1na )時，ex -ena <0 , h'(x )<0,h(x )單調(diào)遞減；當(dāng) xw (1na,f )時，ex -e1na >0, h'(x )> 0,h(x )單調(diào)遞增；所以 當(dāng)x = 0時h(x )取得極大值