變量間的相關(guān)關(guān)系教案

1、變量間的相關(guān)關(guān)系一、教材分析學(xué)生情況分析：學(xué)生已經(jīng)具備了對樣本數(shù)據(jù)進行初步分析的能力，且掌握了一定的計算基礎(chǔ)。教材地位和作用：變量間的相關(guān)關(guān)系是高中新教材人教 A版必修3第二章2.3節(jié)的內(nèi)容，本節(jié) 課主要探討如何利用線性回歸思想對實際問題進行分析與預(yù)測。 為以后更好地研究選修2-3第三章 3.2節(jié)回歸分析思想的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：利用散點圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想及線性回歸方程系數(shù)公式 的推導(dǎo)過程，求出回歸直線的方程并對實際問題進行分析和預(yù)測，通過實例加強對回歸直線方程含義的理解。2、過程與方法：通過自主探究體會數(shù)形結(jié)合、 類比、及最小二乘法的數(shù)學(xué)思想方法。

2、通過動手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力。3、情感、態(tài)度與價值觀：類比函數(shù)的表示方法，使學(xué)生理解變量間的相關(guān)關(guān)系，增強應(yīng)用回歸直 線方程對實際問題進行分析和預(yù)測的意識。三、教學(xué)重點、難點重點：利用散點圖直觀認識兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求 出回歸方程。難點：對最小二乘法的數(shù)學(xué)思想和回歸方程的理解，教學(xué)實施過程中的難點是根據(jù)給出的線性回歸 方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。四、教學(xué)設(shè)計）（一）、創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課1、相關(guān)關(guān)系的理解我們曾經(jīng)研究過兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系：一個自變量對應(yīng)著唯一的一個函數(shù)值，這兩者之 問是一種確定關(guān)系。生活中的任何兩個變量之間是不是

3、只有確定關(guān)系呢？如：學(xué)生成績與教師水平之間存在著某種聯(lián)系，但又不是必然聯(lián)系，對于學(xué)生成績與教師水平之間的這種不確定關(guān)系， 我們稱之為相關(guān)關(guān)系。這就是我們這節(jié)課要共同探討的內(nèi)容變量間的相關(guān)關(guān)系。 生活中還有很多描述相關(guān)關(guān)系的成語，如：“虎父無犬子”，“瑞雪兆豐年”。通過學(xué)生熟悉的函數(shù)關(guān) 系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中兩個變量之間還存在的相關(guān)關(guān)系。讓學(xué)生體會研究變量之間相關(guān)關(guān)系的 重要性。感受數(shù)學(xué)來源于生活。（二）、初步探索，直觀感知1、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖，直觀感知變量之間的相關(guān)關(guān)系。在研究相關(guān)關(guān)系前，先回憶一下函 這的表示方法有哪些一一列表，畫圖象，求解析式。下面我們就用這些方法來研究相關(guān)關(guān)系?？催@

4、樣一組數(shù)據(jù)：在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)樣 本數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？年 齡2327394145495053545657586061脂 肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.611結(jié)論：隨著年齡增長，脂肪含量在增加。用 x軸表示年齡，y軸表示脂肪。一組樣本數(shù)據(jù)就對應(yīng)著 一個點。年齡脂肪239.5 2717.83921.24125.9 14527.54926.35028.2 5329.65430.25631.4 15730.85833.56035.26134.6

5、散點圖這個圖跟我們所學(xué)過的函數(shù)圖象有區(qū)別，它叫作散點圖2、判斷正、負相關(guān)、線性相關(guān)：請觀察這4幅圖，看有什么特點?圖1圖 2圖1呈上升趨勢，圖2呈下降趨勢。這就像函數(shù)中的增函數(shù)和減函數(shù)。即一個變量從小到大, 另一個變量也從小到大，或從大到小。對于圖 1中的兩個變量的相關(guān)關(guān)系，我們稱它為正相關(guān)。 圖2中的兩個變量的相關(guān)關(guān)系，稱為負相關(guān)。后面兩個圖很亂，前面兩個圖中點的分布呈條狀。從數(shù)學(xué)的角度來解釋：即圖 1、2中的點的分布從整體上看大致在一條直線附近。我們稱圖1、2中的兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系。這條直線叫做回歸直線。圖3、4中的兩個變量是非線性相關(guān)關(guān)系（三）、循序漸進、延伸拓展 1、找回歸直線師

6、：下面我們再來看一下年齡與脂肪的散點圖，從整體上看，它們是線性相關(guān)的。如果可以求出回 歸直線的方程，我們就可以清楚地了解年齡與體內(nèi) 脂肪含量的相關(guān)性。這條直線可以作為兩個變量具 有線性相關(guān)關(guān)系的代表。能否畫出這條直線？第二種數(shù)學(xué)實驗1: 畫出回歸直線多種方法展小總結(jié)：第二種方法好，因為所有的點離這條直線最近。 從整體上看，各點與此直線的距離和最小2、利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(%, yj(X2, y2)(2, yn)。當(dāng)自變量x取為(i=1, 2,，n)時，可以得到y(tǒng)?=bXi+a (i=1, 2,，n),它與實際收集到的yi之間的偏差

7、是yi-W = yi -(bXi+a) (i=1, 2, ,n),這樣用n個偏差的和來刻畫“各n點與此直線的整體偏差”是比較合適的?？偟钠顬?£ (yi -?),偏差有正有負，易抵消，所以采 i 4n用絕對值£ M -？|,由于帶絕對值計算不方便所以換成平方, i 4n2b取什Q =£ (y -y) =(y1 -bx -a)2 +(y2 -b>2 -a)2 +(% -bx -a)2 + (yn-bx>-a)2現(xiàn)在的問題就歸結(jié)為：當(dāng)i 4么值時Q最小。將上式展開、再合并，就可以得到可以求出 Q取最小值時二n |a -(y -bx)n_一2(x -x)i

8、 1n_% (xi -x)(yi -y)i 1n_% (X -x)2i 1I2n_2% (x -x)(yi -y)i dn_% (X -x)2i=1n_一2(yi - y)iWn_ n工(xi -x)(yi -y) “ xi yi -nxyb _ _ _!_ _ nns ()2z xx2 (其中 x=np ,尸npi)i 1i 1推導(dǎo)過程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以這種使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。3、求出回歸直線方程，并分析它的意義利用最小二乘法就可以求出回歸系數(shù)，進一步求出回歸方程。下面我們具體操作一下。我們先明確幾個符號的含義：x表示年齡，X是23, x2是27,

9、直到xi4是61。i從1到14, y表示脂 肪，y1是9.5, y2是17.8 。 xiyi表示年齡與脂肪的成績，為2表示 年齡的平方x . iy ix .y .iy i2 x i年齡脂肪239.5218.55292717.8480.67293921.2826.815214125.91061.916814527.51237.520254926.31288.724015028.2141025005329.61568.828095430.21630.829165631.41758.431365730.81755.632495833.5194333646035.2211236006134.62110

10、.6372148.07127.26428619403.2341811n ， ，、一 ，x=1£ Xi表示自變量年齡的平均數(shù), n i i1nyZ yi表示因變量脂肪的平均數(shù),n idn 2Z Xi表示自變量的平idn方和，Z Xi yi表示自變量與因變量乘積的和。要求出 a , b,必須先求出這些量 i 1數(shù)學(xué)實驗2:求出下列各式的值（n=14）一 1 nx xin i in一 1 一 y=- yi =n ynz X y =i 12Xi =nx Xiyi -nxy_b = ljn;a = y - bx =y? = bx a ，22xi -nxi 1通過計算，求出了 a =-0.448

11、,b= 0.5765? =0.5765x 一 0.448求出回歸直線方程有什么用呢？表格中選取年齡x的一個值代入上述回歸直線的方程，看看得出的數(shù)據(jù)與真實數(shù)值之間的關(guān)系。? =0.5765 50 -0.448= 29.272估計值是29.272,與實際值28.2有偏差，為什么會出現(xiàn)這樣的結(jié)果？回歸直線是估計出的，把a帶入肯定有誤差。試預(yù)測某人37歲時，他體內(nèi)的脂肪含量。并說明結(jié)果的含義。代入計算? =0.5765 37 -0.448= 20.882我們不能說他的體內(nèi)脂肪含量的百分比一定是20.882%?只能說他體內(nèi)的脂肪含量在20.90%,附近的可能性比較大。(四)、線性回歸分析思想在實際中的應(yīng)

12、用總結(jié)：我們利用回歸直線對年齡與脂肪的關(guān)系做了上述分析，這種分析方法叫做線性回歸分析。 利用這種分析方法可以對生活中的很多問題進行分析與預(yù)測。例2有一個同學(xué)家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對銷售熱飲的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的 熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表：攝氏溫 度/ c-504712151923273136熱飲杯 數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫出散點圖(2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律(3)求回歸方程(4)如果某天的氣溫是2C,預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)數(shù)學(xué)實驗3:求出下列各式的值(n=11)_ 1 n_ 1 nx = - Z Xi

13、 =y = Z yi =Z X y =Z xi =n i in i ii 1i 1n“ 何-nxy_b = 14=a=，-bX=?=bxan 2-2 二 xi - nx i 4（五）利用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)程度利用最小二乘法求出回歸直線的方程后， 可以對上面兩個變量的關(guān)系進行分析與預(yù)測。 是不是所有的相關(guān)關(guān)系都可以求出回歸直線的方程？請大家觀察這4幅圖圖 1 r -0.97圖"3 r.27圖 2 r -_0.84結(jié)論：前兩個是線性相關(guān)，可以求回歸方程，后兩個是非線性相關(guān)，直線不能很好地反映圖中兩個 變量之間的關(guān)系。顯然求回歸直線的方程是沒有意義的。有些變量線性相關(guān)，有些非線性相關(guān)，怎

14、n_% (x -x)(yi - y)這時我們引入一個量：相關(guān)系數(shù)r樣衡量變量的線性相關(guān)程度呢？i 1n_ n_v (xi -x)2v (yi - y)2i 1j 1注意它的符號：當(dāng)rA0時，x, y正相關(guān)，當(dāng)r<0時，x, y負相關(guān)，統(tǒng)計學(xué)認為:對于r,若r1,-0.751,那么負相關(guān)很強，若r 10.75,11,那么正相關(guān)很強,若r氣-0.75,-0.30或r亡b.30,0.75 ）,那么相關(guān)性一般,若r1-0.25,0.251,那么相關(guān)性較弱,不同的相關(guān)性可以從散點圖上直觀地反應(yīng)出來，觀察這幾幅散點圖，判斷圖中的兩個變 - 量的相關(guān)關(guān)系的強弱。圖1、2正線性相關(guān)，圖1中的點密集，相關(guān)

15、性比圖2好。利用相關(guān)系數(shù)也 可以看出相關(guān)性，圖1中r=0.97接近1,圖2中r=-0.85 ,所以可以總結(jié)出相關(guān)系數(shù)的絕對值越大， 線性相關(guān)關(guān)系就越強。（五）、歸納總結(jié)，內(nèi)化知識回歸直線方程的求法：先判斷變量是否線性相關(guān)若線性相關(guān)，利用公式計算出a、b利用回歸方程對生活實際問題進行分析與預(yù)測高考統(tǒng)計部分線性回歸方程具體如何應(yīng)用線性回歸方程為？=&+臺的求法:i(1) 先求變重X的平均值，既x = (x1 +x2 +x3 +xn) n(2)1求變重y的平均值，既y =-(yi + y2 + y3 + , + yn) n（3）求變量x的系數(shù)I?,有兩個方法nx (xi -x)(yi -y)

16、法11?= '(題目給出不用記憶)'、(X-x)2i=1_(x 一x)(y1 一y) (x2 x)(y2 y)(xn x)(y0-y) 1II(xi -x)2 (x2 -x)2 . (xn -x)2（需理解并會代入數(shù)據(jù)）nx (xi -x)(yi -y)法2 1? = J (題目給出不用記憶),、(為-x)2i 1_ xy1 X2N2 xnyn !-nx y2 22 1“2-2x1 x2 . xn J nx（這個公式需要自己記憶，稍微簡單些）（4）求常數(shù)白，既？ = y-Ix最后寫出寫出回歸方程？=bx+a?？梢愿膶憺?y = bx - a? ( ?與y不做區(qū)分)例：已知x, y之間的一組數(shù)據(jù):x0123 1y1357 1求y與x的回歸方程:1解：(1)先求變量x的平均值，既x= (0+1+2+3) = 1.5 41(2)求變量y的平均值，既y = (1+3+5+7)=44(3)求變量x的系數(shù)b?,有兩個方法(x1 -x)2 (x2 -x)2 (x3 -x)2 (x4 -x)21(x1 x)(y1- y)(x2-x)(y2- y)(x3-x)(y3- y)(x4-x)(y4 -y) 1法 1 b? =(0-1.5)(1-4) (1-1.5)(3-4) (2-1.5)(5-4) (3-1.5)(7-4)