立體幾何初步(知識點梳理)(2024154150)

1、春季高考立體幾何局部知識點梳理及歷年試題一 線面之間空間關(guān)系及證明方法A.線/線的證明方法1將兩條直線放到一個平面內(nèi)或者轉(zhuǎn)移到同一平面內(nèi)利用平行四邊形或者三角形的中位線來證明2. 一條直線與一個平面平行 ，那么過這條直線的任一平面與此平面 的交線與該直線平行.線面線線面面線線3.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。4.垂直于同一個平面的兩條直線平行。B線丄線的證明方法1. 異面直線平移到一個平面內(nèi)證明垂直2. 一條直線垂直于一個平面，那么這條直線與平面內(nèi)任意直線垂直.線丄面 線丄線C線/面的證明方法1.平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，那么該直線與此平面平行.線線 線面2.

2、如果兩個平面平行，那么其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面面/面 線/面 D.線丄面的證明方法1.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直 線丄線 線丄面面丄面線丄面2. 兩平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面線面面面E.面/面的證明方法 1一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩平面平行2.如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行，那么這兩個平面平行線線面面3垂直于同一條直線的兩個平面平行。4平行于同一個平面的兩個平面平行。F.面丄面的證明方法1.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線二.各幾何體的體積公式,那么這兩

3、個平面互相垂直 線丄面 面丄面柱體圓柱，棱柱V=s?i其中s為底面積，h為高1椎體圓柱，棱柱 V=3?h其中s為底面積，h為高3球體 體積V=3?外表積S=4n ?32022年春考真題23.空間四邊形 ABCD中，E, F, G, H分別是邊AB, BC, CD, DA的中點，給出以下四 個命題：與BD是相交直線3. 四邊形EFGH是平行四邊形平面 BCD其中真命題的個數(shù)是AC與BD沒有相交，是異面直線。所以1錯；AB和DC也是異面直線，所以2錯。根據(jù)三角形中位線 EH/BD, FG/BD,所以EH/FG,同理HG/EF所以四邊形EFGH是平行四邊形是正確的；因為EH/FG,所以EH/平面BC

4、D正確平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，那么該直線與此平面平行。綜合來看正確的命題有 2個，答案選C2022年春考真題28題圓錐的底面半徑為1,高為3，那么該圓錐的體積是 111解析： V V=3 ?h= V=3 n ?h=3 n X 1 2 X 3= n3332022年春考真題33題 33.如下列圖，正四棱錐 SABCD, E, F分別是棱柱 SA SC的中點。求證1EF/平面ABCD 2EF丄平面 SBD解析:1連接AC交BD于P,在？SAC中E, F分別是棱柱SA SC的中點，所以在三角形中中位 線EF/AG因為AC?面ABCD, EF?面ABCD,所以EF/平面ABCD平面外一直線與平面

5、內(nèi) 一直線平行，那么該直線與此平面平行2連接SP,因為p是正四棱錐 S-ABCD的中心，所以 SP丄面ABCD,所以SP丄AP,又因 為在正方形 ABCD中API BD,所以AP丄面SBD一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都 垂直，那么該直線與此平面垂直，因為EF/AF,所以EF丄平面SBD2022年春考真題18題18.以下四個命題:(1) .過平面外一點，有且只有一條直線與平面平行；(2) .過平面外一點，有且只有一條直線與平面平垂直;(3) .平行于同一個平面的兩個平面平行；(4) .垂直于同一個平面的兩個平面平行。 其中真命題的個數(shù)是解析：過平面外一點可以有很多條直線與平面平行，這些直線

6、可以構(gòu)成一個平面與平面平行所以(1)錯。垂直于同一個平面的兩個平面也可以垂直，例如墻角上的三個面。所以真命題的個數(shù)為 2個。28 個球的體積與其外表積的數(shù)值恰好相等，該球的直徑是 .解析：設(shè)球的半徑為r,球體體積 V=4?，外表積S=4n ?有等式扌？?=4冗？解得r=3, 所以直徑為6。2022年春考真題33題33.如下列圖，棱長為 1的正方體 ABCDAiBiCiDi 1求三棱錐 G-BCD的體積2求證平面 GBD丄平面A1B1CD1111解析：1Vc1-BCD=S?BCD?CC1= X (了 X 1 X 1) X1 =-33 26B2證明：在正方體 ABCD-A1B1C1D1中棱A1B1

7、丄面BB1CC,所以A1B1丄BC1一條直線垂直于一個平面，那么這條直線與平面內(nèi)任意直線垂直在正方形BBCG中BG丄CBi,又因為A1B1與CB1相交于B1,所以 BC1 丄平面 A1B1CD,一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直面GBD過直線 BG,所以平面 GBD丄平面 A1B1CD如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直2022年春考真題17題17.正方體的棱長為2，以下結(jié)論正確的選項是A異面直線AD1與CD所成的角為45°B直線AD1與平面ABCD所成的角為60°C直線AD1與CD1所成的角為90°DV4di

8、-acd=3解析：A中的異面直線問題要將異面直線轉(zhuǎn)移到一個平面內(nèi)，觀察圖形因為CD/C1D1所以異面直線 ADi與CD所成的角轉(zhuǎn)成異面直線 ADi與GDi所成的角，即角 A D1C1。 因為 CiDi丄面 AAiDDi，所以 GDi 丄ADi，角 A DiCi=90°B考察的是線與面成的角。因為DDi丄面ABCD,所以直線ADi與平面ABCD所成的角為角 D ADi,為 45°C中直線ADi與CDi還有直線AC構(gòu)成了等邊三角形，所以 ADi與CD所成的角為60°亠i z i、4D 中 Vdi-acd=3 X ( 2 X 2 X 2) X 2=3323綜上，D答案正

9、確。20i4年春考真題24題24.如一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為8 n的半圓面，那么該圓錐的體積為 圓的面積公式為nr2，根據(jù)半圓面積8 n解得半徑r=4，半圓的周長為n r=4 n,這4 n要充當(dāng)圓錐底面的周長，所以圓錐底面的半徑R為2,在圓錐中母線r=4，解出h=vi2=2V3，所以圓錐的體積為V=3 n ?h=3 n2 ?2昉=警33320i4年春考真題29題29.如圖，四棱錐 P-ABCD中，P從平面 ABCD PA=AD, E為PD1中點，AB/CD 且 AB=2CD, AB丄 AD。求證：1AE丄平面PCD2AE 平面 PBC解析：1因為 PA丄平面 ABCD,所以 PA丄AB,因為 AB丄AD,所以 AB丄面PAD,因為 AB/CD 所以CD丄面PAD,所以CD丄AE在三角形APD中PA=AD,且E為等腰三角形的中點，所以 AE丄PD,因為CD與PD相交于D 所以AE丄平面PCD如圖取PC的中點F,分別連接 EF和BF。因為E為PD的中點,一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與