第五章-一元函數(shù)微積分的應(yīng)用

1、第五章一元微積分的應(yīng)用5.1函數(shù)圖象的幾何性質(zhì)根本概念定義1極值點(diǎn)與極值：1極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)：函數(shù)y f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)x U(x0) 有f (x) f (Xo) f (x) f (Xo)，那么稱x0為f (x)的極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)；函數(shù)值f(x0)為f (x)的極大值極小值.2極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為 極值點(diǎn)；極大值和極小值統(tǒng)稱為 極值.f(Xi X2) f(xQ f(X2)2 21定義2凸凹函數(shù)：函數(shù)f (x)在I上有定義，假設(shè)對(duì)任意的 x,X2 I，有f (王_xi) f(Xi) f(X2)2 2那么稱f (X)在區(qū)間I上是凹函數(shù)凸函數(shù). 公式1可以改寫為：f ( X1X

2、2)f (X1)f (X2) f ( X1X2)f (X1)f (X2)2其中，(0,1)，且1 .定義3拐點(diǎn)：如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)Xo的左右鄰域的凸凹性不同，那么稱點(diǎn)(Xo, f (Xo)是函數(shù)f (X)的拐點(diǎn)；定義4漸近線： 假設(shè)曲線y f(x)上的點(diǎn)M，沿曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，它與定直 線L的距離趨于零，那么稱直線 L就是曲線y f (x)的漸近線。注1極值點(diǎn)和最值點(diǎn)的區(qū)別和聯(lián)系：1極值點(diǎn)未必是最值點(diǎn)，最值點(diǎn)也未必是極值點(diǎn)；2最值點(diǎn)假設(shè)是在區(qū)間內(nèi)部，最值點(diǎn)就是極值點(diǎn)；3假設(shè)函數(shù)在定義域區(qū)間內(nèi)僅有唯一極值點(diǎn)，那么此極值點(diǎn)就是最值點(diǎn).注2拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)(Xo, f (Xo)，并非是數(shù)軸上的點(diǎn)

3、 X Xo .根本方法1求極值點(diǎn)有兩類點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于o的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)僅僅可能是極值點(diǎn)判斷上述兩類點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的具體方法1幾何方法：假設(shè)Xo的左右鄰域的單調(diào)性不同，那么 Xo是極值點(diǎn)，f(X。)是極值;在Xo的左鄰域(Xo, Xo)上,Xo為極大值點(diǎn).在Xo的左鄰域(Xo, Xo)上,f (x) o ;在Xo的右鄰域(Xo,Xof (x) o ;在Xo的右鄰域(Xo,Xo)上，f (x) o ,)上，f (X) o ,Xo為極小值點(diǎn).2代數(shù)方法：求Xo的導(dǎo)數(shù)，假設(shè)f (Xo)f (Xo) | f"n1)(Xo) o ,而f (X。)o，那么(a) 如果n是偶數(shù)，xo

4、是極值點(diǎn)，假設(shè)f (n)(xo) 0 , xo是極小值點(diǎn)，假設(shè)f")(X。)0 ,Xo是極大值點(diǎn)；(b) 如果n是奇數(shù)，xo不是極值點(diǎn).2求函數(shù)y f (x)的單調(diào)區(qū)間1求函數(shù)f (x)的定義域；2在定義域內(nèi)求出一階導(dǎo)函數(shù)f(X)等于零的點(diǎn)和一階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)；3用上述兩類點(diǎn)將定義域分成假設(shè)干區(qū)間，并判斷導(dǎo)函數(shù)f (x)在每個(gè)區(qū)間的符號(hào),從而得到單調(diào)區(qū)間.3求函數(shù)y f (x)在區(qū)間a,b或(a,b)上的最值：|,Xn，那么函數(shù)yMm特別的，求函數(shù)y 具體方法：求函數(shù)Xi,X2，川,X 1具體方法：求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上一階導(dǎo)函數(shù)等于 0點(diǎn)和一階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)：令，那么函

5、數(shù)y f (x)在a,b的最大值與最小值分別為max f(xj, f(x2)J ,f(Xn), f(a), f(b)；min f(xj, f(X2)，f (Xn), f(a), f(b)。f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)上的最值：f(x)在(a,b)上的一階導(dǎo)函數(shù)等于0點(diǎn)和一階導(dǎo)函數(shù)不存在的點(diǎn)：令max f(xj, f(X2),，f 區(qū)) max f (a), f (b) 或maxlim f(x),lim f (x)x ax b那么f (x)在(a,b)上存在最大值,最大值就是max f (xj, f(X2),f (Xn)2假設(shè) min f (x1), f (x2),., f (xn) min f

6、(a), f (b) 或 minlim f (x),lim f (x)x ax b那么f (x)在(a,b)上存在最小值，最小值就是min f (xi), f(X2),，f (Xn)否那么，不存在最值.4求凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)具體方法：1求函數(shù)f (X)的定義域；2求二階導(dǎo)數(shù)f (x)等于零的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；f (X)在每個(gè)區(qū)間的3斜漸近線：假設(shè)3用上述兩類點(diǎn)將定義域分成假設(shè)干區(qū)間，并判斷二階導(dǎo)函數(shù) 符號(hào)，從而得到凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).5求曲線的漸近線1水平漸近線：lim f (x) a , lim f (x) a或 lim f (x) a，那么 y a是水平漸近XXX線.2鉛直漸近線：lim f

7、(x) a , lim f (x) a 或 lim f (x) a，那么 x a 是鉛垂XX)XX)x X0直漸近線.k , b lim f (x) kx，那么 y kx b 是斜漸近線.X6函數(shù)在區(qū)間上的平均值函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的平均值:f (x)dx2，求a， b，并求y f (x)所有2a b 0，解得 a 0， b 3。例1f (x) x3 ax2 bx在x 1處有極值 極大值、極小值和拐點(diǎn)。解根據(jù)有f(1) 1 a b 2，f (1) 3 從而函數(shù)解析式為 f(x) x3 3x 。求導(dǎo) f (x) 3x2 3 3(x2 1)，令 f (x) 0,解得穩(wěn)定點(diǎn)為 x 1，f (

8、x) 6x， 于是f (1) 6 0，f ( 1)6 0。所以x1分別是極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，極小值為f(1)2，極大值為f( 1)2。由于f (x) 6x，令f (x)0，那么x 0，由于f (x)60，所以(0,0)是拐點(diǎn)。例2求曲線y In x的一條切線，使得曲線、切線與 x 1，x e2所圍成的圖形面積 最小。解 設(shè)曲線y In x上的點(diǎn)(a,ln a)的切線方程是y In a (x a)。a1 2那么由y In x， y In a (x a)， x 1和x e2所圍成的圖形的面積為 ae21S(a) In a (x a) In xdx1a21 12e2x)e2In a (e 1)_ (

9、_ xax)! (xIn x1a 221e22(e1)(I na1) e1。2a對(duì)a求導(dǎo)，得到S (a) (e21)(-1e2)，令 S(a)0，解得a°-(1 e2)。而a2a2八/1/ 22 .S (a°)(e21 e、e 11)(飛Ar3 )42 2 0aa(1e )1所以S(a)在a a。處取極小值，即最小值。于是所求切線方程為y Ina。 (x a。)，a。即In1e2 x例3函數(shù)f (x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足微分方程xf (x)3x f (x)(1)假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x c(c 0)有極值，證明它是極小值;(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 0有極值，它是極大值還是極小

10、值?解得到1因?yàn)閒 (x)在點(diǎn)x c(c 0)有極值，所以f (c)0，將x c代入方程中，cf (c) 3c f (c)1 e c1 e 因此f (c)0，所以f(c)是f(x)的極小值.c2因?yàn)閒 (x)具有二階導(dǎo)函數(shù)，f(x)在x 0有極值，所以f (0)0,limf(x) 0x 0 /f (0)xm0f (x)xf(0)0xm0f (x)xlim0 f (x)3f (x)2f(0)是函數(shù)f(x)的極小值.X 22例 4 函數(shù) f (x) 2a o (t a )dt (0 a 2)，求1f (x)的極大值M用a表示出來(lái)；2將1中的M看作a函數(shù)，求M的最值.解1因?yàn)閒 (x：x2a2, f

11、 (x) 2x.令 f (x)0 ,得到穩(wěn)定點(diǎn)xa ,f ( a)2a 0 ,于是xa是極大值點(diǎn)，極大值Mf(a 2a) 2a(t2a2)dt2a -a3.32由于dM22人dM 2a ,令0 ,解得在區(qū)間0,21穩(wěn)定點(diǎn)是a 1，所以dada4 44MmaxmaxM (0), M (1),M (2)max0,3,334 44M minminM (0), M (1),M (2)min0,3,33 .例5設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x有 f ( x) xf (x)1，且f(0)0,求f (x)的極值.解首先求函數(shù)f (x)的解析式.依題意有f (x)xf (x)1,f (x)xf (x)1解方程組，得到f (x)

12、-2x xx2 1.所以f(x)2 xxdx1ln(12x2)x arcta n xC ,2 xdx1由于f (0)0，所以C0，于：曰是f(x)1| n(1 x2)2x arcta n x.令 f (x)0 ,解得x10, X21,而fx2 2x1所以 f (0)10 ,(x)(1 x2)2f ( 1)1-0,所以2f(0)0是極小值，f( 1)3n2241為極大值.練習(xí)i在數(shù)列i,、2,3、3,.,:n,.中，求出最大一個(gè)數(shù).最大數(shù)：13 3，提示：?jiǎn)栴}歸結(jié)到函數(shù)f(x) xx(x 0)的最大值x+2 求函數(shù)f(x) ° (2 t)e 'dt的最大值和最小值最大值：f1

13、e 2，最小值 f(0)0i 223求函數(shù)f(x) ox t dt , x 0的最大值和最小值最小值：f (-)，無(wú)最大值 243.求曲線y Inx在2,6內(nèi)一條切線，使得該切線與直線 x 2 , x 6，和曲線y In x 所圍成的圖形面積的最小值.13 答案：y x 1 2ln 243 2 25.求方程2y 2y 2xy x1所確定的函數(shù)y(x)的極值。當(dāng)x 1時(shí)，y(1)1是極小值6. 求通過(guò)點(diǎn)1, 1的直線y f (x)中，使得答案：y 2x 17. 設(shè)函數(shù) f(x) x acosx(a 1)在區(qū)間(0,2 區(qū)間(0,2 )內(nèi)有極大值.答案：2maxo x2 f (x)2dx為最小的直

14、線方程.)內(nèi)有極小值，且極小值是0，求函數(shù)在的y 0。該曲線與x軸以及x 1所圍成的圖8. 設(shè)y ax bx c過(guò)原點(diǎn)。當(dāng)0 x 1時(shí)，1形的面積為-，試確定a,b,c，使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的立體的體積最小。353答案：a8求函數(shù)fi(x)9設(shè)函數(shù)答案：y區(qū)工和(x 1)2y(x)是由方程23f2(x)x21 e一巳=的漸近線.答案：y x 5和y 1,x0 .1 e x2xy 0確定，試求曲線 y y(x)的漸近線。10.設(shè)函數(shù)f (x)13門，ln(1 x2),1x31,x 1,，求曲線y f (x)的漸近線.答案：水平漸近線：y 1;垂直漸近線：x 1, x 1 ;斜漸近線：y x I

15、n 3 1 .微元法在計(jì)算面積、體積、弧長(zhǎng)應(yīng)用1.計(jì)算面積公式1直角坐標(biāo)系下，由f (x) , g(x) , x a和x b圍成區(qū)域D (x, y) g(x) y f (x),a x b的面積為bS af(X)g(x)dxb特別的，由f (x) , X軸，X a和X b圍成圖形的面積是S a f(x)dx .2極坐標(biāo)系下，由r,( ) , r2(),圍成區(qū)域D (r,)臥)r 以),12的面積為1 2 2s r；( )r：( )d特別的，當(dāng)r(),2,圍成圖形的面積是 S - r2( )d23邊界曲線為參數(shù)方程的圖形面積x (t),y(t)，tit t2，S (t) (t)dt其中(t)在ti

16、t上不變號(hào)，假設(shè)積分值為負(fù)值，交換積分上下限.2計(jì)算弧長(zhǎng)公式1平面曲線用參數(shù)方程表示：x x(t) , y y(t) (a t b) , x(t), y(t)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么曲線弧長(zhǎng)S：Jx2(t) y2(t)dt ；2平面曲線用一般方程表示：y f (x) (a x b), f(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么曲線弧長(zhǎng)S a 1 f 2(x)dx ；3平面曲線用極坐標(biāo)方程表示：r r( ) () , r()具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么曲線弧長(zhǎng)S.J2( ) r2( )d ；3.計(jì)算曲率、曲率半徑公式數(shù)三不要求曲率是對(duì)曲線y f (x)的彎曲成度的描述：曲率假設(shè)曲線用參數(shù)方程表示:Klims 0sy(12 3/

17、2y )x x(t)，yy(t)，那么曲率為(t)(t)(t) (t)lK2(t)2(t)3/2曲率半徑:4.計(jì)算體積公式1設(shè)立體介于平面x a和x b之間，對(duì) x(a, b)，過(guò)x且垂直于x軸的平面截立體，其截面面積為 S(x)，那么的立體體積為bV S(x)dx ；ax軸、x a和x b圍成曲邊梯2旋轉(zhuǎn)體的體積：連續(xù)曲線 y f(x)(f(x) 0)、 形，該平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：b 2Vxa f (x)dx ；平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積：bVy 2 a xf (x)dx。5旋轉(zhuǎn)面的面積在x軸上方有一平面曲線AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積。1平面曲線用參數(shù)方程表示

18、：x x(t)， y y(t) (a t b)，那么旋轉(zhuǎn)曲面面積S 2：y(t)、.,x2(t) y2(t)dt2平面曲線用一般方程表示：yf(x) (ax b)，那么旋轉(zhuǎn)曲面面積S 2：f(x) .1 f 2(x)dx。3平面曲線用極坐標(biāo)方程表示：r r()()，那么旋轉(zhuǎn)曲面面積S 2 r( )sin . r2( ) r 2( )d 。2每 1圍成圖形的面積.b4倍，于是解曲線關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱，所以整個(gè)圖形的面積是第一象限的aS 4 0 ydx例2求擺線x a(t 解sin t), ya(11 4ab2 2cost)的一拱0 t 2與軸所圍成的面積4ab 02 cOs2 dab 。根據(jù)公

19、式t2St1a2(t)2(10(t)dt2costa(1 cost)a(1 cost)dtcos2t)dt 3 a2.r)的直線旋轉(zhuǎn)而成的圓環(huán)體的體積。x2 (y R)2 r2，那么圓環(huán)體可以看作是曲線3求半徑r圓繞距離中心為 R(R適當(dāng)建立坐標(biāo)系，圓的方程為r2 x2和y R . r2 x2分別繞x軸旋轉(zhuǎn)體體積的差。所以 V ' (R r2 x2)2dxr8 R I r2 x2dx 8 R0r14(Rr2r2 x2 )2dx2 2r2R。例4設(shè)一容器是 水，求水面上升到 64cm時(shí),33曲線y x (0 x 80)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成?，F(xiàn)以8cm /s速度向容器注 水面上升的速度和液面面積

20、的擴(kuò)大速度。2yy3dy 8t。對(duì)t求導(dǎo)：解 設(shè)時(shí)刻t(s)時(shí)液面高度為y(cm)，那么yx2dy2-3yy- Id -"曰Alz疋當(dāng)64cm 時(shí),dydt64(cm/s)。即液面上升到64cm 時(shí),、 1水面上升的速度(cm / s) °2由于液面面積Sx22£，所以dsdty 64dydty 64(cm/ s) °12習(xí)題5.21、求以下曲線所圍成的圖形的面積:1yXXe , y e , x 1 ;2、Xjy 1和兩坐標(biāo)軸；3yx(1 x2)與 x 軸；4yx3 6x 和 y x2 ；52a cos ；6 (x2!2、32/ 44、y ) a (x

21、y ).答案：1e1 1e 12 ； 261(3)，提示:2曲線與253x軸有三個(gè)交點(diǎn)；4253，兩個(gè)11曲線有三個(gè)交點(diǎn)；(5)a2326a .提示:將曲線轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程：2 2 1 2 r a (1 sin 2 ).22、求由以下曲線繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積:1y24 x及y 0所圍成的圖形繞直線 x 3旋轉(zhuǎn)一周；2(x2 21) y4繞y軸旋轉(zhuǎn)一周；3xya , xa , x 2a , y 0分別繞x軸和繞y軸旋轉(zhuǎn)一周；,2 a2°23. 曲線：y 1 x2 1 ,試求：1 與x軸所圍成的圖形 D的面積；2圖形D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積；3圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積。

22、2 18(、2 1) ; (2)蘭(4.2 5); (3) 16.315154. 求曲線r 3cos和r 1 cos所圍成的公共圖形的面積.54答案：545. 求心臟線r a(1 cos )所圍成圖形的面積和弧長(zhǎng).3 a2, 8a6. 求曲線x a cos t , y a si nt的全長(zhǎng).6a7. 設(shè)容器由y 2； x繞y軸旋轉(zhuǎn)而成。令注入 V方水后，水面的高度是 h，再注入V方水后，問(wèn)水面高度提高了多少？答案：(32 1)h5.3微元法在物理上的應(yīng)用解決實(shí)際問(wèn)題的根本方法：微元法，即細(xì)分、累加、求極限，根據(jù)極限形式，確定所 求量的定積分。但在實(shí)際問(wèn)題中，我們只需確定被積表達(dá)式即可，沒(méi)有必要

23、嚴(yán)格按照細(xì)分、 累加、求極限，再確定定積分，于是在微元的處理上，往往采用：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系或坐標(biāo) 軸，在整體量任意選定一個(gè)位置 x ,給出改變量dx ,在從x到x+dx 一段上，把所求量如壓力、作功、引力、質(zhì)量看作常量：于是得到微元的量，即確定了定積分的被積表達(dá)式， 從而得到所求量的定積分。1液體壓力 設(shè)一平面薄板放在均勻的靜止的密度為的液體中，那么液體對(duì)薄板的側(cè)壓力bP xf(x)dxa微元法：在薄板中任意選取一個(gè)位置 x也是水深，薄板的寬度為dx，薄板的長(zhǎng)度為 f (x)，于是微元面積為 f (x)dx，微元所受壓力 xf (x)dx密度 深度 受力面積，即 是被積表達(dá)式。2物體引力質(zhì)量分

24、別為mi,m2相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)的引力大小為F k 5嚴(yán)，其中rk為引力常數(shù)，引力的方向沿兩點(diǎn)的連線方向.3變力作功 設(shè)一物體，在外力 F的作用下，沿x軸從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)，那么外力所 作的功bW F(x)dx a微元法：在a,b上任意選取一個(gè)位置 x，移動(dòng)距離為dx，在力F(x)作用下，物體從 x到x+dx所作的功為F(x)dx力 位移，即是被積表達(dá)式。4物體質(zhì)量設(shè)一物體，其密度函數(shù)(X)是連續(xù)函數(shù)，那么物體質(zhì)量為bM(x)S(x)dx a微元法：適當(dāng)建立坐標(biāo)系，在物體上任意選取一個(gè)位置x，作一個(gè)截面S(x)，在這個(gè)截面上密度相等，給出切片的厚度為dx，于是微元體積為 S(x)dx，微元質(zhì)量(x

25、)S(x)dx密度 切面面積 厚度，即是被積表達(dá)式。例1設(shè)半徑為R的球體體密度u r2，求球體的質(zhì)量1 r是球內(nèi)的任意一點(diǎn)到球心的距離；2 r是球內(nèi)的任意一點(diǎn)到直徑的距離；3 r是球內(nèi)的任意一點(diǎn)到過(guò)球心的平面的距離.圖5-6yxc1X dx»_ V1/ h1圖5-8解1由于r是球內(nèi)的任意一點(diǎn)到球心的距離，所以為計(jì)算質(zhì)量的方便，將密度相等局部分割到一起，分割方法是：以原點(diǎn)為圓心，以x和x dx為半徑作兩個(gè)球面組成球殼,所以體積微元球殼近似為：dV 4 x2 dx體積夕卜表積4 x2厚度dx于是質(zhì)量微元2224dM dV x 4 x dx x 4 x dx所以質(zhì)量為R445M 4 x d

26、x R o52由于r是球內(nèi)的任意一點(diǎn)到直徑的距離，建立坐標(biāo)系，同樣為計(jì)算質(zhì)量的方便，將密度相等局部分割到一起，分割方法是：以直徑為軸，以x和x dx為半徑作兩個(gè)柱面組成具有厚度為dx的柱面，于是體積微元近似為dV2 x 2 R2x2 dx體積 柱面外表積2x 2 . R2x2厚度dx于是質(zhì)量微兀dM dVx2 2 x 2 . R2 x2 dx x24 x3 .Rx2dx所以質(zhì)量為R.M 04 X役 R24 r5 sin'tcoftdt4 R5"sin3tdt邁sin5tdt R300153由于r是球內(nèi)的任意一點(diǎn)到過(guò)球心的平面的距離，建立坐標(biāo)系，同樣為計(jì)算質(zhì)量的方便，將密度相等

27、局部分割到一起，分割方法是：距平面的距離為x和x dx，作兩平行于定平面的平面，平面薄板是圓面，厚度為dx，于是體積微元近似為2 ， 2dV, R2 x2dx體積 圓面面積厚度dx于是質(zhì)量微元dM dV x2R2 x22dx x2x2(R2 x2)dx所以質(zhì)量為R722、4£M2 0 x (Rx )dxR015例2由拋物線y x2及y 4x2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成一旋轉(zhuǎn)拋物面的容器，高為H，現(xiàn)于其中盛水，水高為 H/2，問(wèn)要將水全部抽出，外力需做多少功？中取出，需做多少功？W W W2，其中W是水下作功， W2是出水作功W 3 r3(1)(H 2R)，dW2 - R3h2(R -)dx，

28、h 是球缺的高，333h 2R x例5邊長(zhǎng)為a和b矩形薄板a b丨，放于與液面成角的液體內(nèi)，長(zhǎng)邊平行于液面位于深h處，設(shè)液體的比重為，求薄板所受的壓力P.寬度為:當(dāng)x的增量為 x時(shí)，薄板對(duì)應(yīng)的，面積為a dx ，靜壓力sinsindPdx xa.x.a.dxsin sin所以有hPh例bsindPbsi nxadx ab (h sinb . -sin2a圖 5-10b h bsinJl 16閘門的上局部為矩形，下局部為二次拋物線與線段圍成，當(dāng)水面與閘門的上端相平時(shí)，欲使閘門矩形局部所承受的水壓力與閘門下局部承受的水壓力之比為5: 4,求閘門的矩形的高度應(yīng)是多少米？解設(shè)拋物線方程為 矩形局部承受的水壓力為h 12 1 g(hPi閘門拋物線局部承受的水壓力為12o g(hP2根據(jù)空P2例7質(zhì)量為Mx2，閘門矩形高度為 h ,y)dygh2 ;,1 yh. ydy12g(3h 很，-，得到h4設(shè)有質(zhì)量均勻的細(xì)直桿 AB，其長(zhǎng)為I ,圖 5-111在AB的延長(zhǎng)線上與端點(diǎn) B的距離為a處有一質(zhì)量為 m