線性代數(shù)必考知識點歸納

1、線性代數(shù)必考的知識點1、行列式1. n行列式共有n2個元素，展開后有 n!項，可分解為2n行列式;2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)： 、A®和a»的大小無關(guān)； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0； 、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；3. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mij =（-1）ijAjAj =（-1）jMj4. 設(shè)n行列式D :n（ n _1）n (n工D -將D上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為D,，則D勺=（_1） D ；將D順時針或逆時針旋轉(zhuǎn) 90，所得行列式為 D2，則D2 =（1） 將D主對角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為 D

2、3,則D 3= D ；將D主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4，則 D 4 二 D ；1#5.行列式的重要公式：主對角行列式：主對角元素的乘積;#、副對角行列式：畐U對角元素的乘積上、下三角行列式（、=i ）匚和丄：副對角元素的乘積n （n _!）（_1）F ；:主對角元素的乘積;n (n 1)(-1L ；#= (1)mn A B拉普拉斯展開式: 范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積; 特征值；n6. 對于n階行列式 A，恒有：乍-人=盯八（-1）kSk'n±，其中Sk為k階主子式;k ±7. 證明A =0的方法： 、A =-A ； 、反證法； 、構(gòu)造齊次方程組 Ax二

3、0 ,證明其有非零解； 、利用秩，證明r（A） : n ;、證明0是其特征值;2、矩陣1. A是n階可逆矩陣：A 0 （是非奇異矩陣）；=r（A） = n （是滿秩矩陣）=A的行（列）向量組線性無關(guān);=齊次方程組 Ax二0有非零解;二-b Rn , Ax =b總有唯一解；二A與E等價；二A可表示成若干個初等矩陣的乘積；二A的特征值全不為0 ；二ATA是正定矩陣；二A的行(列)向量組是 Rn的一組基；=A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；2. 對于n階矩陣A : AA = A* A=AE無條件恒 成立；3. (A 匕)* -(A)丄(A 蘋=(A 尸(A)T =( AT )*(AB )T =BtAt(

4、AB) =B A(AB )=B 丄 A -4.矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和;5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均 A、B可逆:若 A =A2，則：I、 A 二 A|As ;、n、AOOO(主對角分塊)3廠旨 f丄r、lOA)朕bo )(副對角分塊)、A此害拉普拉斯#、(拉普拉斯)|'A O 豐 _ A丄 O g B 丿 一 i-B 丄CA° B 丄3、矩陣的初等變換與線性方程組1.一個m n矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的:等價類：所有與 A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣;對于同型矩

5、陣 A、B，若r(A)= r(B廠二A B ；2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個非0元素必須為1 ； 、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0;3. 初等行變換的應用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)r 若(A , E) _ (E , X)，則A可逆，且X = A亠；c 、對矩陣(A, B)做初等行變化，當 A變?yōu)镋時，B就變成A亠B，即：(A B) -(E, A，B)；r、求解線形方程組：對于 n個未知數(shù)n個方程Ax =b，如果(A, b)_-( E,x)，則A可逆，且x = A=b ；#4. 初等矩陣和對角矩陣的概念： 、初等矩陣是行變換還是列變換，由

6、其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣;【05【0# 、人= 越，左乘矩陣A，入乘A的各行元素；右乘， h乘A的各列元素;、對調(diào)兩行或兩列，符號、倍乘某行或某列，符號、倍加某行或某列，符號1E (i, j)，且 E (i, j )-= E (i, j)，例如：1k.1鬥E(i (k)，且 E(i (k)- = E(i()，例如:kIE(ij(k)，且 E(ij(k)宀E(ij(-k)，如:V彳=1k)<9k(心 0)'11【0#【0#5. 矩陣秩的基本性質(zhì)： 、0 _r(Am n) " min( m, n)； 、r ( At ) = r (A)； 、若 A B，

7、則 r (A) = r (B)； 、若P、Q可逆，則r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ);(可逆矩陣不影響矩陣的秩 )、max( r(A), r (B) _r(A, B) _ r(A) r (B)；(探)、r(A - B) <r(A) - r(B);(探) 、r(AB) _min( r(A), r(B);(探) 、如果A是m n矩陣，B是n s矩陣，且AB =0 ,則：(探)I、B的列向量全部是齊次方程組 AX -0解(轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論)；n、 r(A) r(B)乞n 、若 A、B均為n階方陣，則r(AB) _r(A) r(B) -n ;6.三種特殊矩陣的方幕： 、

8、秩為1的矩陣：一定可以分解為 列矩陣(向量) 行矩陣(向量) 的形式，再采用結(jié)合律；勺a c 、型如0 1 b的矩陣：利用二項展開式；© 0 bn 二項展開式：(a+b)n =C：an +C：anb1 +弋；" 卄 +C：丄a1 bn丄 + C：bn =送 C：ambj m -0注：I、(a b)n展開后有n 1項；n、cmn(n -1) (n-m 1)12 3- -mm!(nm)!C>C=1川、組合的性質(zhì)：Cnm二nr =0rcn 二 ncn：;【0#【0# 、利用特征值和相似對角化:7.伴隨矩陣：*和r (A)二 nr (A)= n-1;r (A)：: nT、伴隨

9、矩陣的秩：r(A ) =-1【0# 、伴隨矩陣的特征值：JA （AX, A = A A - - Ax =±X）; 、A = a A丄、a = An丄關(guān)于A矩陣秩的描述： 、r（A） =n , A中有n階子式不為0, n 1階子式全部為0;（兩句話） 、r（A） : n， A中有n階子式全部為0 ； 、r（A） _n， A中有n階子式不為0 ；線性方程組：Ax =b，其中A為m n矩陣，則： 、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Ax=b有m個方程； 、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Ax =b為n元方程;線性方程組Ax =b的求解：、對增廣矩陣B進行初等行變換 、齊次解為對應齊次方程組的解

10、; 、特解：自由變量賦初值后求得;只能使用初等行變換）；由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成 n元線性方程:、a11 x 1如 x2 亠亠a nxna21 X1 - a22 x2 亠'亠a2 nXn=b二 b2am 1 x 1am2 x2 亠亠anmX、n bn（向量方程,x1 '川2込nA為m n矩陣，（全部按列分塊，其中m個方程，n個未知數(shù)）8.9.10.11.4、1.2.3.4.5.6.1.7、a1 x! a2X2 ：；川a.Xn - - （線性表出） 、有解的充要條件：r（A） = r（A, '：） < n（ n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）向量組的線性相關(guān)性m個n維

11、列向量所組成的向量組A :彳，一込，二m構(gòu)成n m矩陣A = （:« ：匕,，一:詁）;賀、m個n維行向量所組成的向量組B : 丁，待，叮構(gòu)成m n矩陣B-含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應; 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)二Ax二0有、無非零解；（齊次線性方程組） 、向量的線性表出Ax二b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示AX =B是否有解；（矩陣方程）矩陣Am n與Bl n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax二0和Bx二0同解；（R01例14）r（AtA）= r（A） ； （ R°1 例 15）n維向量線性相關(guān)的幾何意義： 、:-線性相關(guān)0 ; 、

12、二：線性相關(guān)=:坐標成比例或共線（平行）； 、:,線性相關(guān)匕:,共面;線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理:若),2,:'s線性相關(guān)，則：1, _：2,，_：s, :'s 1必線性相關(guān)；若,2,，:'s線性無關(guān)，則1，2，i，s丄必線性無關(guān)；(向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶)若r維向量組A的每個向量上添上n_r個分量，構(gòu)成n維向量組B :若A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若 B線性相關(guān)，則 A也線性相關(guān)；(向量組的維數(shù)加加減減)簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7. 向量組A (個數(shù)為r )能由向量組B (個數(shù)為s)線性表示，且 A線性無關(guān)，則r乞s ；向量組A能由向量組B

13、線性表示，則r(A)二r(B)；向量組A能由向量組B線性表示=AX =B有解；二 r (A) = r (A, B)向量組A能由向量組 B等價二r (A) “(B)二r(A, B)8. 方陣A可逆=存在有限個初等矩陣 P，P2,，Pi，使A=Pf2Pi ； 、矩陣行等價：A B：= PA=B (左乘， P可逆)=Ax=O與Bx=O同解c 、矩陣列等價：A B：= AQ=B (右乘，Q可逆)； 、矩陣等價： ABu PAQ =B ( P、Q可逆)；9. 對于矩陣Am n與Bl n : 、若A與B行等價，則A與B的行秩相等； 、若A與B行等價，則 Ax =0與Bx二0同解，且A與B的任何對應的列向量

14、組具有相同的線性相關(guān)性； 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩；10. 右 Am sBs n Cm n，則： 、C的列向量組能由 A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣； 、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，At為系數(shù)矩陣；(轉(zhuǎn)置)11. 齊次方程組Bx =0的解一定是 ABx= 0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明； 、ABx =0只有零解 =Bx =0只有零解； 、Bx = 0 有非零解 =ABx =0 一定存在非零解；12. 設(shè)向量組Bnr：b, ，br可由向量組 An s : a ,玄2,3s線性表示為：(b ,b2/ ,br ) =(a , 32,3s)

15、K ( B =AK )其中K為s r，且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)r(K)= r ； ( B與K的列向量組具有相同線性相關(guān)性 )(必要性：r 二r(B) = r (AK) < r (K), r (K) < r,. r (K) = r ;充分性：反證法)注：當r =s時，K為方陣，可當作定理使用；13. 、對矩陣Am n，存在Qn m，AQ =EmM A)=m、Q的列向量線性無關(guān)；、對矩陣Amn，存在Pn m，PA = E.r (A)=：n、P的行向量線性無關(guān)；14. 1,2,，s線性相關(guān)二存在一組不全為0的數(shù)k1, k2,，ks,使得ki-1 k 2亠，ks亠二0成立；(定義)x1

16、U g罠 g x2 =0有非零解，即 AX = 0有非零解；込s二r(D，s) <s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)；15. 設(shè)m n的矩陣A的秩為r，貝U n元齊次線性方程組 Ax二0的解集S的秩為：r(S) = n-r ；16. 若*為Ax =b的一個解，1, 2，n4L為Ax =0的一個基礎(chǔ)解系，則*, 1, 2，n_r線性無關(guān)；5、相似矩陣和二次型= 1,2，n）；正交矩陣=AT A =E或A丄=A (定義)，性質(zhì):、A的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即、若A為正交矩陣，則 A丄=At也為正交陣，且|A = 1 ； 、若A、B正交陣，則 AB也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記 施密特正交化 和單位化;2. 施密特正交化：（ai, a?,，aj1.111.#b? = a?b, a2 一bi，bbrb arbi b 1b 2 abibr>.1“1.#3. 對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關(guān)； 對于實對稱陣，不同特征值對應的特征向量正交；4. 、A與B等價A經(jīng)過初等變換得到 B ；PAQ =B， P、Q 可逆；r（A） =r（B），A