第四章第一節(jié)微分方程的基本概念

1、第四章第一節(jié)微分方程的基本概念基本內(nèi)容1. 微分方程：含有未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)與自孌量之間的關(guān)系的方程稱為微分方程。未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程。微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階。2. 微分方程的解：使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。3.特解：確定微分方程通解中的任意常數(shù)的值的條件稱為定解條件，確定了通解中的任意常數(shù)后得到的解稱為微分方程的特解。習(xí)題選解1.試指出下列各微分方程的階數(shù)（1）解：一階（2）解：二階（3）解：二階。（4）

2、解：一階（5）解：一階（6）解：5階2.指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解（1）， 解：因為，代入微分方程，得：左邊=右邊，所以是微分方程的解。（2）， 解：因為，代入微分方程，得：左邊右邊，所以是微分方程的解。（3），解：因為，代入微分方程，得：左邊右邊，所以不是微分方程的解。（4），解：由，得：，兩邊微分，得：，即。從而得，所以是微分方程的解。（5），解：因為，代入方程，得到左邊右邊，所以不是方程的解。（6），解：方程兩邊對求導(dǎo)，得：，解得，代入微分方程，得：左邊=右邊，所以是方程的解。3.在下列各題中，確定函數(shù)關(guān)系中的常數(shù)，使函數(shù)滿足所給的初始條件（1）解：將代入方程，得：，所以

3、。函數(shù)為。（2），解：由，得：，將代入原微分方程，；代入，得：，所以。函數(shù)為。（3），；解：將代入原方程，得：，所以，又將代入，得：，從而，代入，得：。函數(shù)為，即。4.設(shè)函數(shù)是方程的通解，求。解：由，得：，代入微分方程，得：左右，從而，。5.寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程（1）曲線上任一點的切線介于兩坐標(biāo)軸間的部分被切點等分解：設(shè)為曲線上任意一點，則在該點處的切線方程為：，其中表示切線的坐標(biāo)，令，得切線在軸上的截距為，即切線過點，令，得切線在軸上的截距為，即切線過點，由題意，切點是和兩點的中點，所以有：（或），即所求微分方程為（2）曲線上任一點的切線的縱截距等于切點橫坐標(biāo)的平方解：設(shè)為

4、曲線上任意一點，則在該點處的切線方程為：，其中表示切線的坐標(biāo)，令，得切線在軸上的縱截距為，即切線過點，由題意有：。（3）曲線上任一點的切線的縱截距是切點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的平均值；解：設(shè)為曲線上任意一點，則在該點處的切線方程為：，其中表示切線的坐標(biāo)，令，得切線在軸上的縱截距為，即切線過點，由題意，有：。（5）曲線上任一點的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積等于1。解：設(shè)為曲線上任意一點，則在該點處的切線方程為：，其中表示切線的坐標(biāo)，令，得切線在軸上的截距為，即切線過點，令，得切線在軸上的截距為，即切線過點，由題意，有：。第四章第二節(jié)一階微分方程基本內(nèi)容1. 可分離變量方程：如果一個一階微分方程能

5、寫成的形式那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?？煞蛛x變量方程求解方法為等式兩邊同時積分。2. 齊次方程：如果一階微分方程化為，則稱此方程為齊次微分方程。齊次方程求解方法為引入變量替換，代入齊次方程,到可分離變量方程。3. 一階線性方程：稱為一階線性微分方程，如果 ，方程稱為齊次的;如果不恒等于零，則方程稱為非齊次的。齊次線性方程求解公式為；非齊次的線性方程求解公式為。4. 貝努利方程：形如的方程稱為貝努利方程。當(dāng)時,它是一階線性非齊次微分方程；當(dāng)時,它是一階線性齊次微分方程。貝努利方程求解方法為等式兩邊同除以，得到。令 ，方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一階線性非齊次微分方程。求出這方程的通解后,以代，便得

6、到伯努利方程的通解。習(xí)題選解1.求下列微分方程的通解（1）解：原微分方程為，分離變量，得：，兩邊積分，得到，即，。所以方程的通解為，其中。（2）解：原微分方程為，分離變量，得：，兩邊積分，得到方程的通解為：。（3）解：分離變量，得：，積分，得到，即，可得：，所以原方程的解為：，其中。（4）解：原方程為，分離變量，得到，兩邊積分，即，所以原方程的通解為，其中。（5）解：分離變量，得：，積分，得到，所以原方程的通解為，其中。（6）解：分離變量，得：，積分，得到，化簡，得原方程的通解為：。（7）解：方程可化為，這是一個齊次方程，設(shè)，則，代入原方程，得到，分離變量，得：，等式兩邊積分，得到，即，其中，

7、。代入得原方程的通解為。（8）解：這是一個齊次方程，設(shè)，則，代入原方程，得：，分離變量，得到，積分，得：，即，其中，所以原方程的通解為。（9）解：方程兩邊同時除以，化簡得：，這是一個齊次方程，設(shè)，則，代入原方程，得：，化簡得：，分離變量，得到，積分，得：，代入，得到，即化簡，也即其中。所以原方程的通解為。（10）解：由原方程，得：，將看成因變量，看成自變量，這是一個齊次方程，設(shè)，則，對求導(dǎo)，得：，代入原方程，得：，分離變量，得：，兩邊積分，得到，即=，其中，代入，得：，所以原方程的通解為。2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解（1）解：分離變量，得：，積分得通解為，代入初始條件，得，特解為，

8、即。（2），解：分離變量，得：，兩邊積分，得通解：，即，其中，代入初始條件，得：，所以特解為。（3），解：原方程是一個齊次方程，設(shè)，則，代入原方程，得：，分離變量，得：，積分，得到，代入初始條件，得到，所以原方程的特解為。（4），解：原方程可以化為=，這是一個齊次方程，設(shè)，則，代入原方程，得：，分離變量，得：，積分，由有理函數(shù)積分法，得到=，即，代入，得：，所以通解為，代入初始條件，得：，所以特解為。3.求下列微分方程的通解（1）解法一：原方程可以化為一階非齊次線性方程：，先解對應(yīng)的齊次方程：的通解，分離變量，得：，積分得：，化簡，可得齊次方程的通解為，其中利用常數(shù)變易法，設(shè)函數(shù)為原方程的解，

9、則，代入原方程，得：，化簡得：，積分，得：，代入得原方程的解為解法二：原方程化為一階非齊次線性方程：，代入求解公式，得通解為 （2）解：這是一階非齊次線性方程，代入求解公式，得通解為： 另外，也可以用常數(shù)變易法來解（如（1）中的解法一），以下各小題類似。（3）解：這是一階非齊次線性方程，,代入求解公式，得通解為 （4）解：原方程可以化為：，這是一個以為自變量，為因變量的一階非齊次線性方程，代入求解公式，得通解為化簡，得通解為：，其中（5）解：原方程可以化為一階非齊次線性方程 ，。代入求解公式，得通解為（6）解：這是的貝努利方程，兩邊同時除以，得設(shè)，則，代入原方程化為一階非齊次線性方程：，代入求

10、解公式，得通解為：代入得原方程得通解為（7）解：這是的貝努利方程，兩邊同時除以，得到設(shè)，。代入原方程得到一階非齊次線性方程。代入求解公式，得通解為代入得方程的通解為：（8）解：原方程可以化為：，這是的貝努利（Bernoulli）方程，兩邊同時除以，得到設(shè)，。代入原方程得到一階非齊次線性方程代入求解公式，得通解為代入，得原方程的通解為：4.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(1) ，解：原方程化為一階非齊次線性方程，代入求解公式，得通解為：代入初始條件得：1所求特解為：（2）解：原方程為一階非齊次線性方程，代入求解公式，得通解為：代入初始條件，得：所求特解為：（3）解：原方程可化為一階非齊次線

11、性方程：代入求解公式，得通解為：代入初始條件，得所求特解為：。(4) 解：原方程為的貝努利方程，兩邊同時除以，得。設(shè)，代入原方程化為一階非齊次線性方程：。代入求解公式，得通解為：從而。代入初始條件，得：所求特解5求一曲線的方程，這曲線通過原點，并且它在點（）處的切線斜率等于。解：由題意，有得所得微分方程為一階線性方程，代入求解公式，得通解：代入初始條件得所求曲線方程為：6設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點做直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個與運動方向一致、大小與時間成正比（比例系數(shù)為）的力作用于它，此外還受到一與速度成正比（比例系數(shù)為）的阻力作用。求質(zhì)點運動的速度與時間的函數(shù)關(guān)系。解：設(shè)質(zhì)點的運動速度為，由題意，質(zhì)點所受合外力為：由牛頓第二運動定律為加速度，有上式可化為一階非齊次線性方程：，代入求解公式，得速度與時間的函數(shù)關(guān)系為：代入初始條件得，所以所求速度為。7用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的方程，再求出其通解：