線性代數(shù)論文

1、線性代數(shù)論文一：行列式學(xué)習(xí)線性代數(shù)最先接觸的是行列式，行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，解一組線性方程組最基本的方法是消元，而行列式只是方程求解的一種速記表達(dá)式。由多代數(shù)學(xué)家研究和完善，給出了n階行列式的定義：alla12ala21a22a2n(-1)(jlJ2-jn)a1jia2jnjjlj2jn1n2ann因此在這之前必須提出逆序數(shù)的概念：在一個n級排列(i1i2itisin)中，若數(shù)itAis,則稱數(shù)it與is構(gòu)成一個逆序。一個n級排列中逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)，記為Mid2in).一個排列逆序數(shù)為偶數(shù)則為偶排列，否則為奇排列。有定義可以看出n階行列式表示所有取自不同行、不同列的n個元素

2、乘積a15a2j2aj的代數(shù)和，各項的符號是：當(dāng)該項各元素的行標(biāo)按自然順序排列后，若對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號；是奇排列則取負(fù)號.由此則可推出行列式的幾個性質(zhì)：1:行列互換行列式的值不變，行列地位是對稱的；2:用一個數(shù)乘行列式的某一行等于用這個數(shù)乘此行列式。因此相反的行列式的某一行有公因子可以提出來；3:如果行列式中某一行是兩組數(shù)的和，則這個行列式等于兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩組數(shù)作為該行，而其余各行與原行列式對應(yīng)相同；4:對換行列式中兩行的位置，行列式反號；5:如果行列式中有兩行成比例餓，則行列式等于0;6:把一行的某個倍數(shù)加到另一行，行列式的值不變；有上述六條性質(zhì)可以

3、很好的對一些高階行列式進(jìn)行化簡，進(jìn)而求值。簡化行列式計算的另一條途徑則是降階，即把高階行列式的計算化為低低階行列式運算。在這方面則是發(fā)現(xiàn)了行列式的展開公式。首先為方便表達(dá)計算有如下定義：在一個n級行列式D中,把元素aij(i,j=1,2,.n)所在的行與列劃去后，剩下的(n-1)A2個元素按照原來的次序組成的一個n-1階行列式Mij,稱為元素aij的余子式.Mij帶上符號(-1)A(i+j)稱為aij的代數(shù)余子式，記作Aij=(-1)A(i+j)Mij之后則有行列式展開公式：行列式等于它的任意一行(列)的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即.。=沏4+知&+十%4，(，=12最后則回到

4、最原先的問題，用行列式表示方程的解:由克拉默法則知:電上工/物修+町爐小辦必班凡十厘日。+-+%處鼎匕.片1白%0=電1口第-律嘉IH41%D1D2Dn-D不等于0時，那么萬程（1）有唯一解X1=-,X2=,Xn,（2）DDD其中Dj（j=1,2,n,）是把系數(shù)行列式中第j列的元素用方程右端的自由項代替后所得到的n階行列式，即alla1,j-1bia1,j+1alnDj=anian,j-1bnan,j+1ann證明：用D中第j列元素代數(shù)余子式Aij,A2j,，Anj依次乘方程組（1）的n個方程,再把它們相加，得.一ak1AkjX1k1.一akjAkjk1Xj.一aknAknk1Xn='

5、bkAkj,.k1根據(jù)代數(shù)余子式的重要性質(zhì)可知，上式中均為零；又等右端即是Dj,于當(dāng)Dw0時，方程組（3）有唯一的一個解xj的系數(shù)等于D,而其余Dxj=Dj,(j=1,2,n).，(2)。xi(iwj)的系數(shù)(3)由于方程組（10）是由方程組（1）經(jīng)乘數(shù)與相加兩種運算而得，故（1）的解一定是（10）的解，今下面驗證解（2）也就是要證明：僅有一個解是方程組（1）（2）,故（1）如果有解的話，就只可能是解的解。(2)。a21ai1Dai2DnD=bi,(i=1,2,n).為此考慮兩行相同的階行列式biai1ainb1a11(i=1,2,n),bnann它的值等于0,把它按第一行展開,由于第行中ai

6、j的代數(shù)余子式為901%jQ,j*31n/八1+j*(-1)bn3n1an,j-13n,j十1ann二(1)j2(1)j1Dj=Dj,所以有0=bDaQ祖即說3*3nMb仆12,n).得證.行列式發(fā)展于方程組求解，但是行列式的運用卻不僅僅在于方程組，行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、二次型理論等多方面都有著重要應(yīng)用。隨著對行列式的計算應(yīng)用，發(fā)展出了矩陣?yán)碚?。矩陣是?shù)學(xué)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具，許多實際問題都可以化為矩陣模型來運算。簡單地說矩陣就是指縱橫排列的二維數(shù)據(jù)表格，NXM矩陣(mglv)A是一個JV行Af列數(shù)字構(gòu)成的方陣，iJ為:方陣A

7、的行列式稱為矩陣的行列式。之后就有一系列矩陣運算定義：1矩陣加法：設(shè)A,B,C是三個同型矩陣，則A+(B+C=(A+B)+C;A+B=B+AA+0=0+A=A其中0是與A同型的矩陣。2矩陣的數(shù)乘：設(shè)A,B是個同型矩陣，k,l是兩個常數(shù)，則lA=A,0A=0;k(lA)=(kl)A;k(A+B)=kA+kB;(k+l)A=kA+lA;3維數(shù)相容的兩個矩陣可以相乘，具體要求是第一個矩陣的列數(shù)應(yīng)等于第二個矩陣的行數(shù)。若A是N*M矩陣，B是M*L矩陣，則C=AB是N*L矩陣，其第個元素是。矩陣乘法一般不滿足交換率(即一般可加川郴=»CA*BBA)4矩陣的轉(zhuǎn)置則是將矩陣的行列互換；逆矩陣的定義

8、：設(shè)A是n階方陣，若存在n階方陣B,使得AB=BA=J則稱A可逆的，B為A的逆矩陣；其中逆矩陣有著重要的應(yīng)用，初等矩陣即是可逆矩陣，可逆矩陣也可拆成多個初等矩陣的乘積，因此在對矩陣進(jìn)行初等變換、考慮矩陣的相似性、相抵型、相向型、二次型等等都需要用到可逆矩陣的性質(zhì)。求可逆矩陣的最基礎(chǔ)的方法則是待定系數(shù)法，解方程組求解；顯然待定系數(shù)比較繁瑣，容易出錯；還有一種則是用伴隨矩陣；%42對任意n階矩陣A,稱/=4為A的伴隨矩陣，其中，4是A中元素%的代數(shù)余子式。44=工'1|因此a可逆的充要條件是回豐0,可逆矩陣為=力M；伴隨矩陣性質(zhì)證明：設(shè)A=(aij),記AA*=(bij),則bij=ai1

9、Ai1+ai2Ai2+ainAin=£川，其中i=jWO,當(dāng)i刊時bij=0;故AA*=I,同理A*A=I可逆矩陣的證明：必要性。若A可逆，則有B,使得AB=I,兩邊取行列式，可推出31W0;充分性。若.?0,則有4"=禺由上述定義性質(zhì)可推出矩陣的初等變換和分塊矩陣的運算，分塊矩陣的運算等同于矩陣運算。當(dāng)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域擴展到N維向量空間、線性空間時，矩陣起著重要作用！一組向量組可以理解為一個矩陣，同時研究向量組的極大線性無關(guān)組時也可以轉(zhuǎn)換成矩陣來求；因此先得引入矩陣秩的概念，矩陣的非零子式的最高階數(shù)r稱為矩陣的秩，記為r(A)=r.零矩陣的秩規(guī)定為0;通過計算可以得出矩陣秩的一些性質(zhì)：1 :maxr(A),r(B)<r(A|B)<r(A)+r(B),特別當(dāng)B=b時，r(A)<r(A|b)<r(A)+1.2 r(A-B)<r(A)r