初高中銜接（三課時）

1、如何做好高、初中數學的銜接 初中數學與高中數學銜接緊密的知識點 1 絕對值：在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值。正數的絕對值是他本身，負數的絕對值是他的相反數，0的絕對值是0，即兩個負數比較大小，絕對值大的反而小兩個絕對值不等式:；或2 乘法公式：平方差公式：立方差公式：立方和公式：完全平方公式：，完全立方公式：3 分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。方法：提公因式法，運用公式法，分組分解法，十字相乘法。4 一元一次方程：在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1，這樣的方程叫一元一次方程。解一元一次方程的步驟：去分母，

2、移項，合并同類項，未知數系數化為1。關于方程解的討論當時，方程有唯一解；當，時，方程無解 當，時，方程有無數解；此時任一實數都是方程的解。5 二元一次方程組：（1）兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。（2）適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。（3）二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。（4）解二元一次方程組的方法：代入消元法，加減消元法。6 不等式與不等式組（1）不等式：用符不等號（>、<）連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數，不等號方向不變。

3、不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號方向相反。（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解。一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是1的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式組：關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。7 一元二次方程：方程有兩個實數根 方程有兩根同號 方程有兩根異號 韋達定理及應

4、用：, 8 函數（1）變量：因變量，自變量。 在用圖象表示變量之間的關系時，通常用水平方向的數軸上的點自變量，用豎直方向的數軸上的點表示因變量。（2）一次函數：若兩個變量,間的關系式可以表示成（為常數，不等于0）的形式，則稱是的一次函數。當=0時，稱是的正比例函數。（3）一次函數的圖象及性質把一個函數的自變量與對應的因變量的值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。正比例函數=的圖象是經過原點的一條直線。在一次函數中，當0， O，則經2、3、4象限；當0，0時，則經1、2、4象限；當0， 0時，則經1、3、4象限；當0， 0時，則經1、2

5、、3象限。當0時，的值隨值的增大而增大，當0時，的值隨值的增大而減少。（4）二次函數：一般式：()，對稱軸是頂點是；頂點式：()，對稱軸是頂點是；交點式：()，其中（），（）是拋物線與x軸的交點（5）二次函數的性質 函數的圖象關于直線對稱。時，在對稱軸 （）左側，值隨值的增大而減少；在對稱軸（）右側；的值隨值的增大而增大。當時，取得最小值時，在對稱軸 （）左側，值隨值的增大而增大；在對稱軸（）右側；的值隨值的增大而減少。當時，取得最大值9乘法公式我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：1平方差公式： ；2完全平方和公式： ；3完全平方差公式： 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：公式1公式

6、2(立方和公式)公式3 (立方差公式)說明:上述公式均稱為“乘法公式” 專題一 因式分解【要點回顧】 因式分解是代數式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等1公式法常用的乘法公式：1平方差公式： ；2完全平方和公式： ；3完全平方差公式： 45(立方和公式)6 (立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公式可以進行因式

7、分解2分組分解法 從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關鍵在于如何分組常見題型：（1）分組后能提取公因式 （2）分組后能直接運用公式3十字相乘法（1）型的因式分解 這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：二次項系數是1；常數項是兩個數之積； 一次項系數是常數項的兩個因數之和，運用這個公式，可以把某些二次項系數為1的二次三項式分解因式（2）一般二次三項式型的因式分解由我們發(fā)現，二次項系數分解成，常數項分解成，把寫成，這里按

8、斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解4其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法 （2）拆、添項法【例題選講】例1 （公式法）分解因式：(1) ；(2) 例2 （分組分解法）分解因式：（1） （2）例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2) (3) (4) 例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2) 例5

9、 （拆項法）分解因式【鞏固練習】1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2已知，求代數式的值3現給出三個多項式，請你選擇其中兩個進行加法運算，并把結果因式分解. 專題二 一元二次方程根與系數的關系【要點回顧】1一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為： 由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：對于一元二次方程ax2bxc0（a0），有1當 0時，方程有兩個不相等的實數根： ；2當 0時，方程有兩個相等的實數根： ；3當 0時，方程沒有實數根2一元二次方程的根與系數的關系定理：如果一元二次方程的兩個根為，

10、那么： 說明：一元二次方程根與系數的關系由十六世紀的法國數學家韋達發(fā)現，所以通常把此定理稱為”韋達定理”上述定理成立的前提是 特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1x2p，x1·x2q，即 p(x1x2)，qx1·x2，所以，方程x2pxq0可化為 x2(x1x2)xx1·x20，由于x1，x2是一元二次方程x2pxq0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1·x20因此有 以兩個數x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數為1）是 x2(x1x2)xx1·x20【例

11、題選講】例1 已知關于的一元二次方程，根據下列條件，分別求出的范圍：（1）方程有兩個不相等的實數根；（2）方程有兩個相等的實數根（3）方程有實數根；（4）方程無實數根例2 已知實數、滿足，試求、的值例3 若是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 例4 已知是一元二次方程的兩個實數根(1) 是否存在實數，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由(2) 求使的值為整數的實數的整數值【鞏固練習】1若是方程的兩個根，則的值為()ABCD2若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關系是()ABCD大小關系不能確定3設是方程的兩實根，是關于的方程的兩實根，則= _

12、 _ ，= _ _ 4已知實數滿足，則= _ _ ，= _ ，= _ 5已知關于的方程的兩個實數根的平方和等于11，求證：關于的方程有實數根6若是關于的方程的兩個實數根，且都大于1(1) 求實數的取值范圍；(2) 若，求的值專題三 二次函數【要點回顧】1 二次函數yax2bxc的圖像和性質問題1 函數yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關系？問題2 函數ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關系？由上面的結論，我們可以得到研究二次函數yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c， 所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數yax2的圖象作左右平

13、移、上下平移得到的，二次函數yax2bxc(a0)具有下列性質：1當a0時，函數yax2bxc圖象開口方向 ；頂點坐標為 ，對稱軸為直線 ；當 時，y隨著x的增大而 ；當 時，y隨著x的增大而 ；當 時，函數取最小值 2當a0時，函數yax2bxc圖象開口方向 ；頂點坐標為 ，對稱軸為直線 ；當 時，y隨著x的增大而 ；當 時，y隨著x的增大而 ；當 時，函數取最大值 上述二次函數的性質可以分別通過上圖直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數問題時，可以借助于函數圖像、利用數形結合的思想方法來解決問題2二次函數的三種表示方式1二次函數的三種表示方式：（1）一般式： ；（2）頂點式： ；（3）交點

14、式： 說明：確定二此函數的關系式的一般方法是待定系數法，在選擇把二次函數的關系式設成什么形式時，可根據題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則二次函數的關系式可設如下三種形式：給出三點坐標可利用一般式來求；給出兩點，且其中一點為頂點時可利用頂點式來求給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點.時可利用交點式來求3分段函數一般地，如果自變量在不同取值范圍內時，函數由不同的解析式給出，這種函數，叫作分段函數【例題選講】例1 求二次函數y3x26x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫出該函數的圖象例2 某種產品的成本是120元/件，試銷階

15、段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：x /元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？ 例3 已知函數，其中，求該函數的最大值與最小值，并求出函數取最大值和最小值時所對應的自變量x的值 例4 根據下列條件，分別求出對應的二次函數的關系式（1）已知某二次函數的最大值為2，圖像的頂點在直線yx1上，并且圖象經過點（3，1）；（2）已知二次函數的圖象過點(3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2；（3）已知二次函數的圖象過點(1，22)，(0，8)

16、，(2，8) 例5 在國內投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg(0x100)的信應付多少郵資（單位：分）？寫出函數表達式，作出函數圖象分析：由于當自變量x在各個不同的范圍內時，應付郵資的數量是不同的所以，可以用分段函數給出其對應的函數解析式在解題時，需要注意的是，當x在各個小范圍內（如20x40）變化時，它所對應的函數值（郵資）并不變化（都是160分）解：設每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數這個函數的解析式為 由上述的函數解析式，可以得到其圖象如圖所示【鞏固練習】1選擇題：（1）把

17、函數y(x1)24的圖象的頂點坐標是 （ ） （A）（1，4） （B）（1，4） （C）（1，4） （D）（1，4）（2）函數yx24x6的最值情況是 （ ） （A）有最大值6 （B）有最小值6 （C）有最大值10 （D）有最大值2（3）函數y2x24x5中，當3x2時，則y值的取值范圍是 （ ） （A）3y1 （B）7y1 （C）7y11 （D）7y11 2填空：（1）已知某二次函數的圖象與x軸交于A(2，0)，B(1，0)，且過點C（2，4），則該二次函數的表達式為 （2）已知某二次函數的圖象過點（1，0），（0，3），（1，4），則該函數的表達式為 3根據下列條件，分別求出對應的二次函數

18、的關系式（1）已知二次函數的圖象經過點A（0，），B（1，0），C（，2）；（2）已知拋物線的頂點為（1，），且與y軸交于點（0，1）；（3）已知拋物線與x軸交于點M（，0），（5，0），且與y軸交于點（0，）；（4）已知拋物線的頂點為（3，），且與x軸兩交點間的距離為44如圖，某農民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞已知墻的長度為6m，問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？5如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD的邊上有一個動點P，從點A出發(fā)沿折線ABCD移動一周后，回到A點設點A移動的路程為x，PAC的面積為y（1）求函數y的解析式；（2）畫出函數y的圖像；

19、 （3）求函數y的取值范圍 專題六 二次函數的最值問題【要點回顧】1二次函數的最值二次函數在自變量取任意實數時的最值情況(當時，函數在處取得最小值，無最大值；當時，函數在處取得最大值，無最小值2二次函數最大值或最小值的求法 第一步確定a的符號，a0有最小值，a0有最大值； 第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值3求二次函數在某一范圍內的最值如：在（其中）的最值第一步：先通過配方，求出函數圖象的對稱軸：；第二步：討論：1若時求最小值或時求最大值，需分三種情況討論： 對稱軸小于即，即對稱軸在的左側； 對稱軸，即對稱軸在的內部； 對稱軸大于即，即對稱軸在的右側。2 若時求最大值或時求

20、最小值，需分兩種情況討論：對稱軸，即對稱軸在的中點的左側；對稱軸，即對稱軸在的中點的右側；說明：求二次函數在某一范圍內的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位置，具體情況，參考例4?！纠}選講】例1求下列函數的最大值或最小值 （1）； （2）例2當時，求函數的最大值和最小值例3當時，求函數的取值范圍例4當時，求函數的最小值(其中為常數)【鞏固練習】1拋物線，當= _ 時，圖象的頂點在軸上；當= _ 時，圖象的頂點在軸上；當= _ 時，圖象過原點2用一長度為米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 _ 3設，當時，函數的最小值是，最大值是0，求的值4已知函數在上的最大值為4，求

21、的值5求關于的二次函數在上的最大值(為常數) 各專題參考答案 專題一因式分解答案例1分析：(1) 中應先提取公因式再進一步分解；(2) 中提取公因式后，括號內出現，可看著是或解：(1) (2) 例2（1）分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式解：（2）分析：先將系數2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式解：例5 解： 【鞏固練習】12； 3 其他情況如下：；.4專題二 一元二次方程根與系數的關系習題答案例1解：，(1) ； (2) ；(3) ；(4)例2解：可以把所給方程看作為關于的方程，整理得：

22、由于是實數，所以上述方程有實數根，因此：，代入原方程得：綜上知：例3解：由題意，根據根與系數的關系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達定理體現了整體思想【鞏固練習】1 A； 2A； 3； 4； 5 (1)當時，方程為，有實根；(2) 當時，也有實根6(1) ； (2) 專題三 二次函數參考答案例1 解：y3x26x13(x1)24，函數圖象的開口向下；對稱軸是直線x1；頂點坐標為(1，4)；當x1時，函數y取最大值y4；當x1時，y隨著x的增大而增大；當x1時，y隨著x的增大而減小；采用描點法畫圖，選頂點A(1，4)，與x軸交于點

23、B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）說明：從這個例題可以看出，根據配方后得到的性質畫函數的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確例2 分析：由于每天的利潤日銷售量y×(銷售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數關系，然后，再由它們之間的函數關系求出每天利潤的最大值解：由于y是x的一次函數，于是，設ykx（B），將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x

24、120)x2320x24000(x160)21600，當x160時，z取最大值1600答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元例3 分析：本例中函數自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論 解：（1）當a2時，函數yx2的圖象僅僅對應著一個點(2，4)，所以，函數的最大值和最小值都是4，此時x2； （2）當2a0時，由圖226可知，當x2時，函數取最大值y4；當xa時，函數取最小值ya2；（3）當0a2時，由圖226可知，當x2時，函數取最大值y4；當x0時，函數取最小值y0；（4）當a2時，由圖226可知，當xa時，函數取最大值ya2；當x0時，函數取最小值y0說

25、明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論此外，本例中所研究的二次函數的自變量的取值不是取任意的實數，而是取部分實數來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數圖象來直觀地解決問題例4（1）分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點位置，從而可以將二次函數設成頂點式，再由函數圖象過定點來求解出系數a解：二次函數的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，頂點的縱坐標為2又頂點在直線yx1上，所以，2x1，x1頂點坐標是（1，2）設該二次函數的解析式為，二次函數的圖像經過點（3，1），解得a2二次函數的解析式為，即y2x28x7 說明：在解題時，由最大值確定

26、出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數的頂點式，最終解決了問題因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題（2） 分析一：由于題目所給的條件中，二次函數的圖象所過的兩點實際上就是二次函數的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數的表達式設成交點式解法一：二次函數的圖象過點(3，0)，(1，0)，可設二次函數為ya(x3) (x1) (a0)，展開，得 yax22ax3a， 頂點的縱坐標為 ，由于二次函數圖象的頂點到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數的表達式為y，或y分析二：由于二次函數的圖象過點(3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或2，于是，又可以將二次函數的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數的表達式解法二：二次函數的圖象過點(3，0)，(1，0)，對稱軸為直線x1又頂