導(dǎo)數(shù)與微分在物理中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)與微分在高三物理復(fù)習(xí)中的應(yīng)用湖北宜昌市田家炳中學(xué) 443001 齊克軍高中數(shù)學(xué)新教材已將“導(dǎo)數(shù)與微分”作為高三數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，這一改革對物理教師來說，是一件如魚兒得水的快事！在高三物理復(fù)習(xí)中，恰當(dāng)運用導(dǎo)數(shù)與微分這一數(shù)學(xué)工具，可以簡化分析過程，提升思維層次，深化對物理問題的理解；同時，可以讓學(xué)生深刻體念數(shù)學(xué)在物理中的價值，培養(yǎng)學(xué)生善于運用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力筆者結(jié)合近幾年高三復(fù)習(xí)備考的嘗試，談?wù)剬?dǎo)數(shù)與微分在高三物理復(fù)習(xí)中的應(yīng)用一、理解物理概念瞬時速度是一個不好理解的概念，高一物理教材在“怎樣理解瞬時速度”的閱讀材料中舉例：汽車經(jīng)過A點時，從A點起取足夠小的位移或足夠短的時間，所得的平均速

2、度就等于汽車經(jīng)過A點的瞬時速度高三復(fù)習(xí)時，可以將這種表述簡化為數(shù)學(xué)式：，即質(zhì)點經(jīng)過某點的瞬時速度等于位移對時間在該點的導(dǎo)數(shù)類似地，質(zhì)點經(jīng)過某點的加速度等于速度對時間在該點的導(dǎo)數(shù)我們還可以用勻變速直線運動的公式、來驗證I圖1UAB電阻雖然是一個簡單的物理概念，但仍然存在理解上的誤區(qū)如有的同學(xué)在研究小燈泡伏安特性曲線實驗中認(rèn)為：I-U圖線切線斜率的變化反映電阻的變化，甚至認(rèn)為I-U圖線切線斜率的倒數(shù)就等于電阻結(jié)合小燈泡伏安特性曲線（圖1）來看，從A到B，切線斜率減小，電阻增大，這種理解似乎沒錯，但換一種情形，這種理解的錯誤就會顯露出來如圖2，從A到B，切線斜率減小，即B點切線斜率斜率的倒數(shù)較大，但

3、B點對應(yīng)的電阻較小從導(dǎo)數(shù)的知識可知，I-U圖線切線斜率k等于I對U的導(dǎo)數(shù)，即，上述錯誤在于把電阻的定義式換成了，IU圖2BA而一般情況下，只有對金屬導(dǎo)體這類線性元件（伏安特性曲線是過原點的直線），才有再如，感應(yīng)電動勢的計算公式，高中物理中一般只涉及兩種情況：當(dāng)S不變時，；當(dāng)B不變時，但高三復(fù)習(xí)中，有學(xué)生問“當(dāng)B和S都變時，怎樣求E呢？”，如果我們回答“這種情況高考不考”，學(xué)生是不會滿意的，如果將此公式寫成，同時將代入得，然后分三種情況討論，既開闊了學(xué)生的眼界，又培養(yǎng)了學(xué)生的興趣二、認(rèn)識物理規(guī)律LC回路電磁振蕩規(guī)律中，電容器放電時，極板間電壓減小，放電電流增大，到放電完畢瞬間，極板間電壓為零，放

4、電電流達(dá)到最大學(xué)生總是受歐姆定律的干擾，產(chǎn)生疑問：電壓為零時，電流怎么會最大呢？高二上新課時，我們除了強調(diào)學(xué)生不要用歐姆定律研究LC回路之外，只能從電能、磁能轉(zhuǎn)化和守恒的角度作定性的分析說明高三復(fù)習(xí)時，我們可以借助導(dǎo)數(shù)和微分的知識，輕松地突破這一難點：放電時，電容器極板上電荷q的減少量等于導(dǎo)線中流過的電量，由電流的定義式可得再結(jié)合電容的定義式得LC回路中電容器周期性充放電，極板間電壓可表示為則由此可知，時，i取最大值繩拉物體運動的分解也是一個教學(xué)難點如圖3，小車?yán)K的速度v1和木塊前進的速度v2，哪個當(dāng)分速度，哪個當(dāng)合速度，二者關(guān)系如何，學(xué)生不易弄清，借用導(dǎo)數(shù)知識很容易解決：圖3hxlv1+v

5、2+由圖可知，兩邊對時間求導(dǎo)得：由于、故三、求解物理問題高中物理中，經(jīng)常遇到一些研究變化趨勢、快慢和極值的問題，這類問題通?？梢杂脭?shù)學(xué)變換（如化為繁分?jǐn)?shù)、配成完全平方式）和數(shù)學(xué)重要不等式等方法解決，但有時用這些方法顯得很麻煩，甚至解不出來，而用導(dǎo)數(shù)和微分的方法卻很簡潔實際上，導(dǎo)數(shù)和微分是解決這類問題的一般方法例一：如圖4所示，某人站在離河北岸20m的A處，看到河AB北岸南岸河圖4下游70m離河南岸10m的B處發(fā)生險情，此人馬上快速跑到河邊，再以跑步的速度過河跑到出事點進行搶險已知河寬為40m，且河水不流動，此人跑步的速度為8m/s，問此人到達(dá)出事點的最短時間是多少？河圖5EDAB北岸南岸F為便

6、于研究，先將河道向南平移10m，使陸地上的兩段運動連在一起，這樣將問題情景轉(zhuǎn)化成人離北岸30m，出事點在南岸邊上，如圖5所示為了求出最短時間，我們先把人沿任意路線（圖5中的A-E-B）運動的時間表示出來：設(shè)EF=x，則即 ()根據(jù)上述表達(dá)式，求最短時間，就是求上式中t的最小值為此，令t對x的導(dǎo)數(shù)等于零，即q3q1q2圖6解得x=40m，代入t的表達(dá)式得t=14.6s這就是最短時間（注：本題借用光學(xué)中的費馬定理也可以很簡潔求解）例二：如圖6所示，三個點電荷位于等邊三角形的三個頂點，和為正電荷，為負(fù)電荷，電量均為，現(xiàn)將和固定，由靜止釋放，試定性討論的速度和加速度變化情況（不考慮重力）圖7Eq3受電場力的合力沿和連線的中垂線，由靜止釋放后沿中垂線做直線運動，為弄清加速度的變化情況，先要弄清中垂線上電場強度的變化情況根據(jù)和連線中點O處和無限遠(yuǎn)處場強均為零可推知，中垂線上電場強度不是單調(diào)遞增或遞減，一定存在極值點，我們需要把極值點求出來如圖7，設(shè)和連線長為2a，則中垂線上任意一點P處場強為：求E對的導(dǎo)數(shù)得：令得：（負(fù)值對應(yīng)P在O點下方）由于，故電場強度最大值在初位置下方由此可知，由靜止釋放后沿中垂線先做加速度增