解一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)

1、解一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)思想解一元二次方程有四種方法，直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，這四種方法各有千秋。為保證學(xué)生掌握基本的運(yùn)算技能，教學(xué)中進(jìn)行了一定量的訓(xùn)練，但要避免學(xué)生簡(jiǎn)單的模仿。我們?cè)谔骄恳辉畏匠探夥ǖ倪^程中，要加強(qiáng)思想方法的滲透，發(fā)展學(xué)生的思維能力。在解一元二次方程的幾種方法中，均需要用到轉(zhuǎn)化的思想方法。如配方法需要將方程轉(zhuǎn)化為能直接開平方的形式，公式法能根據(jù)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，所有這些均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。在教學(xué)時(shí)老師引導(dǎo)學(xué)生在主動(dòng)進(jìn)行觀察、思考核探究的基礎(chǔ)上，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法在其中的作用，充分發(fā)展學(xué)生的思維能力。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：1會(huì)用配方法、

2、公式法、因式分解法解簡(jiǎn)單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2能夠根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)，靈活選用解方程的方法，體會(huì)解決問題策略的多樣性。過程與方法：1參與對(duì)一元二次方程解法的探索，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，對(duì)結(jié)果比較、驗(yàn)證、歸納、理清幾種解法之間的關(guān)系，并能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?在探究一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度價(jià)值觀：在解一元二次方程的實(shí)踐中，交流、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)樂趣。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步驟，并熟練運(yùn)用上述方法解題。難點(diǎn)：根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?。教學(xué)方法探索發(fā)現(xiàn)，講練結(jié)合教

3、學(xué)媒體多媒體課時(shí)安排4課時(shí)教學(xué)過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入：1 .一元二次方程的一般形式是什么？其中a應(yīng)具備什么條件？_22 x40是一元二次方程嗎？其中二次項(xiàng)的系數(shù)，一次項(xiàng)的系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)各是什么？（是。二次項(xiàng)系數(shù)是1,一次項(xiàng)系數(shù)是0,常數(shù)項(xiàng)是4）3 .解下列方程：（1） x2=4（2）（x+3）2=9學(xué)生依次回答上述問題。師總結(jié)強(qiáng)調(diào)：（1）象這種通過直接開平方求得x的值的方法，實(shí)際上就是求x2=a（a0）這種特殊形式的一元二次方程的解方法。（2）對(duì)于形如“（x+a）2=b（b0）”型的方程，只要把x+a看作一個(gè)整體，就可以轉(zhuǎn)化為x2=b（b0）型的方法去解決，這里滲透了“換元”的方法。（3）

4、在對(duì)方程（x+3）2=9兩邊同時(shí)開平方后，原方程就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程。要向?qū)W生指出，這種變形實(shí)質(zhì)上是將原方程“降次”?！敖荡巍币彩且环N數(shù)學(xué)方法二、試著做做1 .如果（x+2）2=9,那么x=。2 .如果（x-3）2=7,那么x=。3 .完全平方公式是什么？4 .如果x2+2x+1=4,那么x=。學(xué)生獨(dú)立求解5 .對(duì)于x2+2x-3=0這樣的方程，該怎樣求解呢？能否經(jīng)過適當(dāng)變形，將方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n（m,n是常數(shù)，n0）的形式，然后應(yīng)用直接開平法求解呢？你能總結(jié)出你解這個(gè)方程的步驟嗎？學(xué)生活動(dòng)：小組討論，利用完全平方公式及上述提示尋求解法，將x2+2x-3=0變形為x2+2x+1=4,即

5、（x+1）2=4。并總結(jié)出解方程x2+2x-3=0的一種方法：一+汽-3寸I期T卅=4,開平方=1三、做一做把下列方程化為（x+m）2=n（m,n是常數(shù)，n0）的形式，并求出它們的解。（1） x2+2x=48;（2）x2-4x=12;,2,25一(3) x-6x+6=0;(4)xX0。4學(xué)生活動(dòng)：初步體驗(yàn)用配方法解一元二次方程的步驟。例1解方程X2-10X-11=0該例題師生共同完成，學(xué)生通過此題明白每步變形的依據(jù)和目的。然后師生一起總結(jié)：通過配方，把方程的一邊化為完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù)，然后利用開平方的方法求出一元二次方程的根，這種方法叫做解一元二次方程的配方法。四、練習(xí)：1 .配方：

6、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立：(1) X2+12X+=(x+6)2(2) x212x+=(x)2(3) x2+8x+=(x+)22 .解方程：課本P34練習(xí)五、小結(jié)這節(jié)課你的收獲是什么？六、作業(yè)課本P341,2,3七、板書設(shè)計(jì)解一元二次方程一一配方法x2=a(a0)試著做做做一做例1練習(xí)直接開平方法x2+bx+c=0配方法第二課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解一元二次方程的什么方法?解下列方程：(1) x2-6x+4=0x2+4x-16=0今天我們一起來學(xué)習(xí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程。二、做一做解方程3x2-32x-48=0師：引導(dǎo)學(xué)生觀察，此方程和上節(jié)課方程進(jìn)行比較有什么不同，能否

7、轉(zhuǎn)化成二次項(xiàng)系數(shù)為1的形式。學(xué)生獨(dú)立思考，積極探究，解答題目。解：略。見課本P35師：請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟是什么？學(xué)生小組討論，相互交流自己的想法。利用配方法解一元二次方程，其一般步驟為：A.先把方程整理為一般形式B.用二次項(xiàng)系數(shù)去除方程兩邊，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1C.把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊（移項(xiàng)）D.方程兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程化為（xm）2n的形式（配方）E.利用直接開方法求得方程的解（當(dāng)右邊是負(fù)數(shù)時(shí)，方程無解）三、練一練解下列方程（1）x2-4x=12；（2）3x2+2x-5=0；（3） 2y2+y-6=0；（4）2x2+5x+1=0四、實(shí)際應(yīng)用例3有一

8、張長(zhǎng)方形桌子，它的長(zhǎng)為2nl寬為1m）有一塊長(zhǎng)方形臺(tái)布，它的面積是桌面面積的2倍，將臺(tái)布鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長(zhǎng)相等。求這塊臺(tái)布的長(zhǎng)和寬（均精確到0.01m）。小組討論：（1）題目中有哪些等量關(guān)系？（2）如何設(shè)未知數(shù)？根據(jù)你所設(shè)的未知數(shù)列出一元二次方程，并解答。（3）算出的x值都可取么？為什么老師引導(dǎo)學(xué)生注意驗(yàn)證方程的解的合理性，并對(duì)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生給予及時(shí)的點(diǎn)撥和引導(dǎo)。通過此題我們發(fā)現(xiàn)在解決實(shí)際問題時(shí)，設(shè)未知數(shù)要靈活選擇，同時(shí)注意檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，從而確定實(shí)際問題的答案。五、小結(jié)1配方法的基本步驟。2 .配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中,在今后

9、學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到。3 .在解決實(shí)際問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合題意。六、作業(yè)課本P371,2五、板書設(shè)計(jì)配方法（2）配方法的一般步驟例2例3練習(xí)第三課時(shí)、導(dǎo)入新課:1 .配方法的步驟是什么？學(xué)生回答：（1）將方程二次項(xiàng)系數(shù)化成1;（2）移項(xiàng)；（3）配方；（4）化為（x+m）2=n（m,n是常數(shù)，n0）的形式；（5）用直接開平方法求得方程的解。2 .用配方法解方程:2x2+7x=4解：系數(shù)化成1,得：x2+-x22配方，得:49162749xx一216811679開平方，得：x79441x1x22學(xué)生活動(dòng)：用配方法解一元二次方程。師：直接開平方法解一元二次方

10、程有一定的局限性，必須符合直接開平方的條件才能利用直接開平方法；配方法雖然對(duì)任意一個(gè)一元一次方程都適用，但每做一題都要配方一次，顯得比較麻煩，所以我們就產(chǎn)生了推導(dǎo)一個(gè)公式來求一元二次方程的解的想法。二、一起探究用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a0）學(xué)生活動(dòng)：自主探究，按照配方法的步驟逐步求解。解：系數(shù)化成1,（兩邊同除以a）得：x2-x-0aa移項(xiàng)（把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊），得：x2-x-aa配方（兩邊同時(shí)加上 （2）2）,得:2ab24a2c b2a 4a2化為（x+m）2=n（成n是常數(shù)，n0）的形式，得:(x2a)2b24ac4a2師：接著讓學(xué)生討論：此時(shí)可以用開平方法求解嗎?讓學(xué)生

11、充分發(fā)表意見后，教師指出：因?yàn)閍 0,所以 4a2 0 ,當(dāng) b2 4ac 0 時(shí), b可以用開平方法得x 一 2ab2 4ac4a2再讓學(xué)生討論b2 4ac4a2b2 4ac ：?jiǎn)幔?a（學(xué)生討論，教師講解:,2b 4ac4a2b2 4ac21al但因?yàn)槭阶忧懊嬉延蟹?hào)“土”，所以無論0還是a0,最終結(jié)果總是.b2 4ac2a所以x工2ab 4acb b 4ac,x - 2a2a 2ab b2 4ac2a這樣我們就得到了 一元二次方程2ax bx c 0（ a 0）的求根公式:2a4ac 2/(b 4ac0)用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。說明：（1）用公式法解一元二次方程，實(shí)際上

12、就是給出a、b、c的數(shù)值，然后求代數(shù)式：bbb4ac進(jìn)行求值的運(yùn)算。由于這樣的計(jì)算較復(fù)雜，所以要提醒學(xué)生計(jì)算時(shí)2a注意a、b、c的符號(hào)，講究計(jì)算的正確性。(2)在運(yùn)用求根公式求解時(shí)，應(yīng)先計(jì)算b24ac的值；當(dāng)b24ac0時(shí)，可以用公式求出兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b24ac0,b、.b24ac1-4917x2a228一3即x13,x21.4說明：師生共同完成，教師規(guī)范格式并強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)。注意:(1)如果方程不是一般形式，要化為一般形式后，再確定a,b,c的值(2)對(duì)a,b,c的值，要注意其正負(fù)符號(hào)，如此題中c=-3.四、課堂訓(xùn)練：P38練習(xí)題(1)-(4)。找四名同學(xué)上黑板做。五、小結(jié)1.本節(jié)課我

13、們推導(dǎo)出了一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的求根公式，即-b7b3-4acj料：ib-4ac0).求根公式的推導(dǎo)，實(shí)際上是“配方”與“開平方”的綜合運(yùn)用，對(duì)于a0,b24ac0,以及由a0,知4a20等條件在推導(dǎo)過程中的應(yīng)用，亦要弄懂其道理。2.應(yīng)用求根公式解一元二次方程，通常應(yīng)把方程寫成一般形式，并寫成a、b、c的數(shù)值以及計(jì)算b24ac的值，當(dāng)熟練掌握求根公式后，可以簡(jiǎn)化求解過程。六、作業(yè)：課本習(xí)題P381,2七、板書設(shè)計(jì)解一元二次方程一-公式法練習(xí)：推導(dǎo)公式：-例練習(xí)-第四課時(shí)一、復(fù)習(xí)引入1 .一元二次方程的解法，已經(jīng)學(xué)過了哪幾種？（直接開平方法，配方法，求根公式法）2 .對(duì)于方

14、程x2-9=0,上述三種解法是不是都可用？哪一種解法比較簡(jiǎn)便？（直接開平方法）從上面的例子可見，同一個(gè)題目可以用多種方法來解，我們應(yīng)該“因題而宜”，選取一種較好的解法，方法越多，我們選取的可能性就越大今天我們?cè)賹W(xué)一種方法，叫做一元二次方程的因式分解法.二、一起探究我們以方程x2-9=0為例，這個(gè)方程的右邊是0,左邊可以分解成兩個(gè)一次因式的乘積即（x+3）（x-3）=0我們知道a-b=0a=0或b=0。語(yǔ)言表述：如果兩個(gè)因式的積等于零，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于零.反之，如果兩個(gè)因式有一個(gè)等于零，它們的積也就等于零.提問：1.什么叫方程的根？（使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值）3 .觀察什么數(shù)是

15、方程的根？即什么數(shù)使方程的左邊乘積為零？（使x+3等于0或使x-3等于0）.注意用或字，意思是兩個(gè)因式中有一個(gè)等于0就可使乘積為0,不必要兩個(gè)因式同時(shí)為0.因此我們可以得到x=-3或x=3,即xi=-3,x2=-3像這樣，把一元二次方程的一邊劃為0,另一邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)一元一次方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解。三、做一做用因式分解法解下列方程：221x7x0;(2)xx;24242_(3)4x90;(4)x2x10.學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用因式分解法完成求解過程，老師對(duì)學(xué)生困難的學(xué)生給與幫助。例用因式分解法解下列方程：(1)3(x-1)2=2(x-1);(2)(x

16、+5)2=49.分析：這兩個(gè)方程有什么特點(diǎn)？(可以把x-1和x+5分別看作整體)解：(1)原方程可化為3(x-1)2-2(x-1)=0(x-1)(3x-5)=0得x-1=0,或3x-5=0一一5所以x11,x2一3(2)原方程可化為(x+5)2-72=0(x+12)(x-2)=0.得x+12=0,或x-2=0所以x112,x22四、大家談?wù)? .因式分解適當(dāng)解什么樣的一元二次方程？2 .解一元二次方程的方法有哪幾種？根據(jù)你學(xué)習(xí)的體會(huì)，談?wù)勍ǔＤ闶侨绾芜x擇解法的。學(xué)生小組交流。結(jié)論：(1)對(duì)于一元二次方程的一般形式，當(dāng)方程左邊無常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)為0或是完全平方式時(shí)，方程均可使用因式分解法求解。(2)在一元二次方程的解法中，公式法是最主要的，最通用的方法.因式分解法對(duì)解某些一元二次方程是最簡(jiǎn)單的方法.在解一元二次方程時(shí)，應(yīng)據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ?(3)直接開平方法與因式分解法中都蘊(yùn)含著由二次方程向一次方程轉(zhuǎn)化的思想方法.由高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化是解高次方程的思想方法.請(qǐng)你用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(x+2)2=2x+4;(2)(3x+1)2-4=0;3x-2=9x2-4;(4)4x2-12x+5=0.五