微分幾何陳維桓習(xí)題答案

1、p. 58 習(xí)題 3.1習(xí)題答案222222.在球面 S =( x,y,z) |x + y + z =1上，命 N =(0,0,1) , S = (0,0, -1).對(duì)于赤道平 面上的任意一點(diǎn)p=(u,v,0),可以作為一的一條直線經(jīng)過(guò) N,p兩點(diǎn)，它與球面有唯一 的交點(diǎn)，記為p .(1)證明：點(diǎn)p的坐標(biāo)是2ux 二 2u v 12vy = 22u v 122.uv -1z = 2 , 2 , A，uv 1并且它給出了球面上去掉北極 N的剩余部分的正則參數(shù)表示;(2)求球面上去掉南極S的剩余部分的類似的正則參數(shù)表示;求上面兩種正則參數(shù)表示在公共部分的參數(shù)變換;證明球面是可定向曲面.證明.設(shè)K(

2、u,v) =Op.如圖，N, p, p, OptOp (1 -t)ON .點(diǎn)共線，故有twR使得Op=1 = ON2, Op,2=u2+v2, Op ON = 0, t#0,取上式兩邊的模長(zhǎng)平方,得 t =2/(u2 +v2 +1).從而2u_222v u v -1u2 v2 1,u2 v2 1，u2 v2 1_ 2，(u,v) R .由(1)可知r=Opi=tNp +ON =t(u,v, 1)十(0,0,1) =(tu,tv,1 t),2又 dt = t (udu + vdv),所以ru =-t2u(u,v,-1)+t(1,0,0) , rv =-t2v(u,v,-1)+t(0,1,0),

3、=-t2(tu,tv,t(u2 v2) -1) = -t2(tu,tv,1 -t) = -t2r = 0.因此W = /(u,v)給出了 S2 N的正則參數(shù)表示.(2)令q=(u,v,0)是S, p兩點(diǎn)連線與赤道平面的交點(diǎn).同理，有OP-._ 2= tOq +(1 t )OS =(t u,t v,t 1), t =2/(u+ v2 +1),r =(x,y,z)=2uc, 2 22v1 - u - v-2, 22, -22v 1 u v 1 u v 1I，(u,v)WR2.rU =-r2u(u,v,1)+f(1,o,o),2rv = -1 v(u,v,1) + t (0,1,0),(5)=t-2

4、 (t- u ,tv,1 - t"(u2 v2) = r2(t- u,t v ,t _1)=f2,=0.因此(4)給出了 S2 S的正則參數(shù)表示.(3)由(2)和(4)式可得(u2 +v2)(u2 +v2) =1 ,從而上面兩種正則參數(shù)表示在公共部分S2 N,S上的參數(shù)變換公式為(6)由(3)和(5)可知u = -22 ， V = -22 .u V u V：(u,V)= _12_f(u,V)t2222(u V 1)：二0.：(u,V)-:(u,V)V2 -u2(u2否_2uv-V272uv(uWV2 .u2(uV2)71/ 22.2)0，(u V )2 22222 2(u V 1)

5、(u V )所以參數(shù)變換是可允許的，并且是改變定向的參數(shù)變換.注.如果采用復(fù)坐標(biāo)，令z = u + i v,w =u-i V ,則上面的參數(shù)變換可寫成 w = 1/z. 這就是廣義復(fù)平面上的共形變換.(4)在S2 N上采用(1)式給出的正則參數(shù)表示，在S2 S上采用正則參數(shù)表示 則在公共部分的參數(shù)變換公式為 由于化2 N, S2 S 構(gòu)成S2的開覆蓋，并且所以S2是可定向的.2225寫出單葉雙曲面餐 a b c22=1和雙曲拋物面2z=-A作為直紋面的參數(shù)方程.a2 b2解.(1)對(duì)單葉雙曲面，取腰橢圓a(u) = (acosu,bsinu,0) , u0,2n)為準(zhǔn)線.設(shè)直母線的方向向量為t

6、(u) =(aX(u),bY(u),cZ(u).則直紋面的參數(shù)方程為 汽u,v) =a(u) vl (u) = a(cosu vX (u), b(sin u vY(u), cvZ(u).由于&u,v)的分量滿足單葉雙曲面的方程，可得(cosu +vX(u)2 +(sin u +vY(u)2 -(vZ(u)2 =1 , Vv= R .由v得任意性得到 -22_ 2cosuX(u)+sinuY(u) =0 , X (u)+Y (u)=Z (u).因止匕 X(u): Y(u): Z(u) = 一sinu : cosu : ±1 .取t(u) =( 一asinu, bcosu,c )

7、得r (u,v) = (a(cosu - vsin u), b(sin u +vcosu), cv ), (u,v產(chǎn)(0,2見(jiàn))- R .(2)對(duì)雙曲拋物面，令x=a(u+v), y = b(u-v),則z = 2uv.曲面的參數(shù)方程為 2= (au,bu,0)+v(a,-b,2u) = (av,bv,0) +u(a,b,2 v) , (u,v) R .p. 94 習(xí)題 3.21.證明：一個(gè)正則參數(shù)曲面S是球面u它的所有法線都經(jīng)過(guò)一個(gè)固定點(diǎn).證明.«n ”設(shè)s是球面，參數(shù)方程為r3,v),球心為a,半徑為r.則有(r(u,v) -a)2 =R2, Vu,ve D .(1).ru(r

8、-a) = 0 , rt(r-a) =0.所以(F-a)/ru父rj,從而卜-曇=憂父目，即有函數(shù)九=?“u,v)使得a J(u,v) 一，(u,v)»(u,v) ，v(u,v).(3)這說(shuō)明球心a在它的所有法線上.設(shè)S的所有法線都經(jīng)過(guò)一個(gè)固定點(diǎn) a .則有函數(shù)九=Mu,v)使得式成 立，即有 1=內(nèi)匕分別用匕工作內(nèi)積，可得 .這說(shuō)明d(r-a)2=o,從而(i) 式成立，其中R>0(否則S只是一個(gè)點(diǎn)，不是正則曲面 )是常數(shù).因此S是以a為球 心，以R為半徑的球面，或球面的一部分.3.證明：一個(gè)正則參數(shù)曲面S是旋轉(zhuǎn)面之它的所有法線都與一條固定直線相交.證明.“口 ”設(shè)S是旋轉(zhuǎn)面

9、，旋轉(zhuǎn)軸L為z軸.它的參數(shù)方程為r(u,v) =( f (v)cosu, f (v)sin u,g(v), (f (v) >0).因?yàn)?= f (v)(-sinu,cosu,0 ), !v =( f '(v)cosu, f '(v)sin u, g'(v) E 父匕=f (v)(g'(v)cosu,g'(v)sinu,-f'(v),所以S上任意一點(diǎn)*(u,v)處的法線N的參數(shù)方程為X(t) =W(u,v) t，(u,v) rv(u,v).由于z軸的參數(shù)方程為Y(s) =s(0,0,1) =sk ,并且f (v)cosu f (v)sin u

10、 g(v)(r,，!v,k )= f (v) g'(v)cosu g'(v)sinu fv)=0,001所以L與N共面.如果L與N處處平行，則(吃4)/E ,從而g'(v) = 0.此時(shí)S是垂直于z 軸的平面z=g(v)=c.所以當(dāng)S不是垂直于z軸的平面時(shí)，旋轉(zhuǎn)面S的所有法線都與z 軸相交.“u”通過(guò)選取坐標(biāo)系，不妨設(shè)固定直線為 z軸.設(shè)S的參數(shù)方程為巾(u,v) =(x(u,v), y(u,v),z(u,v) , (u,v)w D .由條件，S的所有法線都與z軸相交，所以法線不能與z軸平行，即X(0,0,1), V(u0,v0)- D .r 二：(y,z)：(x,z)

11、 F(x,y)因此需f(x,z)(U0,V0)'：(u，v)v .：(u,v)' ：(u,v)' ：(u,v) (u°,v°)不能全為零.不妨設(shè)在(Uo,Vo)點(diǎn)鄰近 山巨。0.通過(guò)參(u,v)(Uo ,V0)數(shù)變換，曲面的參數(shù)方程可以寫成H(u,v) =(x(u,v),u,v) , (u,v)W D .于是u =(Xu,1,0),rv =3,0,1),u T/ - 1, _xu , _xv .因?yàn)樗蟹ň€都與z軸相交, 僅僅依賴于v的函數(shù).設(shè)I I(r,ru Mrt,k )三 0,即有 xxu +u = 0.這說(shuō)明x2 + u2是一個(gè)222S的參數(shù)

12、方程x +u = f (v), 其中f(v)>0.作參數(shù)變換u = f (v)cos ,v= v.由上式得x = f (v)sin 6 ,(1)可以改寫為r(-,v) = (f (v)sin -, f (v)cos - ,v).這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)面，由yOz平面上的母線y = f (z)繞z軸旋轉(zhuǎn)而得.5.設(shè)S是圓錐面刊=(vcosu, vsin u,v) , C : u = V2t, v = e,是S上的一條曲線.(1)將曲線C的切向量用匕吊的線性組合表示出來(lái)；(2)證明：C的切向量平分了匕和匕的夾角.(1)解.C的參數(shù)方程為= etcos(- 2t),etsin(.2t),et =8 co

13、s(、,2t),sin(、.2t),1 .C的切向量為 (2)證明.因?yàn)閡,sin u,1),，=(-vsin u,vcosu,0),匕=(cos在曲線C上每一點(diǎn)t處，rj(t,et) =6 (-sin(V2t),cos(V2t),0 ), rv(Z2t,et) =(cos(/2t),sin(V2t),1 ).由上可知*=28.所以cos (F；E)=r匕“2e2t2t=, N (+, t)=，；,248"(出名"會(huì)“2et222uv - a2，222uv a所以F從而_2_2I =Edu2 Gdv24a2(u2 v2 a2)222(du dv ).p. 104 習(xí)題 3.

14、32.設(shè)球面的參數(shù)方程是, _ 2au2avu2 v2 a2, u2 v2 a求它的第一基本形式.解.記 t =2/(u2 +v2 +a2).則2,2F = at(u,v, a)+(0,0,1) , %=ut , tv = -vt ,匕=a%(u,v,a)+at(1,0,0),匕=atv(u,v,a)+at(0,1,0).4a2(u2 v2 a2)2E =(, ) =a2tu2(u2 +v2 +a2) +2a2ttuu +a2t2 =a2t2 = =+ "v =2a ut(vt2 u 2 v 2 a 2 % t tY va0t u一 向 22, 2 , 2222, ,2,22, 24

15、aG =rv=atv(u v a ) 2attvva t = a t= -222T，(u2 v2 a2)25.設(shè)在曲面上一點(diǎn)(u,v),由微分du,dv的二次方程P(u,v)du2 2Q(u,v)dudv R(u,v)dv2 =0(1)確定了在該點(diǎn)的兩個(gè)切方向.證明：這兩個(gè)切方向彼此正交之函數(shù)P,Q,R滿足ER -2FQ +GP =0 ,其中E,F,G是曲面的第一基本形式.證明.由條件，二次方程(1)有兩個(gè)互異的實(shí)根du: dv和su：sv ,因此可以分解為 兩個(gè)一次因子的乘積：22Pdu 2Qdudv Rdv =(Adu B1dv)(A2du B2dv).(2)其中A,Bi,A2,B2是關(guān)于

16、變量(u,v)的函數(shù).因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于文字du,dv的二次多項(xiàng)式， 比較兩邊的系數(shù)，得P = AA2, 2Q =A1B2 + A2B1 , R = B1B2.(3)由(2)可知(1)所確定兩個(gè)切方向?yàn)閐u : dv = B1 : A , 6 u : 6v = -B2: A2.(4)這兩個(gè)切方向彼此正交u Eduu 十F(du6v+dv6u)+Gdv6v =0(課本(3.18)u EB 6 - F B A A)B+ G1A2A(由(4)式)u ER 2FQ +GP =0.(由(3)式)口8.已知曲面的第一基本形式為I =du2 + (u2+a2)dv2.(1)求曲線C1 :u+v=0與C2 :u-

17、v = 0的交角；(2)求曲線Ci : u = av2 , C2 :u = -av2和C3: v =1所圍成的曲邊三角形的各個(gè)邊長(zhǎng) 和各個(gè)內(nèi)角.(3)求曲線C1：u=av, C2: u =-av和C3 :v = 1所圍成的曲邊三角形的面積.du u a2dv vcos_(dA、F)=1 - a2=±1a2解.(1)已知E =1,F =0,G = u2+a2 .因?yàn)榻稽c(diǎn)為(u,v)=(0, 0).在交點(diǎn)處 G = 對(duì)于C1, du = -dv;對(duì)于C2, 6u = 6v.所以它們白切方向dF,6+滿足 d巾16 rl Jdu2 +a2dv2&u2 +a26v21 - a2a2

18、-1于是 匕們的父角為 arccos2 , 或 arccos-21 a2a2 1(2)不妨設(shè)常數(shù)a>0.如圖，在曲紋坐標(biāo)下，&與C2的交點(diǎn)為0(0,0) , &與C3的交點(diǎn)為A(a,1) , C2與C3的交點(diǎn)為B(-a,1).因?yàn)槭怯?jì)算內(nèi)角，在。點(diǎn)du =2avdv =0, dv >0 .同理，6u = 0, 6v>0 ,所以內(nèi)角 0 -0.在 A點(diǎn) du =2avdv = 2adv <0 , 6u <0, 6V =0,所以_ dF 石 F du u_ 2d削、F, du2 (u2 a2)dv2、u26在 B 點(diǎn) du = -2avdv = -2a

19、dv >0 , &u a 0, 6v = 0 ,cosB - dF 萬(wàn)Fdu'u 2dF"、Rvdu2 (u2 a2)dv2、u26所以 /。=0, /A =NB =accos_2/3 .曲線C1, C2, C3的弧長(zhǎng)分別為L(zhǎng)(C1)二.Jdu2 +(u2 +a2)dv2 =aj°，4v2 +v4 +1dv=L(C2),_ aL(C3) =du (u a )dv du = 2a.C3-a注.在 90 版中,本題為 Ci : u = 5 v2 , C2 : u =-彳 v2 , C3 : v = 1 ,故11L(C1) = Q Jdu2 +(u2 +a2

20、)dv2 =a Jv2 +1v4 +1dv =j J。(2 +v2)dv = 6a = L(C2),L(C3)='. du2 (u2 a2)dv2 = j/2du 二a .(3)因?yàn)閐cr ="u2 +a2dudv ,所以曲邊三角形的面積p. 110 習(xí)題 3.41 .設(shè)空間曲線r=*(s)以弧長(zhǎng)s為參數(shù)，曲率是k.寫出它的切線曲面的參數(shù)方程，使 得相應(yīng)的參數(shù)曲線構(gòu)成正交曲線網(wǎng).解.設(shè)曲線*(s)的Frenet標(biāo)架是5#,代為.則它的切線曲面參數(shù)方程可寫為,R(s,t) =F(s) Y(s).由RsA+區(qū)民Rt =&可得它的第一基本形式I =(1 t2, 2 (s)d

21、s2 2dsdt dt2.(1)直母線(即t -曲線)6s = 0的正交軌線的微分方程為ds + dt=0,即d(s + t) = 0.為此，作參數(shù)變換u=s, v=s + t.則逆變換為s = u，t = vu,切線曲面的參數(shù)方程為R(u,v)=(u) (v-u)(u).在新參g下，.Ru(u,v) =4u) d(u)+(vu)M(u)f(u)=(vu)K(u)B(u) , Rv(u,v)，(u).第一基本形式化為2222I = (v -u) (u)du dv .所以參數(shù)曲線構(gòu)成正交曲線網(wǎng).也可將$ = 口，t=v-u直接代入(1)式得到上式：22222222I =1 (v -u) , (u

22、)du 2du(dv - du) , (dv -du) =(v-u) ' (u)du dv .3.求曲線= (vcosu - ksin u ,v sinu+k cosu ku的參數(shù)曲線的正交軌線，其中 k>0是 常數(shù).解.ri =(-vsin u -kcosu,vcosu -ksin u,k) , E =(cosu,sin u,0).第一基本形式為2_222I =(v 2k )du -kdudv dv .u -曲線&v =0的正交軌線的微分方程為Edu + Fdv = 0 ,即(v2 + 2k2)du - kdv = 0 .解這個(gè)微分方程：kdv 11v 11, vdu

23、= -22 =2 dl = d arctan 廣 ,v2 +2k2 也(忘 j+1 lV2kJV2kJ得到u -曲線的過(guò)(u0,v0)的正交軌線為v =、2k tan 2(u -u0) v0.v-曲線每u =0的正交軌線的微分方程為Fdu+Gdv = 0,即kdu=dv.過(guò)(u0,v0)的正交軌線為v = k(u -u0) , v0.p. 110 習(xí)題 3.51 .證明：在懸鏈面R = (acoshtcosB,acosht sindat) , (t,8) w R 父(0,2n )與正螺面# = (vcosu,vsinu,au) , (u,v) w (0,2n ) x r之間存在保長(zhǎng)對(duì)應(yīng).證明.

24、懸鏈面的第一基本形式為=a2 cosh2 t(dt2 di2).正螺面的第一基本形式為/ 222 J dV y 1=(a +v ) du +-r= I .iva7j對(duì)正螺面作參數(shù)變換，令 u = 6,v=asinht.則 ," =-a cosht = 0 ,參數(shù)變換是可允 ：(t。許的.由于du=d日，dv = acoshtdt =aJ +sinh2tdt = Ja2 +v2dt,正螺面的第一基本形式化為I2 =(a2 +v2) du2 + f dv 1= a2cosh2t(dB2 + dt2) = I1.一需F根據(jù)定理5.3,在懸鏈面與正螺面之間存在保長(zhǎng)對(duì)應(yīng).對(duì)應(yīng)關(guān)系式為u =6,

25、 v = asinht.p. 110 習(xí)題 3.51 .判斷下列曲面中哪些是可展曲面？說(shuō)明理由.(1) F = (u2+g2u3+uv,u4 + 號(hào))； 3 3(2) F = (cosv -(u +v)sin v,sin v + (u +v)cos v,u +2v );(3) F =(a(u+v), b(uv),2uv );(4) F =(ucosv,usinv,sin 2v ).解.3=(u2,2u3,u4)十制1,3u,2u2尸如+整.所以它是可展曲面，因?yàn)樗钦齽t曲線 a)=(u2,2u3,u4 )(u #0)的切線面.(2) r'=(cosv,sin v, v )+(u +v)

26、(-sin v,cosv,1 )=a(v) + ua r(v),其中百") =(cosv,sin v,v )是圓柱螺線，u=u+v.所以它是可展曲面.(3)令.a(u) =(au,bu,0 ), l (u) =(a, -b,2u ).則 K=a(u)+vf(u),直接計(jì)算得(a(u)(u)+(u)=-2ab.當(dāng)ab#0時(shí)，它是馬鞍面，(a(u)f(u),)u)*0,所以不是可展曲面.當(dāng)a=0或b=0時(shí)，它是平面，所以是可展曲面.當(dāng)a=0且b=0時(shí)，它不是正則曲面.(4)令 a(v) =(0,0,sin 2v), F(v) =(cosv,sin v,0 )則 * =8(v) + uf(v).由于(a£M = 2cos2v#0,它不是可展曲面.32.考慮雙參數(shù)直線族x=uz+v, y=vz十匕，其中u,v是直線族的參數(shù).3(1)求參數(shù)u和v之間的關(guān)系，使得由此得到的單參數(shù)直線族是一個(gè)可展曲面的直母線 族；(2)確定相應(yīng)的可展曲面的類型解.(1)對(duì)于固定的參數(shù)u,v,該雙參數(shù)直線族中的一條直線L(u,v)可以寫成點(diǎn)向,3 ,x -v y -(u /3) zL(u,v):=-.u v 1設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系為的直紋面S的方程為于是S是可展曲面uv = f (u).則得到一個(gè)單參數(shù)直線族Lu = L(u, f (u),