2、離散與連續(xù)的關系

1、2、離散與連續(xù)的絕對性與相對性連續(xù)和離散是矛盾的兩個方面，也是相對性與絕對性的統一，它們也具有統一性的一面，從某一個方面考察是連續(xù)的量，從另一個方面考察是離散的。我們稱之為離散與連續(xù)的相對性與絕對性原理。所謂連續(xù)統，在物理學中可以設想成為不考慮位置和速度的離散存在質點的統計集合，即統計連續(xù)化的結果，也可以設想成為實際上不是由離散存在的成分所組成的，確實是整體連續(xù)的介質。所謂力學模型就是相對于確定的計算系統以一定的速度和位置出現的，離散存在的物體。在物理學中我們運用空間的連續(xù)圖景，場的連續(xù)圖景或是那種假設的連續(xù)介質的圖景，在此圖景中不研究離散存在的成份，并且忽略其坐標和速度，即不考慮那些只在涉及

2、到參照系的選擇才有意義的量。但是力學的概念仍然同時出現在物理學中。在力學中除去空間中物體處所的相對概念之外也有另外一些不必指明參考系統也仍舊有意義的概念。首先就是那種連續(xù)的背景，所謂被個體化的物體就是用這種背景襯托出來的。牛頓認為加速度就是相對于這個背景而言的，并且認為它就是絕對空間。以劃分出各物體及其運動為開始的，對宇宙的科學的認識，對于失去確定參照物支持的，當作盛放物體的空的容器的空間仍舊保持那種不可分割的但又不加以明確的概念。在劃分出一個個物體之后，那種不可分割的“剩余物”，對牛頓來說似乎是力學規(guī)律所必備的前提。笛卡爾用前所未有的徹底性否定任何一種質的差異，同時又把空間和物質看成是同一個

3、東西，而且又要把他所謂的到處遍布的空間物質和恰好占據其位置但又被視為同一的單個物體加以對照。這樣一來笛卡爾就很難說清楚到底用什么辦法把物體同包圍它的介質區(qū)分開來。把物體客體個體化的問題是笛卡爾物理學的障礙。這個障礙由于使用笛卡爾的相對主義的運動概念而被迥避。所謂物體在“真正的意義”上的運動是指相對于緊貼著它的另處的物而發(fā)生運動，并且就是用這種運動來對它們加以區(qū)分。當然，問題故然被迥避，但沒有得到解決。然而一旦否定物質和空間的差異則相對其它物體運動的概念就變得沒有任何內容了。笛卡爾的相對論無法解決機械論的自然科學的根本問題，即離散存在物的物體個體化的問題，因此它也就不會在歷史上成為原子論的基礎。

4、連續(xù)統的觀念可以說是十七、十八世紀科學中的一種孤立的觀念，本質上其主要內容是和離散存在的物體及其坐標、速度、加速度有關的力學理論體系。連續(xù)統是力學的終極概念之一。在這里那種不可分割的存在，即所謂背景依然保持不變。作為力學主要對象的，離散存在的物體正是在這樣的背景上被襯托出來。在這里也可以尋求力的動理學的答案。那些十七、十八世紀的理論家們在思索運用于力學終極概念的意義的時候，其思想大多集中于連續(xù)統的問題。連續(xù)統學說和離散存在物體的力學相比較在風格上完全是另外一種情況。這種學說具有更多的自然哲學的特性。由于這里沒有參數化的基礎，即坐標表象，所以數學也就不會滲透到它里面去了。這樣一來，離散存在物體的

5、運動規(guī)律就成為力學的基本內容，連續(xù)統則起著終極概念的作用。力學所要回答的問題是質點為什么會在一定的時刻處于空間一定的點上。當已知作用于質點上的力，即知道力場，根據運動方程就可以發(fā)現質點正好就處于那個點上。場方程超出了力學范圍，力學把場認為是已知的，且和所論物體無關。由此就得到運動方程和場方程的線性特征。在第一種情況我們假定場是給定的，與所論質點的運動無關，第二種情況是假定質點（即場源）是給定的，并且同場無關。所謂“連續(xù)統”，形象的說法就類似“物質無限可分”或“層次無限可分”。自公元前六世紀古希臘的學者畢達哥拉斯，猜想數學中存在不可分割的連續(xù)統開始，在隨后的幾百年間，也受到德謨克利特、柏拉圖等一

6、些數學和物理學家的關注，但一直未獲得嚴格論證。而現已65歲的天津師范大學數學系黃乘規(guī)教授，歷經二十幾年的苦心研究，卻不僅把這2500年來的猜想解析成功，而且提出了可以應用的數學模式。據黃教授講，他目前為止運用外的非標準分析學，已經解決8個數學問題；不可分割的連續(xù)統的存在性只是其中之一，它還能解決古代莊周的“無厚不可積”、“萬世不竭”兩個猜想，近代數學的“實數集的測度為零”等三個問題及古希臘先哲的另外兩個猜想。黃乘規(guī)教授的科研成果受到美國數學評論，在頭版頭條加以評介。英國倫敦數學研究所聘請黃乘規(guī)為該所榮譽博士。中科院數學研究所顧問、大連理工學院數學所名譽所長徐利治稱，這一理論從邏輯上精確地論證了

7、“連續(xù)統”的真正連續(xù)性，是數學基本理論上的重大建樹，給現代物理科學提供了新的有效工具。25年前黃乘規(guī)研究外的非標準分析，1972年，他解決了“stvenant原理的一個反例”，這是150年無人攻克的難題，成為他研究外的非標準分析的動力，也成為他能解開數學中不可分割的連續(xù)統的原因。在哲學上批評遠作用的時候，場的數學理論也為近作用原理廓清了道路。對數學理論的探討導出了形式的，連續(xù)化的世界圖景。從經典電動力學的角度出發(fā)，認為電磁場是一種連續(xù)介質，而從量子力學出發(fā)，則認為電磁場是由量子構成的。量子力學是一種非決定論力學的統計理論，而經典電動力學則是一種決定論物理學。愛因斯坦在物理學進化中說：“假如我們

8、要用一句話來表明量子論的基本觀念，我們可以這樣說：必須假定某些以前被認為是連續(xù)的物理量是由基本量子所組成的”，這句話至今仍是是對科學發(fā)展史上有名的“量子論”的最好的說明。這個量子論就是以1900年，普朗克提出的“作用量子”假說開始的。愛因斯坦一直把量子理論稱作是對物質“連續(xù)性和不連續(xù)性”的探討。從這點上來說，早期量子理論的提出有巨大的科學意義，直到現在它還閃耀著科學思維的光芒。我們對于“連續(xù)和不連續(xù)”這個大自然現象中的基本的理念進行的探索是永無止境的。它是自然科學和人類思維中的一個古老的同時又是最基本、最深刻的理念；它也是一個至今被沒有邏輯的虛假理論所占據著的一個最重要的也是最混亂的思維領域。

9、人類思維是以數字為基礎的，對于數字的連續(xù)性問題的邏輯研究是思維發(fā)展的一個根本性的問題，從對于無限小的邏輯開始，人們進入對于無限大的邏輯探討，都取得了一定的成果；但是對于離散數字的邏輯，恰是一直停留在四百多年前的一個猜想的禁錮之中，一個還沒有進入到現代邏輯思維的領域。1777年，拉格朗日在引力論中引入了勢的概念，引力就是由勢的梯度所決定。不久，到1782年拉普拉斯指出牛頓的引力定律等價于有引力勢。出現的方程，且方程取下列形式：Gi十Gr十公一r一0dxdydz函數對三個坐標軸的二階導數之和通常用符號*來表示，這符號叫作拉普拉斯算符。于是拉普拉斯方程就可改寫為以下形式：這個方程描述了重物外面空間中

10、的引力場。為描述物體自身中的引力場就需要把拉普拉斯方程加以推廣。這一工作是泊松在1812年完成的。在一般情況下，對坐標的二階導數之和已不再為零，泊松方程具有以下形式：Ap=4重這里P是質量密度。這樣，引力論就達到了二階連續(xù)化。原先，力在形式上被分布于空間中的某一個量所代替，而這個量也只是用來確定通過真空中的作用力的一個輔助的概念。在泊松方程中既然出現了總的說來是在空間中連續(xù)分布的重物的密度，此時這個量就不再是遠作用的理論的一種輔助的數學符號，而是質量連續(xù)分布的某種物理圖景了。泊松把勢的概念運用于靜電現象。后來到1828年，格林利用勢的概念導出了靜電學和靜磁學的許多關系。在引力定律和庫侖所建立的

11、電荷和磁極的吸引定律之間的一致性也促成這種總結。到1839年發(fā)表了高斯的著作，當時可以說在一定程度上勢論是完成了。對于場，在實驗上，宏觀上是連續(xù)的；微觀上是連續(xù)過渡到離散。離散數學是數學的幾個分支的總稱，以研究離散量的結構和相互間的關系為主要目標，其研究對象一般地是有限個或可數無窮個元素因此它充分描述了計算機科學離散性的特點，內容包含：數理邏輯、集合論、代數結構、圖論、組合學、數論等。根據離散與連續(xù)的相對性與絕對性原理可知，必須假定某些以前認為是連續(xù)的物理量是由基本量子組成的，例如容器中氣體在宏觀上施與器壁的壓強是大量氣體分子對器壁不斷碰撞的結果。無規(guī)則運動的氣體分子不斷地與器壁相碰，就某一個分子來說，它對器壁的碰撞是離散的，而且它每次給器壁多大的沖量，碰在什么地方都是偶然的。但是對大量分子整體來說，每一時刻都有許多分子與器壁相碰，所以在宏觀上就表現出一個恒定的、持續(xù)的壓力。這和雨點打在雨傘上的情形很相似，一個個雨點打在雨傘上是離散的，大量密集的雨點打在傘上就使我們感受到一個持續(xù)的向下的壓力。電影片的播放是離散的，但是在觀眾看來是連續(xù)播放的。在實數集中考察自然數集是離散的，但是在整數集中考察自然數集是連續(xù)的；光子的頻率是離散的，但是在光譜學中可以認為是連續(xù)的；引力質量從基本粒子的角度分析是離散的，但是根據相對論物體的運動狀態(tài)可