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文檔簡(jiǎn)介

1、行程問題一一環(huán)形路(教師版)一、【本講知識(shí)點(diǎn)】在環(huán)行道路上的行程問題本質(zhì)上講是追及問題或相遇問題。 當(dāng)二人(或物)同向運(yùn)動(dòng)就 是追及問題,追及距離是二人初始距離及環(huán)形道路之長(zhǎng)的倍數(shù)之和;當(dāng)二人(或物)反向運(yùn)動(dòng)時(shí)就是相遇問題,相遇距離是二人從出發(fā)到相遇所行路程和。二、【本講經(jīng)典例題】【鋪墊】如下圖,兩名運(yùn)動(dòng)員在沿湖周長(zhǎng)為 2250米的環(huán)形跑道上練習(xí)長(zhǎng)跑。甲每分鐘跑250米,乙每分鐘跑200米。兩人同時(shí)同地同向出發(fā),多少分鐘后甲第1次追上乙?若兩人同時(shí)同地反向出發(fā),多少分鐘后甲、乙第1次相遇?分析與解答:2250+ ( 250-200 ) =2250+50=45 (分鐘),即45分鐘后甲第1次追上

2、乙;2250+ (250+200) =2250+450=5 (分鐘),即5分鐘后甲、乙第 1次相遇.【例1】如下圖,兩名運(yùn)動(dòng)員在沿湖的環(huán)形跑道上練習(xí)長(zhǎng)跑。甲每分鐘跑250米,乙每分鐘跑200米。兩人同時(shí)同地同向出發(fā),45分鐘后甲追上了乙。如果兩人同時(shí)同地反向而跑,經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇?蜀。米/分分析與解答:根據(jù)圖(1)用追及問題公式求出環(huán)形跑道的長(zhǎng),因從同一點(diǎn)出發(fā),距離差 (250-200 ) X 45=2250 (米)。同理,在環(huán)形跑道上,若反向而行,從同一點(diǎn)出發(fā)兩人相遇所經(jīng)過的路程和 如圖( 2), 2250+ ( 250+200) =5 (分鐘)即經(jīng)過 5分鐘兩人相遇?!倦S堂練習(xí)1】如

3、下圖,兩名運(yùn)動(dòng)員在沿湖的環(huán)形跑道上練習(xí)長(zhǎng)跑。甲每分鐘跑=跑道長(zhǎng)。=跑道長(zhǎng)。250米,乙每分鐘跑200米。兩人同時(shí)同地同向出發(fā), 跑,經(jīng)過多少分鐘后兩人相遇?54分鐘后甲追上乙。如果兩人同時(shí)同地反向而200米,分分析與解答:具體分析見例題。環(huán)形跑道周長(zhǎng):(250-200 ) X 54=2700 (米),兩人相遇時(shí)間:2700+ ( 250+200) =2700+450=6 (分鐘), 即經(jīng)過6分鐘后兩人相遇?!就卣埂考?、乙兩運(yùn)動(dòng)員在周長(zhǎng)為 400米環(huán)形跑道上同向競(jìng)走, 已知乙的平均速度是每分鐘 80米,甲的平均速度是乙的 1.25倍,甲在乙前面100米處。問幾分鐘后,甲第一次追上乙? 分析與解答

4、:具體分析過程略。15分鐘?!句亯|】下圖是一個(gè)圓形中央花園,A、B是直徑的兩端,小軍在 A點(diǎn),小勇在B點(diǎn),同時(shí)出發(fā)相向而行。他倆第 1次相遇時(shí),小軍走了 50米,當(dāng)他們第2次相遇時(shí),小軍走了多少 米?分析與解答:第1次相遇,倆人合起來(lái)走了半周長(zhǎng),從 1次相遇開始到第2次相遇兩人共走了一周長(zhǎng),兩次共走了一周半。 所以,小軍從開始到第2次相遇走了 50米的3倍,即走了 50X3=150 (米)?!纠?】如下圖,是一個(gè)圓形中央花園, A、B是直徑的兩端,小軍在 A點(diǎn),小勇在B點(diǎn), 同時(shí)出發(fā)相向而行。他倆第 1次在C點(diǎn)相遇,C點(diǎn)離A點(diǎn)有50米;第二次在D點(diǎn)相遇,D 離B有30米。問這個(gè)花園一周長(zhǎng)多少米

5、?分析與解答:第1次相遇,倆人合起來(lái)走了半周長(zhǎng),從 C點(diǎn)開始第2次在D點(diǎn)相遇兩人共 走了一周長(zhǎng),兩次共走了一周半。小軍從A O D走了 50米的3倍,即走了 50X 3=150(米)。 去掉BD之間的距離,就是半個(gè)圓周的長(zhǎng),所以一周的長(zhǎng)度為(150-30) X 2=240 (米)?!倦S堂練習(xí)2】如下圖,A、B是圓直徑的兩端點(diǎn),亮亮在點(diǎn)A,明明在點(diǎn)B,相向而行。他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇,C點(diǎn)離A點(diǎn)100米;在D點(diǎn)第二次相遇,D點(diǎn)離B點(diǎn)80米。求 圓的周長(zhǎng)。BHU米分析與解答:具體分析過程見例題。440米?!就卣埂咳缦聢D,在一圓形跑道上。小明從 A點(diǎn),小強(qiáng)從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā),相向行走。6分鐘后,小明與小強(qiáng)

6、相遇,再過 4分鐘,小明到達(dá) B點(diǎn),又再過8分鐘,小明與小強(qiáng)再次相分析與解答:這是一個(gè)相遇問題,因?yàn)閮扇?分鐘相遇,且再過 4分鐘小明到達(dá) B點(diǎn),所以,小明走 4分鐘的路程相當(dāng)于小強(qiáng)走 6分鐘的路程。從第一次相 遇到再相遇小明走了 4+8=12分鐘,當(dāng)然小強(qiáng)也走了 12分鐘,但他走的路程只相當(dāng)于小明 走8分鐘的路程,再次相遇,一定是兩人合走了一圈,因此小明走一圈需12+8=20分鐘?!句亯|】如下圖三個(gè)環(huán)形跑道相切排列,每個(gè)環(huán)形跑道周長(zhǎng)均為210厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā),甲爬蟲繞 1、2號(hào)環(huán)行跑道作“ 8”字型循環(huán)運(yùn)動(dòng), 乙爬蟲繞3、2號(hào)環(huán)行跑道作“ 8”字型循環(huán)運(yùn)

7、動(dòng),已知甲、乙兩只爬蟲的速度都是每分鐘17.5厘米。問:甲、乙兩只爬蟲多少分鐘后第 次相遇?分析與解答:由題意可知,甲、乙爬蟲第一次相遇走的距離是一周半,即210+210 + 2=315厘米。所以第一次相遇所用時(shí)間為315+ (17.5+17.5 ) =9 (分鐘)。【例3】如下圖三個(gè)環(huán)形跑道相切排列,每個(gè)環(huán)形跑道周長(zhǎng)均為210厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā),甲爬蟲繞1、2號(hào)環(huán)行跑道作“ 8”字型循環(huán)運(yùn)動(dòng),乙爬蟲繞3、2號(hào)環(huán)行跑道作“ 8”字型循環(huán)運(yùn)動(dòng),已知甲、乙兩只爬蟲的速度都是每分鐘 17.5厘米。問:甲、乙兩爬蟲多少分鐘后第二次相遇?分析與解答:解法一:由“鋪墊”

8、知,甲、乙兩爬蟲第次相遇用9分鐘。又知甲、乙兩爬蟲從第一次相遇到第二次相遇又走了一個(gè)圓周。所以第次相遇到第二次再相遇所用時(shí)間為:210+ (17.5+17.5 ) =210+35=6 (分鐘)。即甲、乙兩爬蟲用15 (9+6=15)分鐘后第二次相遇。解法二:因?yàn)榧住⒁覂膳老x的速度一樣,所以,甲、乙兩爬蟲第二次相遇時(shí),甲、乙爬5 一 5蟲分別爬了 一周,即210X =262.5厘米。262.5+ 17.5=15 (分鐘),即甲、乙兩爬蟲15分44鐘后第二次相遇。注:這種解法用到了小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘除法知識(shí),超出了五年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平?!倦S堂練習(xí)3如下圖,三個(gè)環(huán)形跑道相切排列。甲、乙兩只爬蟲分別從A、

9、B兩地按箭頭所示方向出發(fā),甲爬蟲繞 1、2號(hào)環(huán)行跑道作“ 8”字型循環(huán)運(yùn)動(dòng),乙爬蟲繞 3、2號(hào)環(huán)行跑 道作“8”字型循環(huán)運(yùn)動(dòng),已知甲、乙兩只爬蟲的速度都是每分鐘20厘米,甲、乙兩只爬蟲爬行20分鐘后第二次相遇,問每個(gè)環(huán)形跑道的周長(zhǎng)為多少厘米?分析與解答:甲、乙兩爬蟲第二次相遇總爬行的距離為:(20+20) X 20=800 (厘米)由題意及圖可知:甲、乙兩爬蟲第二次相遇時(shí),共爬行的距離為5個(gè)半周長(zhǎng)。所以每個(gè)環(huán)形跑道的周長(zhǎng)為:800+5X 2=320 (厘米)。【拓展】如下圖,三個(gè)環(huán)行跑道相切排列,每個(gè)環(huán)行跑道周長(zhǎng)均為210厘米。甲、乙兩只爬蟲分別從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā),甲爬蟲繞1、2號(hào)

10、環(huán)行跑道作“8”字型循環(huán)運(yùn)動(dòng),乙爬蟲繞3、2號(hào)環(huán)行跑道作“ 8”字型循環(huán)運(yùn)動(dòng),已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別是每分鐘20、15厘米。問甲、乙兩爬蟲第二次相遇時(shí),甲爬蟲爬了多少厘米? 分析與解答:具體分析過程略。300厘米。【鋪墊】 有一條長(zhǎng)500米的環(huán)形跑道,小軍從跑道上某一點(diǎn)出發(fā)逆時(shí)針跑步,他總共跑了5525米。問:小軍是在離起點(diǎn)多少米處停下來(lái)的?分析與解答: 因?yàn)?525+500=1125 (米),所以5525米相當(dāng)于11圈余25米,即小軍是 在離起點(diǎn)25米處停下來(lái)的。例4甲、乙從360米的環(huán)行跑道上的同一地點(diǎn)同向跑步。甲每分鐘跑305米,乙每分鐘跑275米。兩人起跑后,第一次相遇在離起點(diǎn)多

11、少米處?分析與解答:甲第一次追上乙需用時(shí)間 360+ ( 305-275 ) =360+30=12 (分),第一次相遇甲跑的路程 305X 12=3660 (米),3660米相當(dāng)于10圈60米(3660-360=10- -60),所以第一次相遇在離起點(diǎn)60米處?!倦S堂練習(xí)4甲、乙從1740米的環(huán)行跑道上的同一地點(diǎn)反向跑步。甲每分鐘跑 300米,乙每分鐘跑280米。兩人同時(shí)起跑后,第一次相遇在離起點(diǎn)多少米處?分析與解答: 甲、乙第一次相遇用時(shí)間1740+ ( 300+280) =1740+580=3 (分鐘),相遇時(shí)乙跑的路程 280X 3=840 (米)。(注:橢圓上兩點(diǎn)間的距離是短弧的長(zhǎng))所

12、以第一次相遇離 起點(diǎn)840米?!就卣埂咳缦聢D,沿著長(zhǎng)為 70米的正方形,按逆時(shí)針方向,甲從A出發(fā),每分鐘走65米,乙從B出發(fā),每分鐘走72米。當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)是在正方形的哪一條邊上?DB'C乙分析與解答:由題意可知,這是乙追甲的追及問題。因此甲在乙前方70X3=210米。乙第一次追上甲時(shí)用時(shí)間:210+ (72-65 ) =210+7=30(分鐘)。乙追上甲時(shí)形的路程:72 X 30=2160 (米)。2160= (4X 7+2) X 70+60 (米),即,乙走了 4圈后又跑了兩條邊 BG CD,在AD距D點(diǎn)60米處追上甲。故,乙第一次追上甲時(shí)是在AD邊上?!句亯|】甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員

13、的速度和是800米/分,速度差是100米/分,且已知甲運(yùn)動(dòng)員比乙運(yùn)動(dòng)員跑得快,問甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的速度各是多少?分析與解答:甲運(yùn)動(dòng)員的速度:(800+100) + 2=450米/分,乙運(yùn)動(dòng)員的速度:(800-100) + 2=350米/分。例5有一條長(zhǎng)500米的環(huán)行跑道。甲、乙兩人同時(shí)從跑道上某一點(diǎn)出發(fā),反向而跑,1分鐘后相遇;如果兩人同向而跑,則 10分鐘后相遇。已知甲跑的比乙快。問甲、乙兩人每分鐘各跑多少米?分析與解答:甲、乙的速度和為 500+ 1=500米/分。甲、乙的速度差為 500+ 10=50米/分, 所以甲的速度為(500+50) + 2=275米/分,乙的速度為 500-27

14、5=225米/分。【隨堂練習(xí)5有一條沿湖的環(huán)行跑道長(zhǎng)1120米。甲、乙兩人同時(shí)從跑道上某一點(diǎn)出發(fā),如果同向而跑,25分鐘相遇;如果兩人反向而跑則2分鐘后相遇。又已知乙比甲跑得快。問甲、乙每分鐘各跑多少米?分析與解答:甲、乙兩人的速度差 1120+28=40米/分,甲、乙兩人的速度和1120 + 2=560 米/分.又因?yàn)橐冶燃着艿每欤?,甲的速度:?60-40 ) + 2=260米/分;乙的速度:(560+40) + 2=300米/分.【拓展】一個(gè)圓的周長(zhǎng)90厘米,甲、乙兩只爬蟲從同一地點(diǎn)同時(shí)爬行,若反向而爬, 10分鐘后相遇;若同向而爬,90分鐘后相遇。又已知甲爬蟲比乙爬蟲爬得快。問甲、

15、乙兩爬蟲每秒鐘各爬多少米?分析與解答:具體分析過程見例題。甲爬蟲 5厘米/秒,乙爬蟲4厘米/秒?!句亯|】小明從A點(diǎn)出發(fā),沿400米環(huán)行跑道行走,每分鐘走80米,問小明第二次出現(xiàn)在A點(diǎn)時(shí)用多少分鐘?(不算起始時(shí)在A點(diǎn))分析與解答:小明第一次出現(xiàn)在 A點(diǎn)用時(shí)間:400+80=5 (分鐘),所以第二次出現(xiàn)在 A點(diǎn)用時(shí)間:5X2=10 (分鐘),【例6】甲、乙兩人同時(shí)從 A點(diǎn)反向出發(fā),沿 400米環(huán)行跑道行走,甲每分鐘走 80米,乙每分鐘走50米,這兩人至少用多少分鐘再在A點(diǎn)相遇?分析與解答:甲第一次出現(xiàn)在 A點(diǎn)用時(shí)間400+80=5 (分鐘),以后每隔5分鐘就會(huì)出現(xiàn)在A點(diǎn)一次;乙第一次出現(xiàn)在 A點(diǎn)用

16、時(shí)間400+50=8 (分鐘),以后每隔8分鐘就會(huì)出現(xiàn)在 A 點(diǎn)一次。如下表:湊L次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲出現(xiàn) 在A點(diǎn)時(shí) 間(分)5101522025303540乙出現(xiàn) 在A點(diǎn)時(shí) 間(分)81624340485664由上表可知,當(dāng)40分鐘時(shí),甲、乙同時(shí)第一次出現(xiàn)在A點(diǎn)。注:此題也可用最小公倍數(shù)的知識(shí)解答?!倦S堂練習(xí)6】有一條長(zhǎng)480米的環(huán)行跑道,甲、乙兩人同時(shí)從跑道上的 A點(diǎn)同向出發(fā)行走,甲每分鐘走60米,乙每分鐘走80米。這兩人至少用多少分鐘再在A點(diǎn)相遇?分析與解答:具體分析過程見例題。甲回到A點(diǎn)用的時(shí)間:480+60=8 (分鐘);乙回到A點(diǎn)用的時(shí)間:480 + 80

17、=6 (分鐘)。8和6的最小公倍數(shù)是 24.故,這兩個(gè)人至少 24分鐘用再在 A點(diǎn)相遇?!就卣埂坑屑?、乙、丙三個(gè)人,甲每分鐘走120米,乙每分鐘走100米,丙每分鐘走70米。如果三個(gè)人同時(shí)同向從同地出發(fā),沿周長(zhǎng)是300米的圓形跑道行走,那么多少分鐘后,三個(gè)人又可以相聚?分析與解答:設(shè)X分鐘后,三人又可以相聚。由題意知,甲、乙相聚時(shí),他們行走的路程差恰好是300米的整數(shù)倍,即(120 100) x X=300n ( n 是正整數(shù))類似的有(12070) x X=300m(m是正整數(shù))(10070) X X=300p (p 是正整數(shù))解得,X=15n;, X=6m, X=10p;要想三人再次相聚,

18、X必是15、6、10的公倍數(shù),取他們的最小公倍數(shù)15、 10、 6 =30即,30分鐘后三人再次相聚。【鋪墊】小紅在400米長(zhǎng)的環(huán)行跑道上跑了一圈,已知她前一半時(shí)間每秒跑4米,后一半時(shí)間每秒跑6米,那么小紅跑一圈需要多長(zhǎng)時(shí)間?分析與解答:小紅跑一圈所用時(shí)間的一半是400+ (4+6) =40 (秒),所以小紅跑一圈需要 40X 2=80 (秒)。【例7】 小明在 360 米長(zhǎng)的環(huán)行跑道上跑了一圈,已知他前一半時(shí)間每秒跑5 米,后一半時(shí)間每秒跑4 米,那么小明后一半路程用了多長(zhǎng)時(shí)間?分析與解答:小明前一半時(shí)間:360+ ( 5+4) =40 (秒),小明前一半時(shí)間跑的路程:5X40=200 (米

19、),小明后一半時(shí)間跑的路程:4X40=160 (米)。所以小明后一半路程的180米(360+2=180)中,前20米( 180-160=20)的速度是5米 /秒,剩余的160 米路程的速度是4 米 /秒。故小明后一半路程用的時(shí)間為20+5+160+4=4+40=44 (秒)?!倦S堂練習(xí)7】 一條環(huán)行跑道長(zhǎng)30 千米,一輛汽車沿著該跑道跑了一圈。已知該汽車前一半時(shí)間每分鐘跑2 千米; 后一半時(shí)間每分鐘跑1 千米,那么該汽車前一半路程用了多少分鐘?分析與解答:該汽車前一半時(shí)間30+ (2+1) =10 (分鐘),該汽車前一半時(shí)間跑的路程2X 10=20 (千米),該汽車后一半時(shí)間跑的路程1X10=

20、10 (千米),所以,該汽車前一半路程15千米(30+2=15)所用的速度都是 2千米/分。故,該汽車前一半路程用的時(shí)間為15+2=7.5 (分)?!就卣埂?繞湖一周30 千米, 小劉繞湖走了一周,已知他前一半的時(shí)間的速度是4 千米/小時(shí),后一半的時(shí)間的速度是6 千米/小時(shí),那么小張前一半路程用多少時(shí)間?分析與解答:具體分析見例題。3.5 小時(shí)?!句亯|】在周長(zhǎng)為200 米的圓形跑道上一條直徑的兩端,甲、乙兩人分別以6 米 /秒、5 米 /秒的速度同時(shí)同向出發(fā),沿跑道行進(jìn)。問:6 分鐘內(nèi),甲能否追上乙兩次?分析與解答:甲第一次追乙時(shí)相距:200 + 2=100 (米)。故,甲第一次追上乙用的時(shí)間

21、:100+ ( 6-5) =100 (秒);甲第二次追乙時(shí)相距:200 米。故,甲第二次追上乙用的時(shí)間:200 + ( 6-5) =200 (秒)。200+100=300秒=5分鐘 6分鐘。所以,6分鐘內(nèi),甲能追上乙兩次?!纠?】 在周長(zhǎng)為200 米的圓形跑道一條直徑的兩端,甲、乙兩人分別以6 米 /秒,5 米 /秒的速度同時(shí)同向出發(fā),沿跑道行駛。問:16 分鐘內(nèi),甲追上乙多少次?分析與解答:由“鋪墊”知,甲第 1 次追上乙所用的時(shí)間是100 秒。甲第二次追上乙所用的時(shí)間200+ ( 6-5) =200秒,且以后每隔 200秒追上一次。又, 16 分鐘 =960 秒,除去甲第1 次追上乙用去1

22、00 秒,剩余的時(shí)間內(nèi)甲又追上乙4 次(960-100 ) + 200=860+ 200=460。故, 16 分鐘內(nèi),甲追上乙5 次。【隨堂練習(xí)8】 在周長(zhǎng) 400 米的圓形跑道一條直徑的兩端,李明與王軍分別以4 米 /秒,5 米/秒的速度同時(shí)同向出發(fā)前行。問20 分鐘內(nèi),兩人相遇多少次?分析與解答:第1次相遇用的時(shí)間:400+2+ (5-4 ) =200秒;第2次相遇用的時(shí)間:400+ ( 5-4) =400秒,且以后每隔400秒相遇一次。又,20 分鐘=1200 秒,(1200-200 ) + 400=2 -200 秒。故, 20 分鐘內(nèi)兩人相遇了2+1=3次?!就卣埂吭?400 米環(huán)行跑道上,A、 B 兩點(diǎn)相距100 米。甲、乙兩人分別從A、 B 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),按逆時(shí)針方向跑步。 甲每秒跑5米,乙每秒跑4米。問30分鐘內(nèi),甲追上乙多少次? 分析與解答:甲第一次追上乙用的時(shí)間: 100+ ( 5-4) =100 (秒) 甲第二次追上乙

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