七數(shù)培優(yōu)競賽講座第講數(shù)軸數(shù)與形的第一次碰撞

1、第四講數(shù)軸一一數(shù)與形的第一次碰撞為了學好有理數(shù)的概念，使思維適應(yīng)數(shù)集的擴充，我們把現(xiàn)實生活中大量的有關(guān)模型，如直尺、杠桿、溫度計、儀表上的刻度，所具有的本質(zhì)屬性抽象化，建立起數(shù)軸模型.數(shù)軸的建立，賦予了抽象的代數(shù)概念以直觀表象.數(shù)學一開始就是研究“數(shù)”和“形”的，從古希臘時期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.數(shù)與形有著密切的聯(lián)系，我們常用代數(shù)的方法研究圖形問題；另一方面，也利用圖形來處理代數(shù)問題，這種數(shù)與形相互作用，是一種重要的數(shù)學思想一一數(shù)形結(jié)合思想.利用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段，數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的橋梁，主要體現(xiàn)在：1 .運用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)；2 .運用數(shù)軸形象

2、地解釋相反數(shù)；3 .運用數(shù)軸準確地比較有理數(shù)的大??；4 .運用數(shù)軸恰當?shù)亟鉀Q與絕對值有關(guān)聯(lián)的問題.例題【例1】（1）數(shù)軸上有A、B兩點，如果點A對應(yīng)的數(shù)是一2,且A、B兩點的距離為3,那么點D對應(yīng)的數(shù)是.（江蘇省競賽題）11（2）在數(shù)軸上，點A、B分別表示一和一，則線段AB的中點所表木的數(shù)35是.（江蘇省競賽題）思路點撥（1）確定B點的位置；（2）在數(shù)軸上選擇兩個特殊點，探索它們的中點所表示的數(shù)與所選兩點所表示的數(shù)的聯(lián)系.【例2】如圖，在數(shù)軸上有六個點，且AB=BC=CD=DE=EF,則與點C所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是（）.AHC辦£F-5HB.0ClD.2（?12屆“木里杯.遞班堇試

3、卷，思路點撥利用數(shù)軸提供的信息，求出AF的長度.1,【例3】比較a與一的大小.a思路點撥因為a表示的數(shù)有任意性，直接比較常會發(fā)生遺漏的現(xiàn)象，若把各個范圍在11數(shù)軸上表示出來，借助數(shù)軸討論它們的大小，則形象直觀，解題的關(guān)鍵是由a、,無意aa義得出a1,1,0,據(jù)此3個數(shù)把數(shù)軸分為6個部分.【例4】（1）閱讀下面材料并回答問題.28.（1）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b,A、B兩點之間的距離表示為IAB.當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1,|AB|=|OB|=|b|=|ab|當A、B兩點都不在原點時，如圖2,點A、B都在原點的右邊|AB|=|OB|OA|=|b

4、|a|=b-a=|ab|；如圖3,點A、B都在原點的左邊，b|;如圖4,點A、B在原點的兩邊，a)=|ab|;綜上，數(shù)軸上AB兩點之間的距離IAB|=|OB|OA|=|b|a|=ba=|aIAB|=|AB|=|aIOB|OA|=|b|a|=b-(一b|0A)圖I(2)回答下列問題:數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是,數(shù)軸上表示一2和一5的兩點之間的距離是,數(shù)軸上表示1和一3的兩點之間的距離是數(shù)軸上表示x和一1的兩點A和B之間的距離是，如果|AB|=2用么x為;當代數(shù)式Ix+1|十|x-2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是(2002年南京市中考題)注：有效地從圖形、圖表獲取信息是信息社會的基本要

5、求.從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問題的常用技巧，主要包括：(1)數(shù)軸上堵塞點所表示的數(shù)是正負性；(2)數(shù)軸上的點到原點的距離.(1)字母表示數(shù)是代數(shù)的特點，但字母具有抽象性，所以在條件允許的范圍內(nèi)賦予宇母以特殊值來計算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說的“賦值法”，但這種方法不能作為解題的規(guī)范過程.(2)純粹的代數(shù)的方法比較抽象，如能借助圖形(利用數(shù)形結(jié)合的思想方法)，則可使許多抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，甚至簡單化.(2)試求|x-1|十|x-2|+|x-3|+|x1997|的最小值.(天津市競賽題)思路點撥對于(1),閱讀理解從數(shù)軸上看，|ab|的意義；對

6、于(2)由于x的任意性、無限性，因此，通過逐個求出代數(shù)式的值解題明顯困難，不妨從絕對值的幾何意義，利用數(shù)軸入手，借助(1)的結(jié)論解題.【例5】(1)工作流水線上順次排列5個工彳臺A、B、C、D、E,一只工具箱應(yīng)該放在何處，才能使工作臺上操作機器的人取工具所走的路程最短？(2)如果工作臺由5個改為6個，那么工具箱應(yīng)如何放置能使6個操作機器的人取工具所走的路程之和最短？(3)當流水線上有n個工作臺時，怎樣放置工具箱最適宜？思路點撥把流水線看作數(shù)軸，工作臺、工具箱看作數(shù)軸上的點，這樣，就找到了解決本例的模型一一數(shù)軸，將問題轉(zhuǎn)化為例4的形式求解.學力訓練1 .在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離為3,則a

7、3=1112 .a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所不，則、中最大的是abcbac3 .有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，若mabb1ac1c，則,則1000m=.（“希望杯”邀請賽試題）4 .如圖，工作流程線上A、B、C、D處各有1名工人，且AB=BC=CD=1,現(xiàn)在工作流程線上安放一個工具箱，使4個人到工具箱的距離之和為最短，則工具箱的安放位置是_5 .有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡abcb|的結(jié)果為（）.A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c6 .如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且d2a=10,那么數(shù)軸

8、的原點應(yīng)是（）.A.A點B.B點C.C點D.D點（第15后江蘇省競賽題）7 .X1X1的最小值是（）.A.2B.0C.1D.一l8 .數(shù)a、b、c、d所對應(yīng)的點A、B、C、D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么ac與bd的大小關(guān)系是（）.A.ac<bdB.ac=bdC.ac>bdD.不確定的（江蘇省競賽題）9 .已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1,點A與原點。的距離為3.求所有滿足條件的點B與原點O的距離的和.（北京市“迎春杯”競賽題）10 .已知兩數(shù)a、b,如果a比b大，試判斷a與|b的大小.11 .有理數(shù)a、b滿足a0,b0,a|b,用“<”將a、b、a、b連接起來12

9、 .|x1x2x3的最小值是13 .已知數(shù)軸上表示負有理數(shù)m的點是點M,那么在數(shù)軸上與點M相距|m個單位的點中,與原點距離較遠的點對應(yīng)的數(shù)是.（山東省競賽題）14 .若a0,b0,則使|xaxbab成立的x取值范圍是（武漢市選拔賽題）15 .如圖，A、B、C、D、E為數(shù)軸上的五個點.且AB=BC=CD=DE,則圖中與P點表示的數(shù)比較接近的一個數(shù)是（）.A.lB.1C3D.5AIS（1）K-iu-Ht,（J（河南省競賽題）16 .設(shè)yx1x1,則下面四個結(jié)論中正確的是（）.a.y沒有最小值B.只有一個x使y取最小值C.有限個X（不止一個）y取最小值D.有無窮多個X使y取最小值17 .不相等的有理

10、數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點分別為A、B、C,若abbcac,那么點B（）.A.在A、C點右邊B.在A、C點左邊C.在A、C點之間D.以上均有可能18 .試求x2x4x6x2000的最小值.19 .電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點Ko,第一步從Ko向左跳1個單位到Ki,第二步由Ki向右跳2個單位到K2,第三步由K2向左跳3個單位到，第四步由K3向右跳4個單位到K4,，按以上規(guī)律跳了100步時，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點K100所表示的數(shù)恰是19.94,試水電子跳蚤的初始位置Ko點所表示的數(shù).20 .如圖，在數(shù)軸上（未標出原點及單位長度）點A為線段BC的中點，已知點A、B、C對應(yīng)的三個數(shù)a、b、c之積為負數(shù)，

11、這三個數(shù)之和與其中一數(shù)相等，設(shè)p為a、b、c三數(shù)中兩數(shù)的比值，求p的最大值和最小值.21 .某城鎮(zhèn)沿環(huán)形路上依次排列有五所小學：A1、A2、A3、A4、A5,它們順次有電腦15臺、7臺、11臺、3臺、14臺，為使各校的電腦數(shù)相同，允許一些小學向相鄰小學調(diào)出電腦，問怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的電腦總臺數(shù)最少？并求出電腦的最少總臺數(shù).（湖北省荊州市競賽題）.參考答案3數(shù)軸數(shù)身形的一次硬插1例題求解】例1門15或h一舞示*A中直后聶的筮星")=一4例hitC據(jù)示*F-ll-LG=®M-BOCD-DE-EF-學7.E1點坐標為T73+3.3L4，例3樨小加圖4QT-當aU】時，當-I時+*

12、：*勺-1<1亡.0時，等CVn<l好,4<；1冷注=1時皿一:,當*>1時,口>!.M41”九"&(2)|i+1M-3®-Ie2,_8>提示iMIt上甘，求|jH+|i114-IJf3|-1-i-I*-15971的小:Th廠+t一二；_值，即在H軸七找出表木工的Jtt+使它科表示ttJ?小的點的臚睥藝和133網(wǎng)Shwiw?小*如國蕭當.一gM".原式的循小，從看上上這個小偷為；19葡-11+119962)+t$9S-+(lotto-9904-(999-白蠅-iqg6*M4+99?+a-，ggTo。士，也可精工=9購代人

13、上太子求情.觸5牌可門,，丁且伴放存心書罩L箱放在二口哥臺之臼的克任一虻M3J升"為尚或偶敬兩件情一Hitt學力訓練】I,。國一02.占冊一和00q時H.口含5.加之同任一姓，tA*.B?.AgrA9.12發(fā)密;杳藺處或的數(shù)為3或一3.青足條件的盛口典由4卞.1K當點8在凜點的右邊時時一u>b，當點A在晚點的左邊時演V0V。，則1q1上沿!.當點八述分別在照點的右，左兩便時.加一口二”這時£去比較1畫的大小關(guān)系，當點A正好在通點位時.A<uh劇/AM:當點H正好覆原點佗*時E=*<u，鼾存>1.H.K-a<<<-t,IL4IL2mU

14、-MMaIS.C1(.D»7+CJI.SOODOO短示：身iOOOjzlOOZ時,原式有嫌小也.這個小值力/IW£-G+£lM*-”+*i+CgOilOmi*'5MOOO.14.-JO.06械承于設(shè)£點表示的有理獨力工唱也4.一族點后我相的右周數(shù)分別為了J-1+Sm1+23.-J-十£一3+*蚓+IM,由蜘觥器工-I+S-3+4M+100=19.9%解詞i=-Mt(K,M.由闡如。酎HL郵成爐:“</<,即等或在點之間或在點右尺*V5*芝加萬其中之一第等.叮知舌的數(shù)的融為U.即這席數(shù)互為相反效他岸點只能在點乩再之同且是統(tǒng)段鼻四的中點黑中=褊，亍=*,?-一L分刷為此值的做大值叮小曲21.盤瓶：加的.用機乩C.U.E胭內(nèi)處理列依次及泰一至五所小學U一次向餐樓調(diào)郎山，表3，上*“1自電躺.依理童搏5AT十工,一it=