正弦定理和余弦定理

1、正弦定理和余弦定理高考風向】1.考查正弦定理、余弦定理的推導；2.利用正、余弦定理判斷三角形的形狀和解三角形；3.在解答題中對正弦定理、余弦定理、面積公式以及三角函數(shù)中恒等變換、誘導公式等知識點進行綜合考查.【學習要領(lǐng)】1.理解正弦定理、余弦定理的意義和作用；2.通過正弦、余弦定理實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，和三角函數(shù)性質(zhì)相結(jié)合.1正弦定理：焉=氏=/=2巳其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：a ： b ： c=sin_A : sin_B : sin_C; (2)a= 2Rsin_A, b= 2Rsin_B, c= 2Rsin_C; (3)sin A = 2R，sin B = "

2、;2r, sin C=2R等形式，解決不同的三角形問題.2.余弦定理：a2= b2+c2 2bccos A, b2= a2+ c2 2accos B, c2= a2+ b2 2abcos C.余弦定理可以變形:b2+c2-a2b a2 + c2-b2c a2+b2-c2cos A 2bc ' cos 2ac ' cos 2ab111abc 13. 手ABc=2absinC = 2bcsinA = 2acsinB=4R = 2(a+b+c) r(r 是二角形內(nèi)切圓的半徑 )，并可由此計算R、r.4. 在 ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a

3、= bsin Absin A<a<ba>ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解難點正本疑點清源1 .在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在4ABC中,A>B? a>b? sin A>sin B; tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC ;在銳角三角形中， cosA<sinB,cosA<sinC 2.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：（1）化邊為角；（2）化角為邊，并常用正弦（余弦）定理實施邊、角轉(zhuǎn)換.abc1. 在 ABC 中，若 A=60 , a= <3,則 “

4、/=.'' y ' sin a+sin B + sin C2. （2012福建）已知 ABC的三邊長成公比為 業(yè)的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 .3. （2012 重慶）設 ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 cos A=3, cos B=：5, b=3,則 c= 513.4. （2011課標全國）在ABC中，B= 60°, AC = V3,則AB+2BC的最大值為 .5. 已知圓的半徑為4, a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc= 16M2,則三角形的面積為（）A. 2mB. 8V2C. 2D最題型一利用正弦定理解三角

5、形【例1】 在 ABC中，a=73, b=W，B=45°.求角A、C和邊c.思維啟迪：已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的個數(shù)的判斷.探究提高 (1)已知兩角及一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的 難點，應引起注意.變式訓練1已知a, b, c分別是 ABC的三個內(nèi)角 A, B, C所對的邊，若a=1, b =A + C=2B, 則角A的大小為.題型二利用余弦定理求解三角形 【例2】在MBC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊

6、，且黑C(1)求角B的大?。?2)若 b=#i3, a + c= 4,求 ABC 的面積.思維啟迪：由咤=利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解. c0s C2a+c探究提高(1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵.(2)熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.變式訓練2已知a, b, C為4ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a, b, c,且Zcos4+cos A= 0.(1)求角A的值；(2)若 a=2«3, b + c= 4,求 ABC 的面積.題型三正弦定理、余弦定理的綜合應用【例3 (2012課標全國)已知a,

7、 b, c分別為 ABC三個內(nèi)角 A, B, C的對邊，acos C+J3asin C-b-c= 0.求A;(2)若a=2, AABC的面積為 能，求b, c.再利用和差公式可求出 A;面積公式和余弦定理相結(jié)合，可求思維啟迪：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，出 b, c.探究提高 在已知關(guān)系式中，若既含有邊又含有角.通常的思路是將角都化成邊或?qū)⑦叾蓟山?，再結(jié)合正、余弦定理即可求角.變式訓壕3在 abc中，內(nèi)角A, B, C所對的邊長分別是a, b, c.若c=2, C = 3,且 ABC的面積為43,求a, b的值；代數(shù)化簡或三角運算不當致誤典例：(12 分)在4ABC 中，若(a2 + b2)s

8、in(AB) = (a2b2) sin(A+B),試判斷 ABC 的形狀.審題視角 (1)先對等式化簡，整理成以單角的形式表示.(2)判斷三角形的形狀可以根據(jù)邊的關(guān)系判斷，也可以根據(jù)角的關(guān)系判斷，所以可以從以下兩種不同方式切入：一、根據(jù)余弦定理，進行角化邊；二、根據(jù)正弦定理，進行邊化角.溫馨提醒 (1)利用正弦、余弦定理判斷三角形形狀時，對所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊 之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，再判斷.(2)本題也可分析式子的結(jié)構(gòu)特征，從式子看具有明顯的對稱性，可判斷圖形為等腰或直角三角形.(3)易錯分析：方法一中由sin 2A = sin 2B直接得到A=B,其實學生忽略了

9、2A與2B互補的情況，由于計算問題出錯而結(jié)論錯誤.方法二中由c2(a2- b2)= (a2+ b2)(a2- b2)不少同學直接得到c2= a2+ b2,其實是學生忽略了 a2b2=0的情況，由于化簡不當致誤.結(jié)論表述不規(guī)范. 正確結(jié)論是 ABC為等腰三角形或直角三角形，而不少學生回答為：等腰直角三角形.高考中的解三角形問題典例：(12分)(2012遼寧)在4ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.角A, B, C成等差數(shù)列.求cos B的值；(2)邊a, b, c成等比數(shù)列，求 sin Asin C的值.解后反思 (1)在解三角形的有關(guān)問題中，對所給的邊角關(guān)系式一般要先化為只含

10、邊之間的關(guān)系或只含 角之間的關(guān)系，再進行判斷.(2)在求解時要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征判斷使用哪個定理以及變形的方向思想方法,感悟提高方法與技巧1 .應熟練掌握和運用內(nèi)角和定理：A+B + C=tt, A+2+C = 2互補和互余的情況，結(jié)合誘導公式可以減少角的種數(shù).2 .正、余弦定理的公式應注意靈活運用，如由正、余弦定理結(jié)合得sin2A = sin2B + sin2C 2sin B sin C cos A,可以進行化簡或證明.失誤與防范1 .在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有 時可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進行分類討論.2 .利用正、余弦定理解

11、三角形時，要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制.A組專項基礎(chǔ)訓練（時間：35分鐘，滿分：57分）、選擇題（每小題5分，共20分）（2012 廣東）在 4ABC 中，若/ A= 60 °, /B = 45°, BC=3T2,則 AC 等于 （）C. 3B. 2 32.（2011浙江）在 ABC中，角 sin Acos A + cos2B 等于A,B,C所對的邊分別為 a, b, c.若acos A= bsin B,則1B.2C.D. 13.在 ABC中，a, b, c分別為角A,B, C所對的邊，若a=2bcos C,則此三角形一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.

12、等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形4.（2012 湖南） ABC 中,AC =，7, BC=2, B= 60°,則BC邊上的高等于33B. 2J3 + V6Cy.2二、填空題（每小題5分，共15分）5.（2011 北京）在 ABC 中，若 b=5, / B=j, sin A=1,則 a= 436.（2011福建）若 ABC的面積為V3, BC = 2, C= 60°,則邊AB的長度等于7.在 ABC 中，若 AB = V5,9AC =5,且 cos C= 10，則 BC =三、解答題（共22分）8. （10 分）在 ABC 中，角 A,B，C所對的邊分別為a, b，c，且

13、?t足cos +嚕ABAC=3.（1）求 ABC的面積;（2）若b+c=6,求a的值.9. （12 分）在 ABC 中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，4sin2旦于一cos 2A = 1.（1）求A的度數(shù)；若a=b+c=3,求b、c的值.B組專項能力提升（時間：25分鐘，滿分：43分）、選擇題（每小題5分，共15分）1. .（2012 上海）在 ABC 中，若 sin2A+sin2B<sin2C,則4 ABC 的形狀是（）A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不能確定2. （2011遼寧）4ABC的三個內(nèi)角 A, B, C所對的邊分別為 a, b, c, asin Asin B+bcos2A=pa,則b等于 a（）A . 2,3B. 2 2C. 3D. , 23. （2012湖北）設ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且 A>B>C,3b =20acos A,貝U sin A ： sin B ： sin C 為（）A.4：3：2B. 5：6：7C. 5：4：3D.6：5：4二、填空題（每小題5分，共15分）4 .在4ABC中，a、b、c分別為/A、/ B、/ C的對邊長，已知 a,b,c成等比數(shù)列，且a2-c2=ac-bc,則/ A=, ABC的形狀