1-6能量不等式、波動(dòng)方程解的唯一性和穩(wěn)定性

1、庠序尸口小任振動(dòng)的動(dòng)能和坍離 初邊值問題解/的唯L振動(dòng)的動(dòng)能和位能考察一維初邊值問題:utt=0( > 0, 0 < x < Z)(1)< ti(x,0) = cp(x), wr(x,0) = |/(x) (0 < x < Z) (2) w(0,0 u(lyt) 0(3)設(shè)疏為問題(1)，(2)，(3)的解，用叫乘以(1)的兩端,再從0到Z積分，得J：ututtdx -audx = 0ututtdx- i叫恥=Uffdx = 0r11 d /必 _ i rJo 2 冼 t 2dt=£ utdux = UtUx Ioujdx叫由邊界條件可知：ut(0

2、,t) = ut(lyt) = 01 和0Jfjfftutudx = 一I udut = 一I uudx =-o 廠心Jo x r Jo x xl2 dt(%； + a2 u)dx = 0 2力o 'x將(5)、(6)代A(4),得記 E(t)=+ a2ul)dx(4)udx (6)那么字"at從而ddx< dx)月2汀賠為垂直分力線密度。物理描述: 動(dòng)能：u：dx表:示t時(shí)刻的動(dòng)能。 位能(勢(shì)能)：咚表示張力在垂直方向的分力,設(shè)長(zhǎng)為的弦從r時(shí)刻到r + §時(shí) 刻由原來位置發(fā)生了微小 改變8w,即h(x,/ + 80 = «(x,Z) + 8m(x)

3、這段時(shí)間對(duì)抗張力所作的功為：8JF = (?>u)Tuxxdx從而 整條弦對(duì)抗張力所作的功為：xxdxJOW = _ J； 8u)Tu -T5u)ux -(Su)xuxdx -T 8u)u +T(Su)xuxdx用于對(duì)抗張力所作的功，一局部能量通過弦的兩端流 出，即-T(創(chuàng))冷|：，另一局部那么使弦的位能得到增量 Sr, BP8K = T(5w)xMxdxo當(dāng)兩端固定時(shí)，8«(0) = 5w(/) = 0,因此從兩帰流出的0 =°。能量-T(8u)ux位能的增量5/ = T(8u)xuxdx/ (5a)xux=i(5M)x +訂-話-十喝不計(jì)§弘的高階項(xiàng)，那

4、么(8m)xmx=|(5w)x +訂-卜：弓二從f時(shí)刻到t + St時(shí)刻位能的增量8V =扣加+ (弘):dxT irdx2J時(shí)刻的位能為：V(t) = -Tdx2 o注：在有外力情形，SW = -() -Fdx,所 以/時(shí)刻的位能為：V(t) = Jo -Tu-Fu dxo 2稱E(F)為能量積分(相差一個(gè)非零常數(shù)因子)。且有:dE(t) 0di(9)(W)對(duì)高維波動(dòng)方程的混合問題以二維為例 -圧口 + 幻 = 0,3丘。丿 >0,心 V，0 = 0X，叫x，y，°=護(hù)g y,可類似得到能量積分：Et="訝 +fl2Mx +必1 必如上頁I下頁I返回I(10)式的推

5、導(dǎo)：autuxx + utudxdy = 0(7)式兩端同乘以嗎并在Q內(nèi)積分，得(11)JJ 嘰Q叫=訴：)£廠叫-知知叫 + utUyy = (utux)x +(wjV 包W)一+ 必)f代入(11)式,得-一«2JJ()x + Utuy)ydxdy 二 0 'Q由Green公式+UtUy y dxdy由邊界條件9知：在驗(yàn)上陽三0故 JJ叫/% + utuyydxdy = 0 Q從而些®二0dt2.初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性定理6.1波動(dòng)方程初邊值問題:uu -，Aw =仁(x)w > 0(a) ux. j, 0) =(p(x, j), ut (

6、x, j,0) =艸(x, y)的解至多有一個(gè)。E(i) =+ 譏疋 +u)dxdy證明：由有關(guān)能量積分的推導(dǎo)可知，當(dāng)/三0,卩三0時(shí), 有致=0,所以:dtE(t) = F(0) = 口陀 + a2(pl + q>y)dxdyQ設(shè)ur(x,y,t u2(x,y,t)都 是問題O)的解，令V = u1-u2,那么F滿足;Vu - a2 AV = 0, (xj)e 0# > 0(b) r(x, j,0) = 0, F；(x,j,0) = 0 F(X，Z)|(5=0所以，對(duì)任意>0均有fjVa2(VVdxdy =QQv a2 >0,.藝三 0,M 三0,從而K(x,0C(常

7、數(shù)) dt dXf. Iz(x, 0) = 0, /. C = 0, i.e., V(x, t) = 0,= u2能量不等式用能量積分法討論波動(dòng)方程初邊值問題rutt 一 a2= f (x,y)e Q,t> 0,(c) w(x, j, 0)二沢兀),ut (x,j, 0)二好(x,刃,吩兒，叱"解的連續(xù)依賴性。記 E(t) = JJ 鳳;+ /(疋 + )dxdyQ=< jjudxdy +JJ f2dxdyGQQ< E(t) + JJ f2dxdy上頁I下頁I返回IQ(/£()<dtqf E(0)+f ff2dxdy/=E(t) < er 當(dāng)

8、osr"時(shí)E(t)< c0 E(0)十J/2坤必Q(其中C.=eT是僅與T有關(guān)的正常數(shù)。)記爲(wèi)()=j u2dxdyQ=>dt=2jjuu tdx(fy < jjidxcfy + jjudxdyQQQqa)+Eatat=>Eo(0 S Eq (0)十 ¥ j exE(T)dT 當(dāng)OGVF時(shí) 左0()<(71(£；(0) + E(c肝)(G=e)/ E(r)dT <J：q(E(o)+J：JJ/dxdydTdT 0(O Q E.W + (0) + f fdxdydT .E(t) + E.(t)<cE(0) + 血(0) + J

9、：JJq f2dxdydz設(shè)0/分別為定義在。和O,TxQ內(nèi)的函數(shù)，記IMl2Q - 1界2心硏2|/|L2«O，nxQ由能量不等式E(t) + E .(t) < C 得u2+帆<c2£2(Q)+ E°(0) + J：JL廠血如22+ U£2(Q)2L2(Q)兒+IImX2q+h2Z2(Q)2Z2(Q)+ ll<IL2(o?r)xQ)其中,C、C/minl,/定理6. 2波動(dòng)方程初邊值問題(c)的解關(guān)于初始值(cp,屮)與方程右端項(xiàng)/是穩(wěn)定的，即：對(duì)Vs>0, 3r| = r|(n>0,只要h- 0|帥盧弘|麻-%爲(wèi)< m |知卩2兒(< z ki-L(Q) II.A-川以心)5/*2為右端項(xiàng)的解觀2之差在0 St生T上滿足那么以，屮1)為初值，£為右端項(xiàng)的解嗎與以(q)2,屮2) 為初值,3柯西問題解的唯一性與穩(wěn)定性 知，(殂+幻)=0,w(x, j,0)二(p(x, j), ut(x,y,0) = ©(x,刃(d)設(shè)眈是問題