中學(xué)數(shù)學(xué)三角形中常見的輔助線問題經(jīng)典含答案

1、中學(xué)數(shù)學(xué)三角形中常見的輔助線問題1 前言1.1 研究背景1 從1952年教育部頒布第一部中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）將三角形的教學(xué)內(nèi)容分散安排在初一、初二和初三年級(jí)，中學(xué)數(shù)學(xué)大綱進(jìn)行了多次修改，而三角形的教學(xué)內(nèi)容也進(jìn)行了多次調(diào)整。2以2000年頒布的過渡性九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）為標(biāo)志，我國(guó)新一輪基礎(chǔ)教育課程改革全面啟動(dòng)。2001年教育部頒布了現(xiàn)行的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中要求培養(yǎng)和增大合情推理能力，所以對(duì)初中平面幾何圖形尤其是三角形中的輔助線應(yīng)該引起重視。1.2 研究目的在平面幾何三角形的學(xué)習(xí)過程中，有部分三角形問題看上去很容易解決，但在實(shí)際的動(dòng)手的操作

2、的過程中給人一種“山重水復(fù)疑無路”的感覺.然而，如何能夠“柳暗花明又一村”，使得解題的思路明確，過程簡(jiǎn)捷？輔助線對(duì)問題的解決起著非常重要的作用，是否能添加正確的輔助線是能否解決問題的關(guān)鍵.本文基于前人對(duì)本論題的研究成果，針對(duì)如何正確、快捷地添加輔助線，以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。結(jié)合歷年中考考試題目總結(jié)歸納出常用的六類常用輔助線的方法，并對(duì)這些方法進(jìn)行進(jìn)一步的分析，體會(huì)蘊(yùn)涵在三角形中的常見輔助線的思想方法，并能舉一反三，創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。1.3 研究意義（ 1） 理論意義：進(jìn)行初中數(shù)學(xué)三角形的有關(guān)輔助線問題的研究，會(huì)在一定程度上豐富三角形的教學(xué)理論。（ 2） 實(shí)踐意義：本研究在豐富的理論支持下，

3、深入三角形的課堂教學(xué)研究提出具有實(shí)踐意義的教學(xué)建議，可幫助教師選擇正確教學(xué)模式，豐富課堂內(nèi)容，提高課堂教學(xué)效率。2 .三角形中的輔助線2.1 倍角化等腰3當(dāng)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，經(jīng)常通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形。如圖1中，若/ABC=2/C,如果作BD平分/ABC則DBO等腰三角形，并且ABDtCA琳目似。如圖2中，若/ABC=2/C,如果延長(zhǎng)線CB到D,使BABA連結(jié)AD,則ADO等腰三角形，并且ABMCADf目似。如圖3中，若/B=2/ACB如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作/AC氏/ACB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則ADBO等腰三角。例1.如圖4,ABC,/AC氏2

4、/B,BO2AC.求證：/A=90°.分析：由于條件中/AC氏2/B,可利用圖1所做輔助線方/式，所以作CD平分ACB交AB于D,過D作DEBC于E,則由ACB2B,知BBCD,即DBC是等腰三角形。/而DEBC,由等腰三角形三線合一可得，BC2CE,又圖4BO2AC,所以AOEG易證得ACDECD,所以ADEC90。評(píng)析：此題屬于較簡(jiǎn)單的題，對(duì)于一般基礎(chǔ)的學(xué)生還是比較容易入手，那么對(duì)于難度系數(shù)稍微高一點(diǎn)的題如例2。例2.（2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）在ABC中，最大角/A是最小角/C的2倍，且AB=7AC=8則BC=解法一：分割法（圖1輔助線方法）如圖5,作/CAB的平分線AD交B

5、C于D。AABSDBA8xyx7x8x二105y7，解得1_5_xy<105y(xy)49y一，10515評(píng)析：解法一的思路是常規(guī)思路，平分倍角構(gòu)造相似三角形，通過相似比得到方程組求出線段長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)。但這種方法中，二元二次方程組的計(jì)算較為復(fù)雜。4解法二：構(gòu)造法（圖2輔助線方法）1如圖6,延長(zhǎng)CAS點(diǎn)D,使AD=AB貝U/D=/ABD=1/CAB2=/C,ACBIDADAEB.里CD.bD=ABCD=7<（8+7）ABBD=105,BD=：1C5,又/C=/D,BC=BD=105評(píng)析：利用二倍角為外角構(gòu)造等腰三角形也是常見的作輔助線的技巧。BD為相似三角形比例中項(xiàng)，與方法一

6、相比，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。解法三：綜合法如圖7,作/CAB的平分線AD交BC于D。彳BE/ADAD6ABAE7y,x8AD6AEBCx-8-,xy78X，71y,(x+y)2=7X15,xy/105xy15評(píng)析：由AADaABAEBE/AD方法三事實(shí)上已將方法一、方法二統(tǒng)一了起來。所反映的本質(zhì)是相同的。2.2 角平分線問題5角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造

7、對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。2.2.1 角平分線到兩端的距離相等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例3.如圖8,已知ABC中，AC=BC/ACB=90,BD平分/ABC求證：AB=BC+CD分析：題目中有角平分線和垂直，故想到過點(diǎn)D作DELAB2M于點(diǎn)E,由角平分線的性質(zhì)可知，CD=DE由全等三角形的判定定理可得BC*ABEED可彳#出BC=BE再根據(jù)ABC是等腰直角三角形可知/A=45,故ADEM等腰直角三角形，所以丫'DE=AE再通過等量代換，所以AB=BE+AE=BC+CD圖8評(píng)析：此題難度系數(shù)不大，也可以

8、才用后面所用的截長(zhǎng)補(bǔ)短法來證明，證明過程也比較簡(jiǎn)單一般的學(xué)生都基本上能夠解決。例4.如圖9,ABC,AB>ACDF垂直平分BC交BAC勺外角平分線AD于點(diǎn)D,F為垂足，DE!AB于E,連接BDCD求證：/DBEWDCA分析：要證明的結(jié)論是兩個(gè)角的角度相等，而圖形中兩個(gè)圖9角不在同一個(gè)三角形中，所以想到證明兩個(gè)三角形全等。從已知條件中有外角平分線，且Dnar入手，想到角平分線到兩邊的距離相等，故過D作D-AC根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BD=CD根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DG然后禾I用“HL'證明RtADBfflRtzXDC塊等，根據(jù)全等

9、三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/DBEWDCA評(píng)析：此題有一定難度系數(shù)，主要是學(xué)生不知道從哪里入手，而此題從外角平分線入手，與常規(guī)的內(nèi)角平分線有所不同，基礎(chǔ)較好學(xué)生能獨(dú)立完成。2.2.2 利用角平分線構(gòu)造對(duì)稱圖形作法是在角平分線的一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊構(gòu)造出對(duì)稱圖形，再利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)將角或邊轉(zhuǎn)化。6 例5.如圖10,已知4ABC中，AB=AC/A=100°,BD平分/ABC求證:BC=BD+AD分析：結(jié)論要證明邊的和差關(guān)系，首先想到截長(zhǎng)補(bǔ)短法，有一定難度，已知條件中告訴了/A=10O0,從角平分線入手，算出所有角度大小，入在BC上截取BE=BA延長(zhǎng)BD至ijF使BF=BC連接DECF,

10、由BD平分/ABC/1=/2進(jìn)而得AABDEBD/DEBWA=100。*則得/DEC=80又/2=20所以/F=80因?yàn)?4=/3=40°,圖10所以DCEADCF(AAS,所以DF=DE=ADBC=BF=BD+DF=BD+AD評(píng)析：此題難度系數(shù)比較大，大多數(shù)學(xué)生會(huì)從結(jié)論出發(fā)，用截長(zhǎng)補(bǔ)短法證明，此種方法不能充分利用BD是角平分線這一關(guān)鍵已知條件。2.2.3角平分線+垂線從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段，則

11、延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交)。7 例6.如圖11,已知AABC/BAC=90,AB=ACCD遠(yuǎn)直于/ABC角平分線BD于D,ACBD交于E.AF為BC中線，交BE于G,求證：BE=2CD分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂？線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角爪形，延長(zhǎng)CD與BA延長(zhǎng)線交于H.BD為角平分線.構(gòu)建全等三角形AB草AACH(ASA,然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)"1"邊相等的性質(zhì)、等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可證得圖11CH=2CD所以BE=2CD評(píng)析：題中如果有角平分線和垂線，可聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”利用其基本性質(zhì)解決要證明的問題。

12、2.2.4角平分線+平行線有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。圖12例7.如圖12,在ABC,AB=AC在AC上取一點(diǎn)P,過P點(diǎn)作EF，BC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)F.證明：AE=AP分析：由已知條件知ABE等腰三角形，且EFBC,以想到角平分線可行線，則可以作AD平分BAC,由等腰三角形三線合一性質(zhì)，此時(shí)ADBC,故AD/EF。故可知AEP是等腰三角形，所以AE=AR上一點(diǎn)，且AD=DE8 例8.如圖13,BD平分/ABCAC于D,點(diǎn)E為CDEF/BC交BD于F,求

13、證：AB=EF分析：已知條件中有角平分線和平行線，而要證明的時(shí)線段相等，想到角平分線可行線構(gòu)造出等腰三角形。作AM/EF交BD的延長(zhǎng)線于M所以ABM等腰三角形AM=AB再證AAD陣AEDF5推出EF=AM得至UAB=EF評(píng)析：此題中白關(guān)鍵是利用BD平分/ABC做平行線構(gòu)造等腰三角形，將AB轉(zhuǎn)化成AM2.3 中點(diǎn)問題在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。2.3.1 倍長(zhǎng)中線法9當(dāng)出現(xiàn)線段中點(diǎn)或三角形中線時(shí)，常常延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形。倍長(zhǎng)

14、中線法又可分為直接倍長(zhǎng)法和間接倍長(zhǎng)法。AABOTA方式1:直接倍長(zhǎng)AD是BC邊中線一：一W一-C延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD連接BEE方式2:間接倍長(zhǎng)A作cnAD于F,作BnAD的延長(zhǎng)線于E連接BEA延長(zhǎng)MDiJN,使DN=MD連接CN圖14例9.如圖14,ABC,D為BC的中點(diǎn).求證：AB+AC>2AD分析：從已知條件中D為BC中點(diǎn)入手，想到倍長(zhǎng)中線，延長(zhǎng)AD至E使DE=AD連接BE,構(gòu)造ADCEDB彳#AC=BE再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AB+AC>AE即AB+AC>2AD得證。評(píng)析：此題屬于倍長(zhǎng)中線法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但也曾出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中2.3.2中位線法中位線既有線段的

15、等量關(guān)系，又有平行性，而平行線又可以產(chǎn)生等角關(guān)系，更重要的是，在涉及中點(diǎn)的題目中，中位線常起過渡和轉(zhuǎn)化的作用.那么我們可以加以利用中位線的相關(guān)性質(zhì)加以添加輔助線解題。例10.（2013年數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省初二初賽）如圖15,已知四邊形ABCm，AB=DCE、F分別為AD與BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF與BA的延長(zhǎng)線相交于N,與CD的延長(zhǎng)線相交于M求證：/BNFWCMF圖15分析：由已知條件可知，E、F分別為AgBC的中點(diǎn)，想到中位線定理，連接AC,取AC的中點(diǎn)K,連結(jié)EK,FK,貝UEKFK分另I是ACDffiAABC的中位線，得至UCD=2EKAB=2FK根據(jù)AB=DC4到/FEKqEFK根據(jù)平行線性質(zhì)可

16、得：/FEK之CMF/EFK4BNF/BNFWCMF2.3.3直角三角形斜邊的中線10直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半。例16.如圖23,4ABC中，AD是高，CE是中線，G是CE的中點(diǎn)，DGLCE,G為垂足，證明：DC=BE圖23分析：要證明DC=BE而這兩條線段又沒有在同一個(gè)三角形中，不能直接入手，由已知條件ABM直角三角形且E為斜邊中點(diǎn)，所以想到連接DE,二G是CE的中點(diǎn)，DGLCE；DGCE的垂直平分線，.DE=DC.AD是高，CE是中線，DE是RtADB的斜邊AB上的中線，.DE=BE=AB,aDC=BE2.4線段和差倍問題2.4.1截長(zhǎng)法11截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中

17、的一條，然后證明剩下部分等于另一條（此種方法在中學(xué)最常見）例11.如圖16,在四邊形ABC時(shí)，AC平分/BADCHAB于E,/B+/D=18Q圖16求證：AE=AD+BE分析：采用截長(zhǎng)法：首先在AE上截取AM=AD連接CM再證明AM葭zADC可得/3=/D,再根據(jù)/B+/D=180,/3+/4=180°,可以證出/4=/B,根據(jù)等角對(duì)等邊可證出CM=BC再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合可得到ME-BE,再利用等量代換可證出AE=AD+BE2.4.2補(bǔ)短法12補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。例12.如圖17,在

18、四邊形ABCDfr,AB/CD點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，/BAE=般方法是截長(zhǎng)或/EAFAF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.求證：AB=AF+CF分析：延長(zhǎng)AEDF交于點(diǎn)M不難證明AB草AMCE那么AB=CF現(xiàn)在只要將AF也關(guān)聯(lián)到三角形BEO,我們發(fā)現(xiàn)，/BAEWEAF/BAEWM（AB/CD,那么三角形AMF就是個(gè)等腰三角形，AF=MF因此AB=MC=MF+FC=AF+FC評(píng)析：在三角形中遇到求證線段間和，差，倍數(shù)關(guān)系時(shí)補(bǔ)短法，在同一道題中一般兩種方法都可以用。例13:如圖18:在4ABC中，AB>AC/1=/2,P為AD上任一點(diǎn)。求證:AB-AOPB-PG證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取AN=AC連

19、接PN,在4APN和APC,AN=AC,/1=/2,AP=AP,所以AP率AAPC（SAS所以POPN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）二.在BPN中,有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）所以：BPPC<AB-AC證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB,連接PM在ABPffiAMP,AB=AM/1=/2,AP=AP,所以AAB國(guó)AAMP（SAS有PB=PM可整等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又;在PCW有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）,所以：AB-AOPB-PG此種類型的題從已知題目中不能直接得出結(jié)論，通過添加平行線，通過平行線的性質(zhì)再進(jìn)行轉(zhuǎn)換形成全等或相似三角形，進(jìn)

20、而解決問題，如以下兩題。13例15.如圖19,ZXABC中,AB=AC在AB上取一點(diǎn)E,在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使CF=BE連接EF,交BC于點(diǎn)D,求證：DE=DF分析：因?yàn)镈EDF所在的兩個(gè)三角形ADEBTADF5可能全等,圖19又知EB=CF所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過E作EG/CF,構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。證明：作EG/AC交BC于G,，/BGEWACB/GED=F,/EGD=FCDvAB=AC/B=/ACB/B=/BGEBE=EG.CF=BE.CF=GE在GEDF口zCFD中，/GED=F,GE=CF/EGD=FCD.GE陛ACFD(ASA,.DE=DF評(píng)析：當(dāng)對(duì)某些三角形的圖形無從下手時(shí)，不妨大膽加以猜想，根據(jù)某些交點(diǎn)，過該交點(diǎn)作等腰三角形的腰或底邊的平行線，再加以利用等腰三角形以及添加的平行線的性質(zhì)來解題。此題的輔助線還可以有以下幾種作法，學(xué)生的選擇比較多，但他們的本質(zhì)都是相同的。BcD圖222. 5.2平行線分線段成比例14輔