小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(五年級)

1、小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（ 五年級 ）第1 講數(shù)字迷（一）第 2 講 數(shù)字謎 （ 二 ）第3 講定義新運算（ 一）第4 講定義新運算（ 二）第5 講數(shù)的整除性（ 一）第6 講數(shù)的整除性（ 二）第7 講奇偶性（一）第8 講奇偶性（二）第9 講奇偶性（三）第10講質(zhì)數(shù)與合數(shù)第11講分解質(zhì)因數(shù)第12講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一）第13講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二）第14講余數(shù)問題第15講孫子問題與逐步約束法第 16 講 巧算 24第17講位置原則第18講最大最小第19講圖形的分割與拼接第20講多邊形的面積第21講用等量代換求面積第22用割補法求面積第23講列方程解應(yīng)用題第24講行程問題（一）第25講行程問題

2、（二）第26講行程問題（三）第27講邏輯問題（一）第28講邏輯問題（二）第29講抽屜原理 （ 一）第30講抽屜原理 （ 二）第 1 講 數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級和四年級都講過，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復(fù)習(xí)鞏固學(xué)過的知識外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1把+, -, X, 一四個運算符號，分別填入下面等式的。內(nèi)，使等式成立（每個運算符號只準使用一次）：（501307） O （ 1709） =12。分析與解：因為運算結(jié)果是整數(shù)，在四則運算中只有除法運算可能出現(xiàn)分數(shù)，

3、所以應(yīng)首先確定“ 一 ”的位置。當(dāng)“ 一 ”在第一個。內(nèi)時，因為除數(shù)是13,要想得到整數(shù)，只有第二個括號內(nèi)是13的倍數(shù)，此時只有下面一種填法，不合題意。（5+13-7） X （ 17+9）。當(dāng)“ 一 ”在第二或第四個。內(nèi)時，運算結(jié)果不可能是整數(shù)。當(dāng)一在第三個。內(nèi)時，可得下面的填法：（5+13X7） + （17-9） =12。例2將19這九個數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立：><=>< =5568。解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26X 3X 29。由此容易知道，將 5568分解為兩個兩位數(shù)的乘積有兩種：58X 96和64X87,分解為一個兩位數(shù)與一個三位數(shù)的乘積有

4、六種：12X 464, 16 X348, 24 X232,29X 192, 32 X174, 48 X 116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：174X 32=58* 96=5568。例 3 在 443 后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573 整除。分析與解：先用443000 除以573，通過所得的余數(shù)，可以求出應(yīng)添的三位數(shù)。由443000+573=77371推知， 443000+ （ 573-71 ） =443502 一定能被573 整除，所以應(yīng)添502。例4已知六位數(shù)33口口44是89的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。分析與解：因為未知的數(shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做

5、除法。由被除數(shù)的個位是4,推知商的個位是 6;由左下式知，十位相減后的差是1,所以商的十位是9。這時，雖然89X 96=8544,但不能認為六位數(shù)中間的兩個口內(nèi)是85,因為還沒有考慮前面兩位9 68 5)CQ4 45 3 4再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7,所以b只可能是7或8。由左、右兩邊做除法的商，得到商是 3796或3896。由3796X 89=337844, 3896 X 89=346744知，商是3796,所求六位數(shù)是 337844。例5在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適當(dāng)?shù)?數(shù)字代替字母，使加法豎式成立。600O口。J 5

6、 7 889FORTYTEX + TENSIXTY 31486分析與解：先看豎式的個位。由Y+N+N=Y Y+ 10,推知N要么是0,要么是5。如果N=5,那么要向上進位，由豎式的十位加法有 T+E+E+1=T T+10,等號兩邊的奇偶性不同，所以NW 5, N=0=此時，由豎式的十位加法 T+E+E=T T+10, E不是0就是5,但是N=0,所以E=S豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進位。因為N=0, 所以I W0,推知I=1 , 0=9,說明百位加法向千位進 2。再看豎式的百位加法。 因為十位加法向百位進 1,百位加法向千位進 2,且XW 0

7、或1,所以R+T+T+122, 再由R, T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7,則R=8, X=3,這時只剩下數(shù)字 2, 4, 6沒有用過，而 S只比F大1, S, F不可能是2, 4, 6中 的數(shù)，矛盾。若T=8,則R只能取6或7。R=6時，X=3,這時只剩下2, 4, 7,同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7時，X=4,剩下數(shù)字2, 3, 6,可取F=2, S=3, Y=6。所求豎式見上頁右式。解這類題目，往往要找準突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個數(shù)。這個題目是美國數(shù)學(xué)月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個詞分別是40 , 10 , 10, 60 ,而40+10+10正好是60,真是巧

8、極了！例6在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當(dāng)?shù)臄?shù) 字，使豎式成立。ABCBD EFAG- EFAG+ FFFFFFABCBD分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學(xué)們都知道，力口、減法互為逆運算，是否可以把減法變成 加法來研究呢（見右上式）？不妨試試看。因為百位加法只能向千位進 1,所以E=9, A=1, B=0。如果個位加法不向上進位，那么由十位加法1+F=10,得F=9,與E=9矛盾，所以個位加法向上進 1,由1+F+1=10,得到F=8,這時C=7。余下的數(shù)字有2,3,4,5,6,由個位加法知，G比D大2,所以G,D分別可取4, 2或5,

9、 3或6, 4。所求豎式是107021070310704-98 M-沏5- 9816ggg88888S-解這道題啟發(fā)我們，如果做題時遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)概念、法則、定律把原題加以變換，將 不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時要考慮解的情況，是否有多個解。練習(xí)11 .在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得白數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是 621819,求原來的四位數(shù)。2 .在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字。請你用適當(dāng)?shù)臄?shù)字代替字 母，使豎式成立：（1） AB ® ABAB+ BCA - ACA ABC BAAC3 .在下面的算式中填上括號，使得計算結(jié)果最

10、大：1 + 2 + 3+4+5+6+7+ 8+9。4 .在下面的算式中填上若干個（），使得等式成立：1 + 2+3 + 4+5+6+7+ 8-9=2.8 o5 .將19分別填入下式的口中，使等式成立：6 .六位數(shù)391 口是789的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。7 .已知六位數(shù)7口口 888是83的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。 第2講數(shù)字謎（二）這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求處cd%labcdeX 3 = abcdeL分析與解：這道題可以從個位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個確定各個字母所代表的數(shù)弱，現(xiàn)在，我們從另一一個角

11、度$骷1而也與很小1只是1所* m , 1 f t r " , , f r " j ' ? ¥ ' r im t i re i-71左舷置福I枷二冊也則算赧為（100000+x） X 3=10x+1,300000+3x=10x+1,7x=299999,x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡潔。我們再看幾個例子。例2在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。12 4乂 8TTT9 9 21 0044I樵潮跟觸G臨（艮，岫輪順Q國肺函褥1瓦杜拗ul求豎式。例3左下方的除法豎式中只有一個8,請在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立。 8

12、01121110768 10況 996 896IMS 1008 08的積是三位數(shù)，而與商的百位和個位的積都是四位數(shù)，所以商為兜弘設(shè)除數(shù)為父，由窕 由鷺式特點知，除數(shù)與S的乘積的百位數(shù)不可能是9,即取<900,所以xCiia%又因為k是整數(shù)，所以x=112,被除數(shù)為989X 112=110768。右上式為所求豎式。代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例4在口內(nèi)填入適當(dāng)數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。O可以看出，除數(shù)與分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）商的后三位數(shù)的乘積是1000=23X53的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后

13、三位數(shù)一個是23=8的倍數(shù)，另一個是 53=125的奇數(shù)倍，因為除數(shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點知a=9,從而除數(shù)應(yīng)是96的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96, 48, 32, 24和16。因為，c=5, 5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16,進而推知b=6o因為商的后三位數(shù)是 125的奇數(shù)倍，只能是 125, 375, 625和875之一，經(jīng) 試驗只能取375。至此，已求出除數(shù)為 16,商為6.375,故被除數(shù)為6.375 X 16=102。右式即為所求豎式。6.37516；10296一60120112SO 80_ 0求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被

14、除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個0,則在除數(shù)和商中，一個含有因子 2n （不含因子5）,另一個含有因子 5n （不含因子2）,以此為突破口即可求解。例5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（2）,求這個五位數(shù)。(1) * * * *)*富* J * 0分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為 10*0 （見豎式（1）'）,豎式（1）的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù) 10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5,而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除,所以除數(shù)是4, 6或8。*）10*01* a* *當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為3時，由豎式（1）'

15、知，a=1或2,所以被除數(shù)為100*0或101*0,再由豎式（2） 中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為4,被除數(shù)為10020;當(dāng)豎式（1）的除數(shù)為9時，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應(yīng)為8。因為豎式（2）的除數(shù)只能是 4, 6, 8,由豎式（2）知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080, 10260, 10440和10620四種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除 數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為8,被除數(shù)為104400所以這個五位數(shù)是 10020或10440。練習(xí)21 .下面各算式中，相

16、同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，求出冊cd及且bcsyw：（1） labcdX 3 = abcd5；（2） 7X abcsyz = 6X xyzabce2 .用代數(shù)方法求解下列豎式： 丁£3 .在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立:皿口 Pl第3講定義新運算（一）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數(shù)學(xué)中最基本的運算，它們的意義、符 號及運算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的 運算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學(xué)習(xí)討論這些新運算，對于開拓思路及今 后的學(xué)習(xí)都大有益

17、處。例1對于任意數(shù)a, b,定義運算"*": a*b=a x b-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32 。例2已知aAb表示a的23倍減去b的:，例如: 1A2 = ：X 3-2X - = 2O根據(jù)以上的規(guī)定，求 10A6的值。 &1解：10A6=10X3-6X -30-3 = 27,例3對于數(shù)方，bs cj d,規(guī)定 it bj匚，d>=2ab=-0 已知1, 2,c3, x>=2,求x的值。分析與解：按照定義的運算，<1, 2, 3, x>

18、;=2,2X1X232cx=6。由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+, -, X, +, V, >等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運算符號。如例 1中，a*b=a x b-a-b ,新運算符號使用“ *"，而等號右邊 新運算的意義則用四則運算來表示。岫，淳示兩個數(shù)，版拗=卒, 20 （ jo） =?462分析與解：按新運算的定義，符號表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。因為20 （R?中的（）沒雕重新定義，所以睫義與四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進

19、行小括號外面的運算。221115e小 11 皿 Ik . 'A20（ -Q- ） =20 =（2+）+2= 1一03 51515303 I（2）因為在彳0工Ox中役彳46按通常的規(guī)則從左至右進行運算。有重新規(guī)定運算次序，所以應(yīng)3nl * L . 11弼加料=(扣)T.由( +，)+2 = 1解慨=7。 24224例5 規(guī)定 402 = 4+442曲二2+22+222, 仁 1+11+111+1111 .求 35二?分析與解：從已知的三式來看，運算“”表示幾個數(shù)相加，每個加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面的那個數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾個數(shù)之和，其中第 3位數(shù)按此規(guī)定，得1個數(shù)是1位數(shù)，

20、第2個數(shù)是2位數(shù)，第3個數(shù)是3 5=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。例6對于任意自然數(shù)，定義： n! =1X2XXn。例如4 ! =1X 2X3X4。那么1! +2! +3! + - +100!的個位數(shù)字是幾？分析與解：1 ! =1,2! =1X2=2,3! =1X2X3=6,4! =1X2X3X4=24,5! =1X2X3X4X 5=120,6! =1X2X 3X4X 5X 6=720,由此可推知，從 5!開始，以后6!, 7!, 8!,，100!的末位數(shù)字都是 0。所以，要求1! +2! +3! +

21、- +100!的個位數(shù)字，只要把1!至4!的個位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個位數(shù)字是 3。例7如果m, n表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：nrO n=4n- (m+力+2。求 3。( 406)。12 的值。解：3。(406)。12=30 4 X 6- (4+6) - 2 012=30 19012=4 X 19- (3+19) - 2 012=650 12=4X 12- (65+12) + 2=9.5。練習(xí)31 .對于任意的兩個數(shù) a和b,規(guī)定a*b=3Xa-b +3。求8*9的值。2 .已知ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b,求134的值。3 .已知ab表示(a-b) + ( a+b),

22、試計算：(53)(106)。4 .規(guī)定a©b表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求 802的值。5 .假定 m0n表示m的3倍減去n的2倍，即mOn=3m-2n。Q)計算；(2)已知xO ( 401) =7,求x的值。6規(guī)定：1V=L2V = 1X 1.4V=lX-xlxl, 234Q)求(7V)+(5V)的值!(2)己知戒=焉，求乂的值。7 .對于任意的兩個數(shù) P, Q,規(guī)定P+Q=(PX Q +4。例如：28= (2X8) +4。已知x人 (85) =10, 求x的值。8 .定義：a b=ab-3b , a b=4a-b/a 。計算：(4A3) ( 2日 b)。9 .已知：2(

23、g)3=2X3X4,4Q5=4X 5X 6X7X 8,求(4(g)4) + (3(g)3)的值。第4講定義新運算(二)例1已知aXb= (a+b) - (a-b),求9派2的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9, b=2代入新運算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運算的法則，我們可以先把新運算“派”化簡，再求結(jié)果。aX b= (a+b) - (a-b )=a+b-a+b=2b。所以，9X2=2X2=4。由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則的前提 下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。例 2 定義運算：aO b=3a

24、+5ab+kb ,其中a, b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：2O7=3X2+5X2X7+7k。(1)已知5。2=73。問：8。5與5。8的值相等嗎？(2)當(dāng)k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a, b,都有aOb=bOa,即新運算符合交換律？分析與解：(1)首先應(yīng)當(dāng)確定新運算中的常數(shù)k。因為5O2=3X5+5X5X2+kX2=65+2k ,所以由已知 5 02=73,得65+2k=73,求得k= (73-65) + 2=4。定義的新運算是：aO b=3a+5ab+4b。8。5=3X 8+5 X 8X 5+4 X 5=244,5O8=3X 5+5X 5X 8+4X 8=247。因為 244W247,所

25、以 805W508。(2)要使aOb=bOa,由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka,3a+kb-3b-ka=0 ,3 x (a-b)-k(a-b)=0,(3-k)(a-b)=0。對于兩個任意數(shù) a, b,要使上式成立，必有 3-k=0 ,即k=3。當(dāng)新運算是aOb=3a+5ab+3b時，具有交換律，即aOb=bOa。例3對兩個自然數(shù)a和b,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為ab,即ab=a , b- (a, b)。比如，10和14的最小公倍數(shù)是 70,最大公約數(shù)是 2,那么10+ 14=70-2=68。(1)求1221的值；(2)已知6x=27,求x的值。分析與解：(

26、1) 1221=12 , 21- (12, 21) =84-3=81;(2)因為定義的新運算沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式求x,只能用推理的方法。因為6x=6 , x- (6, x) =27,而6與x的最大公約數(shù)(6, x)只能是1, 2, 3, 6。所以6與x的最 小公倍數(shù)6 , x只能是28, 29 , 30 , 33。這四個數(shù)中只有 30是6的倍數(shù)，所以6與x的最小公倍數(shù)和 最大公約數(shù)分別是 30和3。因為axb=a, b x (a, b),所以6X x=30X3,由此求得 x=15。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn) 90° , b表示順時針旋轉(zhuǎn)180° , c

27、表示逆時針旋轉(zhuǎn) 90° , d表示不轉(zhuǎn)。定義運算 表示"接著做”。求：a©b; bOc； c©a。分析與解：a ©b表示先順時針轉(zhuǎn) 90° ,再順時針轉(zhuǎn) 180° ,等于順時針轉(zhuǎn) 270° ,也等于逆時針轉(zhuǎn) 90° ,所以 a© b=c。b©c表示先順時針轉(zhuǎn)180。，再逆時針轉(zhuǎn) 90。，等于順時針轉(zhuǎn) 90。，所以b©c=a。c©a表示先逆時針轉(zhuǎn)90。，再順時針轉(zhuǎn) 90。，等于沒轉(zhuǎn)動，所以 cOa=do對于a, b, c, d四種運動，可以做一個關(guān)于“”的運算表(見下

28、表)。比如cOb,由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是c© b的結(jié)果。因為運算符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。ablcd后bcdbdbCdabcdabcd例 5 對任意的數(shù) a, b,定義：f (a) =2a+1, g (b) =bxb。(1)求 f (5) -g (3)的值；(2)求 f (g (2) +g (f (2)的值；(3)已知f (x+1) =21,求x的值。解：(1)f(5)-g(3)=(2X5+1) - (3X3)=2;(2) f (g (2) +g (f (2)=f (2X 2) +g (2X 2+1)=f (4) +g (5) = (

29、2X4+1) + (5X 5) =34;(3) f (x+1) =2X (x+1) +1=2x+3, 由 f (x+1) =21,知 2x+3=21,解得 x=9。練習(xí)4/p2.定義兩種運算“X”和“”如下:B A。劭遵'可骷破雉帆猥甑才龍蒯,(2的脆aXb表示a, b兩數(shù)中較小的數(shù)的 3倍，ab表示a, b兩數(shù)中較大的數(shù)的 2.5倍。比如：4X5=4X3=12, 4A5=5X 2.5=12.5 。計算：(0.6 0.5)+(0.3 0.8) + (1.2 0.7)-(0.64 0.2)。題叫帖網(wǎng)微叫加瓶4.設(shè)m n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算 m3 n= (AX m-n) +4

30、,并且2。3=0.75。試確定常數(shù) A,并計算：(50 7) X ( 2。2) + (30 2)。5 .用a, b, c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：ia表示順時針旋轉(zhuǎn)240 ° ,b表示順時針旋轉(zhuǎn)120° ,c表示不旋轉(zhuǎn)。運算“V”表示“接著做”。試以a, b, c為運算對象做運算表。6 .對任意兩個不同的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為a© bo比如7© 3=1, 529=4,4020=0o(1)計算：1998©2000, (5 19) 19, 5(1 95);(2)已知11x=4, x小于20,求x

31、的值。7 .對于任意的自然數(shù) a, b,定義：f (a) =ax a-1 , g (b) =b+2+1。(1)求 f (g (6) -g (f (3)的值；(2)已知f (g (x) =8,求x的值。第5講數(shù)的整除性(一)三、四年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被 2, 3, 5和4, 8, 9, 6以及11整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：(1)如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。(2)如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。(3)如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互

32、質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。(4)如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。(5)幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。靈活運用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。例1在口里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)口7358口口能分別被9, 25和8整除。分析與解：分別由能被 9, 25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因為9, 25, 8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)(3)知，七位數(shù)能被 9 X 25X8=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是 0;再由能被9整除 的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這

33、個七位數(shù)是 4735800。例2由2000個1組成的數(shù)11111能否被41和271這兩個質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因為 41X271=11111,所以由每5個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“ 11111”把 2000個1每五位分成一節(jié)，2000 + 5=400,就有400節(jié)，111 1.1 111,11 11。40口個 11111因為2000個1組成的數(shù)11- -11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)(1) 可知，由2000個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。例3現(xiàn)有四個數(shù)：76550, 76551, 76552, 76554。能不能從中找

34、出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把 12分成兩數(shù)之積：12=12X1=6X2=3X4。要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：(1)找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；(2)找出一個數(shù)能被 6整除，另一個數(shù)能被 2整除，那么它們的積就能被 12整除；(3)找出一個數(shù)能被 4整除，另一個數(shù)能被 3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第(1)種情況不存在。對于第(2)種情況，四個數(shù)中能被 6整除的只有76554,而76550, 76552是偶數(shù)，所以可以選 765

35、54 和 76550, 76554 和 76552。對于第(3)種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552 和 76551, 76552 和 76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554, 76552和 76554, 76551 和 76552 。例4在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43;能被11整除。因為能被11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所

36、以應(yīng)選擇為突破口。有兩種情況：(1)五位數(shù)由一個 7和四個9組成；(2)五位數(shù)由兩個 8和三個9組成。上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？ 9, 8, 7如何擺放呢？根據(jù)被 11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27,偶數(shù)位數(shù)字之和是 16,那么差是11 ,就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是：97999,99979, 98989。例5能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設(shè)題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被 3整除,推知110的和

37、也應(yīng)能被3整除。實際上，110的和等于55,不能被3整除。這個矛盾說明假設(shè)不成立， 所以題目的要求不能實現(xiàn)。練習(xí)58 .已知4205和2813者B是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？9 .如果兩個數(shù)的和是 64,這兩個數(shù)的積可以整除 4875,那么這兩個數(shù)的差是多少？3.173 口是個四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個口中先后填入 3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被 9 ,11 , 6 整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的 3 個數(shù)字之和是多少？的倍數(shù)，abed時是6的倍數(shù)。柳H木慟物奸傷獺嬴其中不同的字母代表沖不同的數(shù)字“要求福繳2整除，磁強贛病能榭贛瘋南這麻煩數(shù)有品多少？ 5.

38、紅財單五”二賺宋瓣耨平 均分是9吩，總分是旃，這個班有多少名學(xué)生?3整除?6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被第6講數(shù)的整除性（二）我們先看一個特殊的數(shù)一一1001。因為1001=7X11X13,所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被 7, 11和13整除。例1記嬴能否被九11和13整除？分析因為abt曲二叔乂 1001,1001是工11和3的倍數(shù)，所以 而而僦被7, 11和13整除能被7, 11和13整除的數(shù)的特征：如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7或11或13整除，那么數(shù) A能被7或11或13整除。否則，數(shù) A就不

39、能被7或11或13整除。例2判斷306371能否被7整除？能否被13整除？解：因為371-306=65, 65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被13整除，不能被7整除。例3已知10口8971能被13整除，求口中的數(shù)。解：10口 8-971=1008-971+ 0=37+0 0。上式的個位數(shù)是 7,若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由13X9-37=80,推知口中的數(shù)是 8。朋做12微摭岫業(yè)L震狗悔微哪翱®嬴嬴礴酬%僦，WfflM2位數(shù)進行改寫。根據(jù)十進制數(shù)的意義，有 abbaabbaabba=abb- 100010001c因為100010001各數(shù)位上數(shù)字之和是 3,能

40、夠被3整除，所以這個12位數(shù)能被3整除。根據(jù)能被7 （或13）整除的數(shù)的特征，100010001與（100010-1=） 100009要么都能被7 （或13）整除， 要么都不能被7 （或13）整除。同理，100009與（100-9= ） 91要么都能被7 （或13）整除，要么都不能被 7 （或13）整除。因為91=7X13,所以100010001能被7和13整除，推知這個 12位數(shù)能被7和13整除。做制跳地緲轆雌肌聰幗端植數(shù)字是幾？科財分析與解：根據(jù)能被 7整除的數(shù)的特征，555555與999999都能被7整除，所購可與99她能禍整隘阱 18個時口刎盼哪般“州5 口淵R好好 腳 H因為上式中等

41、號左邊的數(shù)與等號右邊第一個數(shù)都能被7整除，所以等號右邊第二個數(shù)也能被 7整除，推知55D99能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，口 99-55= 口44也應(yīng)能被7整除。由口 44能被7整除， 易知口內(nèi)應(yīng)是6。下面再告訴大家兩個判斷整除性的小竅門。判斷一個數(shù)能否被 27或37整除的方法：對于任何一個自然數(shù)，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所 得的和能被27 （或37）整除，那么這個數(shù)一定能被27 （或37）整除；否則，這個數(shù)就不能被27 （或37）整除。例6判斷下列各數(shù)能否被 27或37整除：（1） 2673135; （2） 8990615496。解：（1）

42、 2673135=2 , 673, 135, 2+673+135=810。因為810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。（2） 8990615496=8, 990, 615, 496, 8+990+615+496=2, 109。2, 109大于三位數(shù)，可以再對 2, 109的各節(jié)求和，2+109=111。因為111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，進一步推知8990615496 能被37整除，不能被27整除。由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對和的各節(jié)求和。判斷一個數(shù)能否被個位是9的數(shù)整除的方法：為

43、了敘述方便，將個位是9的數(shù)記為k9 （= 10k+9）,其中k為自然數(shù)。對于任意一個自然數(shù)，去掉這個數(shù)的個位數(shù)后，再加上個位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進行這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于 k9,那么這個數(shù)能被 k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9整除。例7 （1）判斷18937能否被29整除；（2）判斷296416與37289能否被59整除。解：（1）上述變換可以表示為：附空卿-3O(w-£-»354一一1生史。59, 3 72893782S力硼網(wǎng)也2蝌則5娜T 390 qg 3%由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除。一般地，每進行一次變換，被判斷的數(shù)的位

44、數(shù)就將減少一位。當(dāng)被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時，即可 停止變換，得出不能整除的結(jié)論。練習(xí)61 .下列各數(shù)哪些能被 7整除？哪些能被13整除？88205, 167128 , 250894 , 396500 , 675696, 796842 , 805532 , 75778885 。2 .六位數(shù)175口62是13的倍數(shù)?？谥械臄?shù)字是幾？3,當(dāng)吐位數(shù)麗而是很曾乳萩4.六解嬴涌喀桐和3整M2位數(shù)高贏贏熊否栩和謹除？打腳,雌儺跚,耕間口中觸、_a20個 M7 .九位數(shù)8765 4321能被21整除，求中間口中的數(shù)。8 .在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026, 1884924 ,

45、 2175683 , 2560437 , 11159126, 131313555, 266117778。9 .在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119, 55537 , 62899 , 71258 ,186637, 872231, 5381717。第7講奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被 2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如10 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 ,（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1 , 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1

46、,所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為 2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被 2整除，所以奇數(shù)可以表示為 2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過 來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇 一偶。（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶 數(shù)。（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是

47、偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就 是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那 么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不 能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被 4整除；奇數(shù)的平方除以 4的余數(shù)是1。因為（2n） 2=4n2=4Xn2,所以（2n） 2能被4整除；因為（2n+1） 2=4n2+4n+1=4X （ n2+n） +1,所以（2n+1） 2 除以 4 余 1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必

48、是奇數(shù)。（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括 1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有 偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關(guān)系也沒有，例如 染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷 出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2）,和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)

49、。11998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和 是奇數(shù)。例2能否在下式的口中填上“ +”或“-”，使得等式成立？1口2口 3口4口5口6口 7口8口9=66。分析與解：等號左端共有 9個數(shù)參加加、減運算，其中有 5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇 數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)"，所以題目的要求做不到。例3任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的 5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么, 這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999?分析與解：假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999,則有下式：9 9 9 9 9其中組成

50、兩個加數(shù)的 5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于9+9=18 ,豎式中和的個位數(shù)是9,所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的 10個數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45,是奇數(shù)。另一方面，因為組成兩個加數(shù)的 5個數(shù)碼完全相同， 所以組成兩個加數(shù)的 10個數(shù)碼之和，等于組成第一 個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)w偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999,所以假設(shè)不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999。例4在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。 請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇

51、數(shù)還是偶數(shù)？ 請說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手 1次，對于乙也是握手 1次，兩人握 手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類： A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)， 與前面得到的結(jié)論矛盾， 所以B類人即握過奇數(shù)

52、次手的人數(shù)是 偶數(shù)。例5五（2）班部分學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給 1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：本題要求出這部分學(xué)生的總成績是不可能的，所以應(yīng)從每個人得分的情況入手分析。因為每 道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有 50道題，50個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每 個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這部分學(xué)生的總分必是偶數(shù)。練習(xí)71 .能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22?2 .任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位

53、數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計算有沒有錯？3 .甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)（允許有相同數(shù)），甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個差相乘。游戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝；若積是奇數(shù)，則乙勝。請說明誰將 獲勝。4 .某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。 問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5 .A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競賽，競賽題 30道，記分方法是：底分 15分，每

54、答對一道加5 分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6 .把下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。1999名學(xué)生包場看這兩場電影,7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學(xué)校各有那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？第8講奇偶性（二）例1用09這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次， 要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多少？分析與解：有時題目的要求比較多，可先考慮滿足部分要求，然后再調(diào)整，使最后結(jié)果達到全部要求

55、。這道題的幾個要求中，滿足“和最大”是最容易的。暫時不考慮這五個數(shù)的和是奇數(shù)的要求。要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應(yīng)該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在十位上，即十位上放5, 6, 7,8, 9,而個位上放0, 1, 2, 3, 4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣組成的五個兩位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位數(shù)。要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運算規(guī)律，這五個數(shù)中應(yīng)有奇數(shù)個奇數(shù)?，F(xiàn)有 兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是 1, 3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求，必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十 位與個位上的數(shù)字。要使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇 數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設(shè)要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是 4, 6, 7, 8, 9,個位上的數(shù)碼是 0, 1,2, 3, 5,所求這